Цена и доходность облигаций: задачи с пошаговыми решениями
Бесплатные задачи по теме Цена и доходность облигаций с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: ежегодные купоны, полугодовые купоны, доходность к погашению.
Бесплатная задачаЛёгкая
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4%; срок до погашения — 9 лет. Доходность к погашению — 2,5%. Найдите цену облигации P.
Облигация — это долг, который можно купить и продать. Компания или государство занимает деньги и обещает взамен фиксированные выплаты.
На обычной облигации указаны три числа:
Номинальная стоимость F, обычно €1000. Её возвращают в последний день, в день погашения.
Ставка купона. Каждый год облигация выплачивает этот процент от номинальной стоимости в виде процентов — купона C. Купон 5% при номинале €1000 — это €50 в год.
Срок до погашения n: через сколько лет будет возвращена номинальная стоимость.
Купоны и номинальная стоимость фиксированы. Меняется цена P, которую инвесторы платят сегодня. Эта цена зависит от доходности, которую инвесторы требуют сейчас.
Самопроверка Номинальная стоимость облигации равна €1000, ставка купона 6%, выплата раз в год. Чему равен купон C?
€1060
€600
€60
€6
Ответ: €60. C = 6% от номинала = 0,06 · 1000 = €60 в год. €1060 — это последняя выплата (купон плюс номинал), а не купон.
2Цена и доходность к погашению
Доходность к погашению (YTM, обозначается y) — это годовая доходность, которую рынок требует от облигации. Это ставка дисконтирования для всех её выплат.
Цена — это приведённая стоимость всего, что платит облигация: купоны образуют аннуитет, а номинал — единичная сумма в конце.
P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n
Сравните доходность со ставкой купона. Это подскажет ответ ещё до расчёта:
Доходность равна ставке купона: цена в точности равна номиналу, €1000 (по номиналу).
Доходность выше ставки купона: цена ниже номинала (дисконт).
Доходность ниже ставки купона: цена выше номинала (премия).
Поэтому цены облигаций и доходности всегда движутся в противоположных направлениях. Когда доходность растёт, цены падают.
Самопроверка У облигации купон 4%. Рыночная доходность 6%. Где окажется её цена?
Выше номинала
На уровне номинала плюс один купон
Ниже номинала
Ровно на уровне номинала
Ответ: Ниже номинала. Облигация платит всего 4%, а инвесторы хотят 6%. Они купят её только по более низкой цене, поэтому она продаётся с дисконтом.
3Метод по шагам
Найдите купон за период C, доходность за период y и число периодов n.
Для полугодовых купонов: возьмите половину купона, половину доходности и удвоенное число лет.
Приведённая стоимость купонов: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
Приведённая стоимость номинала: F / (1 + y)n.
Сложите оба значения. Сравните результат со ставкой купона: дисконт или премия?
Пример для шага 2: купон 6%, выплачиваемый дважды в год, срок 5 лет и доходность 5% дают C = €30, y = 0,025 и n = 10.
4Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Облигация с номиналом €1000 выплачивает годовой купон 5% и погашается через 3 года. Доходность к погашению равна 6%. Найдите цену P облигации.
1
Изобразите денежные потоки
Купон равен 0,05 · 1000 = €50 в год. В 3-м году облигация дополнительно возвращает €1000.
2
Значения за период
Купоны годовые, поэтому один период — это один год.
Не путайте YTM с текущей доходностью, C/P = 40/960 = 4,17%. Текущая доходность не учитывает прирост €40 от €960 до €1000, возвращаемых при погашении.
Самопроверка Облигация продаётся за €1050. Ставка её купона равна 5%. Что можно сказать о её доходности к погашению?
Она выше 5%
Она ниже 5%
Она равна 50/1050 = 4,76%
Она равна ровно 5%
Ответ: Она ниже 5%. Цена выше номинала (премия), поэтому доходность ниже ставки купона. 4,76% — это текущая доходность, которая не учитывает убыток €50 при погашении.
6Типичные ошибки
Дисконтирование по ставке купона вместо доходности. Ставка купона лишь определяет размер купона.
Забыть про номинал при погашении или забыть про купоны.
Сложить выплаты без дисконтирования.
Смешать годовые и полугодовые периоды: при полугодовых купонах C и y делят пополам, а n удваивают.
Самопроверка У 2-летней облигации номинал €1000, годовой купон 5% и доходность 6%. Чему равна её цена?
€1000
€1100
€981,67
€990,00
Ответ: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = €981,67. €1000 получается при дисконтировании по ставке купона, €1100 — при сложении без дисконтирования, а €990,00 — если не дисконтировать купоны.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: годовые купоны. Найдите цену по номиналу, ставке купона, сроку и доходности.
Средняя: полугодовые купоны. То же самое, но с половиной купона, половиной доходности и удвоенным числом периодов.
Сложная: доходность к погашению. Цена задана. Испытайте две ставки, затем интерполируйте или воспользуйтесь калькулятором.
Всегда сначала сравнивайте доходность со ставкой купона. Это подскажет, должна ли цена быть выше или ниже €1000.
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%; срок до погашения — 10 лет. Доходность к погашению — 7%. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 7%n = 10
Найти: P(€)
Показать подсказки
Цена равна приведённой стоимости купонов плюс приведённая стоимость номинала.
Купон за год: €80,00. Дисконтируйте по YTM.
(1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Показать ответ и пошаговое решение
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €80,00, i = 0,07, N = 10
Приведённая стоимость купонов
€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,5083 = €508,35
Цена
P = €1 070,24
Ответ
P = €1 070,24
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
Пример 2Средняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 7% и погашается через 15 лет. Её доходность к погашению меняется с 4% до 3%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%
Найти: ΔP(€)
Показать подсказки
Оцените облигацию при прежней и при новой доходности.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P1 = €1 333,55.
Показать ответ и пошаговое решение
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Облигация торгуется по €930 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 9,5 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 150 базисных пунктов.
P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp
Найти: P(€)
Показать подсказки
Модифицированная дюрация: D mod = D/(1 + y).
Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.
Показать ответ и пошаговое решение
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 9,5/1,07 = 8,879
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86
Ответ
P = €1 053,86
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
Вопросы и ответы
Цена и доходность облигаций: что это?
На обычной облигации указаны три числа:
Купоны и номинальная стоимость фиксированы. Меняется цена P, которую инвесторы платят сегодня. Эта цена зависит от доходности, которую инвесторы требуют сейчас.
Цена и доходность облигаций: как решать задачи шаг за шагом?
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
Цена и доходность облигаций: какие ошибки самые частые?
Дисконтируют по купонной ставке вместо доходности.
Забывают номинал при погашении.
Путают годовые и полугодовые периоды.
Цена и доходность облигаций: что вы тренируете?
Лёгкая: ежегодные купоны
Средняя: полугодовые купоны
Сложная: доходность к погашению
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.