Sentroid & momen luas kedua: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Sentroid & momen luas kedua percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: sentroid, momen luas kedua, tegasan lenturan.

Soalan latihan percumaMudah
1002516012ȳ = ?dimensi dalam mm

Cari ketinggian ȳ sentroid keratan-T di atas tepi bawahnya.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Soalan seterusnya →
Berlatih Sentroid & momen luas kedua secara percumaBerlatih Sentroid & momen luas kedua sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahsentroid
  2. Sederhanamomen luas kedua
  3. Sukartegasan lenturan

Formula utama

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Pelajari Sentroid & momen luas kedua dari awal

1Mengapa bentuk keratan penting

Potong rasuk secara lurus melintang dan lihat muka potongan. Bentuk itu ialah keratan rentas, atau hanya keratan.

Ambil papan kayu 100 × 20 mm. Baringkan secara rata merentasi sela dan ia melendut banyak. Tegakkan papan yang sama pada tepinya dan ia jauh lebih kukuh, walaupun luasnya betul-betul sama.

1002020100ab

Yang penting ialah sejauh mana bahan terletak daripada paksi yang dilentur oleh rasuk. Bahan yang jauh daripada paksi itu bekerja jauh lebih keras.

Dua sifat menerangkannya. Sentroid ialah pusat geometri keratan: rasuk melentur pada paksi yang melaluinya. Momen luas kedua I mengukur sejauh mana luas tersebar daripada paksi itu.

Semakan kendiri Papan yang sama digunakan secara rata (a) dan pada tepinya (b), dilenturkan pada paksi mengufuk. Yang manakah lebih kukuh?
  1. Ia hanya bergantung pada bahan
  2. Kedua-duanya sama, kerana luasnya sama
  3. Pada tepinya (b)
  4. Secara rata (a)

Jawapan: Pada tepinya (b). Pada tepinya, bahan terletak lebih jauh daripada paksi lenturan. Luasnya sama, tetapi jaraknya daripada paksi yang diambil kira.

2Sentroid keratan komposit

Bagi segi empat tepat, sentroid berada di tengah. Banyak keratan rasuk, seperti T, dibuat daripada segi empat tepat.

Bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Bagi setiap satu, cari luasnya Ai dan ketinggian yi sentroidnya sendiri, diukur dari satu garis rujukan, biasanya tepi bawah.

Sentroid keseluruhan keratan ialah purata berpemberat luas bagi ketinggian-ketinggian itu:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Bahagian yang besar menarik sentroid ke arahnya. Dalam keratan-T dengan bebibir di atas, sentroid berada di atas pertengahan ketinggian.

Semakan kendiri Bahagian 1 mempunyai A = 3000 mm² pada y = 20 mm. Bahagian 2 mempunyai A = 1000 mm² pada y = 100 mm. Di manakah sentroid?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Jawapan: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm ialah purata biasa bagi ketinggian, yang mengabaikan luas. 80 mm menukar luas.

3Momen luas kedua

Bagi segi empat tepat berlebar b dan tinggi h, dilenturkan pada paksi mengufuk melalui sentroidnya sendiri:

Ic = b · h³ / 12

Ketinggian dikuasa tigakan, itulah sebabnya papan pada tepinya 25 kali lebih kukuh: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Bagi keratan komposit, setiap bahagian terletak pada jarak d daripada paksi yang melalui sentroid keseluruhan. Teorem paksi selari menambah satu sebutan untuk ofset itu:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

Unitnya ialah mm⁴. Nombornya menjadi besar, jadi jawapan sering diberi sebagai “× 10⁶ mm⁴”.

Setelah anda mendapat I, tegasan lenturan pada jarak y daripada paksi sentroid diperoleh daripada momen lentur M:

σ = M · y / I
Semakan kendiri Segi empat tepat selebar 100 mm dan setinggi 20 mm: apakah I mengenai paksi sentroid mengufuknya sendiri?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Jawapan: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 menukar b dan h (itulah papan pada tepinya); 800 000 terlupa membahagi dengan 12.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Bahagikan keratan kepada segi empat tepat dan nomborkannya.
  2. Bagi setiap bahagian: luas Ai dan ketinggian sentroid yi, semuanya diukur dari tepi bawah.
  3. Sentroid: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Bagi setiap bahagian: Ic = bh³/12 sendiri dan jarak di = yi − ȳ.
  5. Jumlahkan: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Jika tegasan ditanya: σ = M·y/I, dengan y ialah jarak dari paksi ke tepi yang anda perlukan.

Jadual kecil dengan lajur A, y, A·y, Ic, d dan A·d² memastikan segala-galanya teratur.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Keratan-T mempunyai bebibir 100 × 20 mm di atas web 20 × 100 mm. Cari ketinggian sentroid ȳ, momen luas kedua Ix, dan tegasan lenturan pada tepi atas dan bawah bagi momen melendut 4 kN·m.

1

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

100201002012

Bebibir (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², sentroid pada y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Web (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², sentroid pada y2 = 50 mm.

2

Sentroid

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

Kedua-dua luas adalah sama, jadi ȳ berada di pertengahan antara 110 dan 50 mm.

3

Momen kedua sendiri

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Sebutan paksi selari

1002010020xȳ = 80

Setiap sentroid berjarak 30 mm daripada paksi x: d1 = 110 − 80 = 30 mm dan d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Bagi setiap bahagian:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Jumlah momen luas kedua

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5.33 × 10⁶ mm⁴
6

Tegasan lenturan

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Tepi bawah berjarak 80 mm daripada paksi, tepi atas 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

Tepi bawah berada dalam tegangan dan tepi atas dalam mampatan, seperti dalam mana-mana rasuk yang melendut.

Jawapan

ȳ = 80 mm, Ix = 5.33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa dan σtop = 30 MPa.

6Kesilapan lazim

  • Terlupa sebutan A·d². Tanpanya anda hanya menambah nilai I sendiri bagi bahagian-bahagian itu, yang jauh terlalu kecil.
  • Mengukur ketinggian yi dari garis rujukan yang berbeza. Pilih tepi bawah dan kekalkannya.
  • Menggunakan d dari tepi bawah dan bukannya dari sentroid keseluruhan.
  • Menukar b dan h dalam bh³/12. Dimensi yang bersudut tegak dengan paksi lenturan dikuasa tigakan.
  • Menggunakan jarak tepi yang salah dalam σ = M·y/I. Tepi yang paling jauh daripada paksi mempunyai tegasan terbesar.
Semakan kendiri Segi empat tepat 100 × 20 mm (lebar × tinggi) mempunyai sentroidnya 50 mm daripada paksi x. Apakah sumbangannya kepada Ix?
  1. 0.067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5.00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5.07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6.67 × 10⁶ mm⁴

Jawapan: 5.07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0.067 × 10⁶ terlupa A·d²; 5.00 × 10⁶ terlupa sebutan sendiri; 6.67 × 10⁶ menggunakan 1 666 667 (b dan h bertukar) tambah A·d².

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: sentroid. Cari ȳ bagi keratan-T di atas tepi bawahnya. Variasi: keratan sudut, atau I bagi satu segi empat tepat, bulatan (πd⁴/64) atau kotak.
  • Sederhana: momen luas kedua. Cari Ix bagi keratan-T pada paksi sentroidnya. Variasi: keratan-I, saluran, dan jejari legaran r = √(I/A).
  • Sukar: tegasan lenturan. Keratan-T menanggung momen M; cari tegasan pada tepi atas atau bawah dengan σ = M·y/I.

Dimensi yang diberi ialah bf dan tf untuk bebibir, dan tw dan hw untuk web.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
260102808ȳ = ?dimensi dalam mm

Cari ketinggian ȳ sentroid keratan-T di atas tepi bawahnya.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Cari nilai ȳ (mm)

Tunjukkan petunjuk
  1. Bahagikan T kepada bebibir dan web, dan cari luas serta ketinggian sentroid bagi setiap satu.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, dengan setiap y diukur dari tepi bawah.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
web: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217.9 mm

Jawapan

ȳ = 217.9 mm
Contoh 2Sederhana
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 156 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 156 mm

Cari nilai Ix (× 10⁶ mm⁴)

Tunjukkan petunjuk
  1. Cari sentroid dahulu: plat tolak lubang.
  2. ȳ = 118.9 mm.
  3. Kemudian I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) pada ȳ.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 706.9·156)/(24000 − 706.9) = 118.9 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·1.092² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·37.09² = 1.012 × 10⁶ mm⁴

Tolak

Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴
Contoh 3Sukar
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 120 mm

Cari nilai Ix (× 10⁶ mm⁴)

Tunjukkan petunjuk
  1. Cari sentroid dahulu: plat tolak lubang.
  2. ȳ = 99.38 mm.
  3. Kemudian I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) pada ȳ.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99.38 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·0.6186² = 66.67 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·20³/12 + 600·20.62² = 0.2751 × 10⁶ mm⁴

Tolak

Ix = 66.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 66.4 × 10⁶ mm⁴

Soalan dan jawapan

Apakah Sentroid & momen luas kedua?

Potong rasuk secara lurus melintang dan lihat muka potongan. Bentuk itu ialah keratan rentas, atau hanya keratan.

Ambil papan kayu 100 × 20 mm. Baringkan secara rata merentasi sela dan ia melendut banyak. Tegakkan papan yang sama pada tepinya dan ia jauh lebih kukuh, walaupun luasnya betul-betul sama.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Sentroid & momen luas kedua langkah demi langkah?

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Apakah yang diliputi oleh latihan Sentroid & momen luas kedua?
  • Mudah: sentroid
  • Sederhana: momen luas kedua
  • Sukar: tegasan lenturan

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Teruskan dengan

Lengkokan tiangPesongan rasuk

Kalkulator

Kalkulator momen inersia (momen kedua luas)Kalkulator sentroid (bentuk gubahan dan poligon)

Kursus dengan topik ini

StatikMekanik BahanLatihan peperiksaan FE Awam

Lebih banyak topik dalam Awam

Daya ricih & momen lenturKekuda: kaedah sambunganPesongan rasukLengkokan tiangTegasan berkesan dalam tanahEnapan pengukuhanDaya hidrostatikAliran saluran terbuka (Manning)

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Sentroid & momen luas kedua dengan jawapan
Berlatih Sentroid & momen luas kedua secara percumaBerlatih Sentroid & momen luas kedua sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.