Временная стоимость денег: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: дисконтирование · сложные проценты · приведённая стоимость · наращение
Бесплатные задачи по теме Временная стоимость денег с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: будущая стоимость, наращение и дисконтирование, аннуитеты и кредиты.
Изучите тему «Временная стоимость денег» с нуля
1Почему деньги растут со временем
Если вы положите €1000 на сберегательный счёт под 5% годовых, через год у вас будет €1050. Лишние €50 — это проценты.
Во второй год вы получаете 5% с €1050, а не с €1000. Поэтому проценты составляют €52,50, и остаток становится €1102,50.
Начисление процентов на ранее начисленные проценты называется сложными процентами. При простых процентах вы всегда получали бы только 5% от первоначальных €1000.
Поскольку деньги могут расти таким образом, €1000 сегодня стоят больше, чем €1000 через три года. Это временная стоимость денег.
Каждый план накоплений, кредит и ипотека рассчитываются на основе этой идеи.
Самопроверка Вы вносите €100 под 10% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через 2 года?
- €110
- €120
- €121
- €200
Ответ: €121. Год 1: 100 · 1,10 = 110. Год 2: 110 · 1,10 = 121. €120 — это простые проценты: они не учитывают проценты, полученные на первые €10 процентов.
2Будущая и приведённая стоимость
В каждом периоде остаток умножается на (1 + i), где i — процентная ставка за период в виде десятичной дроби. После n периодов:
FV = PV · (1 + i)n
PV (приведённая стоимость) — это сумма сегодня. FV (будущая стоимость) — это сумма после n периодов.
Движение назад называется дисконтированием. Оно показывает, сколько нужно сегодня, чтобы позже достичь цели:
PV = FV / (1 + i)n
Пример: чтобы через 2 года при 5% иметь €1102,50, сегодня нужно 1102,50 / 1,05² = €1000.
Банки часто называют годовую номинальную ставку r, но начисляют проценты m раз в год: m = 4 для ежеквартального и m = 12 для ежемесячного начисления. Тогда вы считаете по периодам:
i = r / m N = m · n
Самопроверка Ставка 6% годовых капитализируется ежемесячно в течение 3 лет. Чему равны i и N?
- i = 0,005 и N = 36
- i = 0,005 и N = 3
- i = 0,06 и N = 36
- i = 0,5 и N = 36
Ответ: i = 0,005 и N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 в месяц и N = 12 · 3 = 36 месяцев. Самая частая ошибка — взять годовое 0,06 с 36 месяцами: так 6% начисляется каждый месяц.
3Аннуитеты: равные платежи
Аннуитет — это ряд равных платежей A в конце каждого периода, например €250, откладываемые каждый месяц, или ежемесячное погашение кредита.
Можно было бы капитализировать или дисконтировать каждый платёж отдельно и сложить. Формулы аннуитета выполняют это суммирование за один шаг.
Сколько у вас будет в конце, если откладывать A в каждый период:
FV = A · [(1 + i)N − 1] / i
Сколько стоят все платежи сегодня:
PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i
Кредит погашается аннуитетом: сумма займа P равна приведённой стоимости платежей. Решите это относительно платежа:
A = P · i / [1 − (1 + i)−N]
Пример: €10 000 взяты под 6% годовых с ежемесячной капитализацией на 3 года. i = 0,005 и N = 36, поэтому A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = €304,22 в месяц.
4Метод по шагам
- Нарисуйте временную шкалу. Отметьте то, что известно (сумма сегодня, цель позже, равные платежи), и то, что нужно найти.
- Найдите ставку за период i = r/m и число периодов N = m · n. Запишите ставку десятичной дробью.
- Выберите формулу: одна сумма (FV или PV) или ряд равных платежей (аннуитет).
- Вычислите. Сначала найдите степень (1 + i)N и сохраните не менее 4 десятичных знаков.
- Проверьте порядок ответа: будущая стоимость больше вклада, а приведённая стоимость меньше цели.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный примерВы вкладываете €2000 под номинальную ставку 4% годовых с ежеквартальной капитализацией. Найдите стоимость вложения FV через 3 года.
1Одна сумма вносится сегодня. Нужно найти её стоимость через 3 года, то есть через 12 кварталов.
2Проценты начисляются 4 раза в год, поэтому считайте по кварталам.
i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3Каждый квартал остаток умножается на 1,01.
(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5При ежегодной капитализации вы получили бы 2000 · 1,04³ = €2249,73. Ежеквартальная капитализация даёт немного больше, потому что проценты начинают приносить проценты раньше. €2253,65 подходит.
Ответ FV ≈ €2253,65 через 3 года.
6Типичные ошибки
- Использовать годовую ставку с ежемесячными или ежеквартальными периодами. Разделите ставку на m и умножьте годы на m.
- Использовать простые проценты PV · (1 + i · n) вместо сложных PV · (1 + i)n.
- Неверно посчитать число периодов, например 3 вместо 36 для трёх лет ежемесячных платежей.
- Записать ставку в процентах: 1,412 вместо 1,0412.
- Для плана накоплений складывать только взносы. Каждый взнос тоже приносит проценты.
Самопроверка Вы вкладываете €1000 под 6% годовых с ежемесячной капитализацией на 3 года. Какой расчёт верен?
- 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
- 1000 · 1,00536 = €1196,68
- 1000 · 1,0636 = €8147,25
- 1000 · 1,063 = €1191,02
Ответ: 1000 · 1,00536 = €1196,68. Ежемесячная капитализация: i = 0,06/12 = 0,005 и N = 36. Использование 1,06 для 36 периодов начисляет 6% каждый месяц. 1,06³ игнорирует ежемесячную капитализацию, а 1180 — это простые проценты.
7Как выглядят экзаменационные задачи
- Лёгкие: будущая стоимость. Один вклад с ежегодной капитализацией: FV = PV · (1 + i)n.
- Средние: капитализация и дисконтирование. Ежеквартальная или ежемесячная капитализация, нужно найти будущую стоимость или вклад, необходимый сегодня.
- Сложные: аннуитеты и кредиты. Итоговая сумма ежемесячного плана накоплений или ежемесячный платёж по кредиту.
Всегда говорите, что означает число: «через 3 года у вас будет €2253,65».
Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении