Другие названия: чистая приведённая стоимость · ЧДД · внутренняя норма доходности · ВНД
Бесплатные задачи по теме NPV и IRR с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: равные денежные потоки, неравные денежные потоки, внутренняя норма доходности.
Бесплатная задачаЛёгкая
Проект стоит сегодня €20 000 и приносит €9 000 в конце каждого года в течение 3 лет. Требуемая доходность — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Что вы предпочтёте: €100 сегодня или €100 через год? Сегодня: вы могли бы положить их в банк и через год иметь больше €100.
Значит, евро в будущем стоит меньше, чем евро сейчас. Компании используют эту идею, чтобы решить, стоит ли делать инвестицию.
Чистая приведённая стоимость (NPV) отвечает на один вопрос: чего стоят все денежные потоки проекта сегодня после выплаты затрат на него?
NPV выше нуля: проект приносит больше требуемой доходности. Принимайте его.
NPV ниже нуля: деньги принесут больше пользы в другом месте. Отклоняйте проект.
Самопроверка У проекта NPV равна +€500. Что это означает?
Его денежные потоки в сумме дают €500
Он приносит больше требуемой нормы доходности
Он приносит ровно требуемую норму доходности
Он приносит убыток €500
Ответ: Он приносит больше требуемой нормы доходности. Положительная NPV означает, что проект добавляет стоимость сверх требуемой доходности. NPV, равная нулю, означала бы, что он приносит ровно требуемую норму.
2Дисконтирование одной суммы
Приведение будущей суммы к сегодняшнему дню называется дисконтированием. При ставке r в год сумма, полученная через t лет, стоит:
PV = CFt / (1 + r)t
Пример: €1100 через год при 10% стоят сегодня 1100/1,10 = €1000. Проверка: €1000 в банке под 10% за год вырастут до €1100.
Чем дальше деньги, тем больше степень и тем меньше их сегодняшняя стоимость.
Всегда записывайте ставку десятичной дробью: 8% — это 0,08, поэтому вы делите на 1,08.
Самопроверка Сколько сегодня стоят €121, полученные через 2 года, при 10% в год?
€100
€110
€146,41
€96,80
Ответ: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = €100. Деление на 1,10 только один раз даёт €110 — при этом забыт второй год.
3NPV шаг за шагом
NPV — это сумма всех дисконтированных денежных потоков. Инвестиция в год 0 отрицательна и не дисконтируется, потому что она уже относится к сегодняшнему дню.
Нарисуйте временную шкалу с каждым денежным потоком в его году. Расход денег — отрицательный, поступление — положительное.
Дисконтируйте каждый будущий денежный поток своей степенью (1 + r).
Сложите все приведённые стоимости, включая −I0 в год 0.
Примите решение: принимайте, если NPV положительна.
Когда денежный поток одинаков каждый год, коэффициент аннуитета делает всё дисконтирование за один раз:
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Станок стоит €9000 сегодня и экономит €3600 в конце каждого года в течение 3 лет. Требуемая норма доходности — 8%. Найдите NPV. Должна ли компания его купить?
1
Нарисуйте временную шкалу
Один платёж сейчас и три равные суммы поступлений в конце 1-го, 2-го и 3-го годов.
2
Дисконтируйте каждый денежный поток
3600 / 1,08 = 3333,33
3600 / 1,08² = 3600 / 1,1664 = 3086,42
3600 / 1,08³ = 3600 / 1,259712 = 2857,80
3
Сложите
Экономия сегодня стоит 3333,33 + 3086,42 + 2857,80 = €9277,55.
NPV = −9000 + 9277,55 = €277,55
4
Проверьте коэффициентом аннуитета
[1 − 1,08−3] / 0,08 = 2,5771
3600 · 2,5771 = 9277,55
Тот же результат в одну строку. Используйте этот способ всякий раз, когда денежные потоки равны.
5
Примите решение
NPV положительна, поэтому станок приносит больше 8% в год. Компании следует его купить.
Внутренняя норма доходности (IRR) — это ставка, при которой NPV ровно равна нулю. Это собственная годовая доходность проекта.
Простой формулы для неё нет. Вы пробуете ставки, пока NPV не сменит знак, затем интерполируете между двумя значениями.
В примере NPV равна +277,55 при 8%. При 10% она равна 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Значит, IRR лежит между 8% и 10%.
IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Правило решения: принимайте, если IRR выше требуемой ставки. Здесь 9,7% выше 8% — тот же ответ, что дала NPV.
Самопроверка NPV проекта положительна при 8% и отрицательна при 12%. Где находится его IRR?
Выше 12%
Между 8% и 12%
Ниже 8%
Ровно 10%
Ответ: Между 8% и 12%. IRR — это точка, где NPV пересекает нуль, поэтому она лежит между двумя ставками, при которых меняется знак. Интерполяция даёт хорошую оценку, но это не обязательно середина.
6Типичные ошибки
Дисконтировать инвестицию в год 0. Она уже выражена в сегодняшних деньгах.
Совсем забыть про инвестицию и указать только приведённую стоимость поступлений.
Складывать денежные потоки, не дисконтируя их.
Использовать проценты вместо десятичной дроби: делить на 1,8 вместо 1,08.
Использовать неверную степень: денежный поток в год 3 делят на (1 + r)³, а не на (1 + r).
Самопроверка Проект стоит €5000 и возвращает €5500 через год. Требуемая ставка — 12%. Чему равна NPV?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Ответ: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, а 4910,71 − 5000 = −€89,29. Прибыли в €500 недостаточно для доходности 12%, поэтому проект отклоняем.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкие: инвестиция и равные ежегодные денежные потоки. Используйте коэффициент аннуитета.
Средние: неравные денежные потоки. Дисконтируйте каждый год отдельно и сложите.
Сложные: найдите IRR. Попробуйте две ставки, найдите, где NPV меняет знак, и интерполируйте.
Всегда формулируйте решение словами: принять или отклонить, и почему.
Проект стоит €80 000 сегодня и приносит €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 в конце годов с 1-го по 5-й. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите срок окупаемости PB в годах.
Складывайте денежные потоки год за годом, пока сумма не достигнет первоначальных затрат.
В последнем году нужна только часть денежного потока: возьмите недостающую долю.
после года 3: €75 500.
Показать ответ и пошаговое решение
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Накопленные денежные потоки
год 1: €30 000
год 2: €50 000
год 3: €75 500
год 4: €106 500
Доля последнего года
ещё недостаёт после года 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Ответ
PB = 3,145 годы
Пример 2Средняя
Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Приведите каждый денежный поток к году 0, разделив на (1 + r)ᵗ.
Начальные затраты уже в году 0 и учитываются со знаком минус.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Показать ответ и пошаговое решение
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Сложите
NPV = €−9 056,24
Ответ
NPV = €−9 056,24
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
Пример 3Сложная
Проект стоит €40 000 и приносит €15 500, €16 000, €27 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Найти: IRR(%)
Показать подсказки
IRR — это ставка дисконтирования, при которой NPV ровно равна нулю.
Попробуйте две ставки, одну с NPV > 0 и одну с NPV < 0, и сужайте интервал (или интерполируйте между ними).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Показать ответ и пошаговое решение
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Что вы предпочтёте: €100 сегодня или €100 через год? Сегодня: вы могли бы положить их в банк и через год иметь больше €100.
Значит, евро в будущем стоит меньше, чем евро сейчас. Компании используют эту идею, чтобы решить, стоит ли делать инвестицию.
NPV и IRR: как решать задачи шаг за шагом?
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
NPV и IRR: какие ошибки самые частые?
Дисконтируют денежный поток года 0.
Забывают первоначальную инвестицию.
Складывают денежные потоки без дисконтирования.
NPV и IRR: что вы тренируете?
Лёгкая: равные денежные потоки
Средняя: неравные денежные потоки
Сложная: внутренняя норма доходности
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.