Kiriş sehimi: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: sehim · elastik eğri

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Kiriş sehimi alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: konsol, uç yükü, düzgün yük, süperpozisyon ve tasarım.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
P = 3 kNδL = 1,5 m

Bir konsol kiriş serbest ucunda P tekil yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
Sonraki soru →
Kiriş sehimi konusunu ücretsiz çalışınKiriş sehimi konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaykonsol, uç yükü
  2. Ortadüzgün yük
  3. Zorsüperpozisyon ve tasarım

Temel formüller

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kiriş sehimi konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Kesme kuvveti ve eğilme momenti, Ağırlık merkezi ve atalet momenti

1Sehim nedir?

Her kiriş yük altında biraz eğilir. Kirişin bir noktasının aşağı doğru hareket ettiği uzaklık, genellikle mm cinsinden sehim δ’dır.

PδL

Bir kiriş yeterince dayanıklı olup yine de fazla eğilebilir. O zaman döşemeler sallanır, sıva çatlar, kapılar sıkışır. Döşemeler için yaygın bir sınır açıklık/360’tır: 3,6 m’lik bir döşeme en çok 10 mm sehim yapabilir.

Bir kirişin ne kadar sehim yapacağı dört şeye bağlıdır:

  • yük: iki kat yük, iki kat sehim verir;
  • açıklık: sehim uzunlukla çok hızlı artar (L³ veya L⁴);
  • malzemenin elastisite modülü E: daha rijit malzeme daha az eğilir;
  • kesitin atalet momenti I: daha derin bir kesit daha az eğilir.

E ve I her zaman birlikte EI çarpımı olarak görünür; bu, kirişin eğilme rijitliğidir.

Kendini sına Bir kirişi, atalet momenti I iki katı olan bir kirişle değiştiriyorsunuz. Diğer her şey aynı kalıyor. Sehime ne olur?
  1. Aynı kalır
  2. Dörtte birine iner
  3. Yarıya iner
  4. İki katına çıkar

Cevap: Yarıya iner. Sehim EI ile ters orantılıdır. I’yı ikiye katlamak δ’yı yarıya indirir.

2Standart formüller

Sehimler eğilme momentinin iki kez integralinden gelir, ama yaygın durumlar için sonuç tablolaştırılmıştır. Dört durum soruların çoğunu kapsar:

  • Konsol, serbest uçta tekil yük P: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • Konsol, tüm uzunlukta yayılı yük w: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • Basit mesnetli, açıklık ortasında tekil yük P: δmaks = P·L³ / (48·E·I)
  • Basit mesnetli, tüm açıklıkta yayılı yük w: δmaks = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

Konsolda en büyük sehim serbest uçtadır; simetrik yüklü basit mesnetli kirişte ise açıklık ortasındadır.

Bir kiriş birkaç yük taşıdığında, her yükün tek başına yaptığı sehimler toplanır. Buna süperpozisyon denir.

Kendini sına Uç yüklü bir konsolun uç sehimi 2 mm’dir. Konsol iki kat uzun yapılıyor. Yeni sehim nedir?
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

Cevap: 16 mm. δ, L³ ile orantılıdır, bu yüzden L’yi ikiye katlamak δ’yı 2³ = 8 ile çarpar: 2·8 = 16 mm. 4 mm bunu doğrusal sayar; 32 mm ise yayılı yük durumu olan L⁴’ü kullanır.

3Birimler: N ve mm ile çalışın

Formüller yalnızca tutarlı birimlerle çalışır. Güvenli seçim newton ve milimetredir:

  • P, N cinsinden: kN × 1000.
  • w, N/mm cinsinden: 1 kN/m tam olarak 1 N/mm’dir.
  • L, mm cinsinden: m × 1000.
  • E, N/mm² cinsinden: GPa × 1000. Çelik: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I, mm⁴ cinsinden: “36 × 10⁶ mm⁴” 36 000 000 mm⁴ demektir.

Sehim o zaman mm cinsinden çıkar. L üçüncü veya dördüncü kuvvete yükseltildiği için sayılar büyür. On üzeri kuvvetli bir hesap makinesi bunları kontrol altında tutar.

Kendini sına Bir kiriş çeliktendir, E = 200 GPa. N ve mm ile hangi E değerini kullanırsınız?
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

Cevap: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², yani 200 GPa = 200 000 N/mm². 200 kullanmak sehimi 1000 kat büyük yapar.

4Adım adım yöntem

  1. Durumu belirleyin: konsol mu basit mesnetli mi, tekil yük mü yayılı yük mü.
  2. P, w, L, E ve I’yı N ve mm’ye çevirin.
  3. Uygun formülü seçin.
  4. δ’yı mm cinsinden hesaplayın.
  5. Birkaç yük için: her birini ayrı hesaplayın ve toplayın.
  6. Bir tasarım sorusunda: δ’yı izin verilen değere (örneğin L/360) eşitleyin ve I için çözün.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Çelik bir konsol (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) 3 m uzunluğunda ve serbest ucunda 8 kN’luk tekil yük taşıyor. Serbest uçtaki sehimi bulun.

1

Durumu belirleyin

P = 8 kNδL = 3 m

Serbest uçta tekil yüklü bir konsol: δ = PL³/(3EI).

2

N ve mm’ye çevirin

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

3

Eğilme rijitliği

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

Uç sehimi

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

Cevabı kontrol edin

3 m’lik bir konsolda 10 mm, L/300’dür. Yüklü bir çelik kiriş için gerçekçi bir büyüklüktür: ne milimetrenin kesri ne de onlarca santimetre.

Cevap

Serbest uç δ = 10 mm sehim yapar.

6Sık yapılan hatalar

  • Birimleri karıştırmak: L metre, E N/mm² cinsinden olursa anlamsız sonuç çıkar. Önce her şeyi N ve mm’ye çevirin.
  • E’yi GPa olarak bırakmak; δ’yı 1000 kat büyük yapar.
  • Yanlış durumu kullanmak, örneğin konsol için PL³/(48EI). Mesnetlere ve yük türüne bakın.
  • 5wL⁴/(384EI) içindeki 5’i unutmak.
  • Süperpozisyonda her yük için farklı bir formül kullanıp yüklerden birini unutmak.
Kendini sına Basit mesnetli bir kirişte açıklık ortasındaki tekil yük tek başına 4 mm, yayılı yük tek başına 6 mm sehim veriyor. Açıklık ortasındaki sehim nedir?
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

Cevap: 10 mm. Süperpozisyonla her yükün sehimleri toplanır: 4 + 6 = 10 mm. Yalnızca büyüğü almak, farkı veya çarpımı almak yanlıştır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: uç yüklü konsol. δ = PL³/(3EI) bulun. Varyantlar: ortada yüklü basit mesnetli kiriş, uç dönmesi veya belirli bir sehim veren yük.
  • Orta: düzgün yayılı yük. Bir konsol (wL⁴/8EI) veya basit mesnetli kiriş (5wL⁴/384EI). Varyantlar: ortada olmayan yükler ve uç dönmeleri.
  • Zor: süperpozisyon ve tasarım. Bir tekil yükün ve bir yayılı yükün sehimlerini toplayın veya δ’yı L/360’ın altında tutan en küçük I’yı bulun.

Tasarım durumu için: Igerekli = 5wL⁴ / (384·E·δizin), δizin = L/360 ile.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
P = 19 kNABδ2 m2 m

Basit mesnetli bir kiriş açıklık ortasında P tekil yükü taşır. Açıklık ortasındaki sehim δmax değerini bulun.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴

İstenen: δmax (mm)

İpuçlarını göster
  1. Ortasında tekil yük bulunan basit mesnetli kiriş için orta nokta sehimi δ = PL³/(48EI)’dir.
  2. N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Açıklık ortası sehimi

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Cevap

δmax = 10,56 mm
Örnek 2Orta
P = 26 kNABδ2 m4 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

İstenen: δB (mm)

İpuçlarını göster
  1. A ile yük arasındaki kısım, uçtan yüklü a uzunluğunda bir konsol gibi davranır: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
  2. Yükün ötesinde moment yoktur, bu yüzden o kısım düz kalır: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Cevap

δB = 16,51 mm
Örnek 3Zor
w = 4 kN/mABδ3 m

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm

İstenen: hreq (mm)

İpuçlarını göster
  1. Açıklık ortası sehimi 5wL⁴/(384EI)’yi sınıra eşitleyin ve gerekli I’yı çözün.
  2. Sonra dikdörtgen için I = bh³/12 kullanın ve h’yi çözün.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

Cevap

hreq = 176,8 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

Sorular ve cevaplar

Kiriş sehimi nedir?

Her kiriş yük altında biraz eğilir. Kirişin bir noktasının aşağı doğru hareket ettiği uzaklık, genellikle mm cinsinden sehim δ’dır.

Bir kiriş yeterince dayanıklı olup yine de fazla eğilebilir. O zaman döşemeler sallanır, sıva çatlar, kapılar sıkışır. Döşemeler için yaygın bir sınır açıklık/360’tır: 3,6 m’lik bir döşeme en çok 10 mm sehim yapabilir.

Kiriş sehimi soruları adım adım nasıl çözülür?

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Kiriş sehimi konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • PL³/(3EI) uçtan yüklü konsola aittir. Ortadan yüklü basit mesnetli bir kiriş PL³/(48EI) kadar sehim yapar.
  • 5/384 katsayısı düzgün yayılı yüke (wL⁴ ile) aittir. Ortadaki tekil yük için 1/48 kullanın.
  • Bu, yükün altındaki sehim. Yükün ötesinde kiriş düzdür ama eğiktir, bu yüzden θ·(L − a) ekleyin.
Kiriş sehimi alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: konsol, uç yükü
  • Orta: düzgün yük
  • Zor: süperpozisyon ve tasarım

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Kesme kuvveti ve eğilme momentiAğırlık merkezi ve atalet momenti

Hesaplayıcılar

Kiriş sehimi hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

MukavemetYapı StatiğiFE Mechanical sınav hazırlığıFE Civil sınav hazırlığı

İnşaat alanında diğer konular

Kesme kuvveti ve eğilme momentiKafes: düğüm yöntemiAğırlık merkezi ve atalet momentiKolon burkulmasıZeminde efektif gerilmeKonsolidasyon oturmasıHidrostatik kuvvetAçık kanal akışı (Manning)

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Kiriş sehimi çalışma kâğıdı
Kiriş sehimi konusunu ücretsiz çalışınKiriş sehimi konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.