Lengkokan tiang: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Lengkokan tiang percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: hujung berpin, keadaan hujung lain, reka bentuk dan tegasan kritikal.

Soalan latihan percumaMudah
PL = 2.5 m40 × 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 40 × 80 mm
kN
Soalan seterusnya →
Berlatih Lengkokan tiang secara percumaBerlatih Lengkokan tiang sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahhujung berpin
  2. Sederhanakeadaan hujung lain
  3. Sukarreka bentuk dan tegasan kritikal

Formula utama

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Pelajari Lengkokan tiang dari awal

Sebelum ini: Sentroid & momen luas kedua

1Apakah itu lengkokan

Tekan kedua-dua hujung sebatang pembaris plastik. Pada mulanya seolah-olah tiada apa-apa berlaku. Kemudian, secara tiba-tiba, ia melengkung ke tepi. Itulah lengkokan.

Tiang ialah anggota yang menanggung mampatan sepanjang panjangnya: tiang bangunan, topang bumbung, rod omboh.

PL

Tiang pendek dan tebal gagal dengan hancur: tegasan P/A mencapai kekuatan bahan. Tiang panjang dan langsing melengkok pada beban yang jauh lebih rendah, sedangkan tegasan masih jauh di bawah kekuatan itu.

Beban yang menyebabkan tiang langsing melengkok ialah beban genting Pcr. Melebihinya, tiang tidak stabil dan runtuh.

Semakan kendiri Dua tiang keluli mempunyai keratan rentas yang sama. Satu panjangnya 2 m, satu lagi 4 m. Yang mana melengkok pada beban yang lebih rendah?
  1. Kedua-duanya pada beban yang sama
  2. Tiada: tiang keluli tidak boleh melengkok
  3. Tiang 2 m
  4. Tiang 4 m

Jawapan: Tiang 4 m. Tiang yang lebih panjang lebih langsing dan lebih mudah melengkok. Panjang ialah faktor terpenting dalam lengkokan.

2Formula Euler

Leonhard Euler menemui beban genting bagi tiang langsing:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E ialah modulus Young bahan: 200 GPa bagi keluli.
  • I ialah momen luas kedua bagi keratan rentas. Gunakan yang terkecil: tiang melentur ikut arah yang mudah.
  • L ialah panjang, dan K ialah faktor panjang berkesan, yang bergantung pada cara hujung ditahan.
K = 1K = 2K = 0.7K = 0.5

Hujung berpin boleh berputar; hujung terikat tidak boleh. Menahan hujung dengan lebih kukuh memberikan panjang berkesan KL yang lebih pendek dan Pcr yang jauh lebih tinggi, kerana KL dikuasaduakan.

Bagi bar bulat I = π·d⁴/64. Bagi segi empat tepat b × h dengan b sisi yang lebih kecil, Imin = h·b³/12.

Semakan kendiri Tiang berpin–berpin mempunyai Pcr = 100 kN. Tiang yang sama dibuat terikat di tapak dan bebas di atas (K = 2). Berapakah Pcr sekarang?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Jawapan: 25 kN. Pcr dibahagi dengan K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN terlupa menguasaduakan K; 200 dan 400 kN mendarab dan bukan membahagi.

3Kelangsingan dan tegasan genting

Membahagi Pcr dengan luas memberikan tegasan genting. Ia paling kemas ditulis dengan jejari kisaran r dan nisbah kelangsingan λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Bagi bar bulat pepejal, r = d/4.

Rumus Euler hanya sah selagi σcr kekal di bawah tegasan alah bahan. Bagi keluli struktur, itu bermaksud kelangsingan kira-kira λ > 100. Tiang yang lebih gempal gagal secara alah atau gabungan kedua-duanya, dan memerlukan peraturan reka bentuk lain.

Semakan kendiri Keratan tiang segi empat tepat ialah 20 mm × 40 mm. Berapakah momen luas kedua yang terkecil?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Jawapan: 26 667 mm⁴. Paksi lemah mengambil kuasa tiga sisi yang lebih kecil: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 ialah paksi kuat; 320 000 terlupa /12; 7854 menggunakan rumus bulatan.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Baca keadaan hujung dan pilih K: 1, 2, 0.7 atau 0.5.
  2. Cari I terkecil bagi keratan, dalam mm⁴.
  3. Tukar kepada N dan mm: L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000).
  4. Panjang berkesan: KL.
  5. Beban genting: Pcr = π²EI/(KL)², dalam N. Bahagi dengan 1000 untuk kN.
  6. Jika diminta, semak kelangsingan KL/r atau tegasan genting Pcr/A.

Bagi soalan reka bentuk dengan faktor keselamatan n, tiang mesti mempunyai Pcr = n·P. Selesaikan rumus Euler untuk I, kemudian untuk diameter.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Tiang keluli bulat pepejal (E = 200 GPa) berdiameter 40 mm dan panjang 2 m berpin pada kedua-dua hujung. Cari beban lengkokan genting Pcrnya. Kemudian cari semula bagi tiang yang sama yang terikat di tapak dan bebas di atas.

1

Perhatikan tiang

PL = 2 m

Berpin pada kedua-dua hujung, jadi K = 1 dan KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Momen luas kedua

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Beban kritikal

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62.0 kN
4

Semak bahawa Euler terpakai

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49.3 MPa

Itu jauh di bawah tegasan alah keluli (kira-kira 250 MPa), jadi tiang itu langsing dan rumus Euler sah.

5

Tapak terikat, atas bebas

Sekarang K = 2, jadi panjang berkesan menjadi dua kali ganda kepada 4000 mm dan Pcr turun sebanyak faktor 2² = 4:

Pcr = 62.0 / 4 = 15.5 kN
Jawapan

Pcr = 62.0 kN apabila berpin pada kedua-dua hujung, dan 15.5 kN apabila terikat di tapak dan bebas di atas.

6Kesilapan lazim

  • Memilih K yang salah, atau terlupa menguasaduakannya.
  • Menggunakan I yang lebih besar bagi segi empat tepat. Tiang sentiasa melengkok pada paksi lemahnya.
  • Mencampurkan unit: L dalam meter dengan E dalam N/mm². Bekerja dalam N dan mm sepanjang masa.
  • Menggunakan π·d⁴/32 (momen kutub J daripada kilasan) dan bukan π·d⁴/64.
  • Menggunakan Euler pada tiang pendek dan gempal yang tegasan gentingnya melebihi tegasan alah.
Semakan kendiri Tiang berpin pada kedua-dua hujung mempunyai Pcr = 40 kN. Tiang yang sama terikat pada kedua-dua hujung (K = 0.5). Berapakah Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Jawapan: 160 kN. Pcr dibahagi dengan K² = 0.25, jadi ia menjadi empat kali lebih besar: 160 kN. 80 kN terlupa menguasaduakan K; 10 kN mendarab dengan K² dan bukan membahagi.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: hujung berpin. Cari Pcr bagi tiang keluli atau aluminium yang bulat atau segi empat tepat.
  • Sederhana: keadaan hujung lain. Soalan yang sama dengan K = 2, 0.7 atau 0.5.
  • Sukar: reka bentuk dan tegasan genting. Cari diameter terkecil yang menanggung beban dengan faktor keselamatan, atau cari kelangsingan dan σcr.

Bagi kes reka bentuk dengan bar bulat: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
PL = 5 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

Cari nilai Pcr (kN)

Tunjukkan petunjuk
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Faktor panjang berkesan: K = 1 bagi tiang dengan pin pada kedua-dua hujung.
  3. I = 306796 mm⁴.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN

Jawapan

Pcr = 8.478 kN
Contoh 2Sederhana
PL = 2.5 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

Cari nilai Pcr (kN)

Tunjukkan petunjuk
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Faktor panjang berkesan: K = 2 bagi tiang dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas.
  3. I = 39761 mm⁴.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

Jawapan

Pcr = 3.139 kN
Contoh 3Sukar
PL = 2.5 md = 25 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

Cari nilai σcr (MPa)

Tunjukkan petunjuk
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², dengan r = √(I/A) ialah jejari legaran.
  2. Gunakan I terkecil, kerana tiang melengkok pada paksi paling lemahnya.
  3. r = 6.25 mm.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σcr = 4.318 MPa

Soalan dan jawapan

Apakah Lengkokan tiang?

Tekan kedua-dua hujung sebatang pembaris plastik. Pada mulanya seolah-olah tiada apa-apa berlaku. Kemudian, secara tiba-tiba, ia melengkung ke tepi. Itulah lengkokan.

Tiang pendek dan tebal gagal dengan hancur: tegasan P/A mencapai kekuatan bahan. Tiang panjang dan langsing melengkok pada beban yang jauh lebih rendah, sedangkan tegasan masih jauh di bawah kekuatan itu.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Lengkokan tiang langkah demi langkah?

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Apakah yang diliputi oleh latihan Lengkokan tiang?
  • Mudah: hujung berpin
  • Sederhana: keadaan hujung lain
  • Sukar: reka bentuk dan tegasan kritikal

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Sentroid & momen luas kedua

Kalkulator

Kalkulator lengkokan Euler

Kursus dengan topik ini

Mekanik BahanAnalisis StrukturReka Bentuk MesinLatihan peperiksaan FE MekanikalLatihan peperiksaan FE Awam

Lebih banyak topik dalam Awam

Daya ricih & momen lenturKekuda: kaedah sambunganPesongan rasukSentroid & momen luas keduaTegasan berkesan dalam tanahEnapan pengukuhanDaya hidrostatikAliran saluran terbuka (Manning)

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Lengkokan tiang dengan jawapan
Berlatih Lengkokan tiang secara percumaBerlatih Lengkokan tiang sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.