Ağırlık merkezi ve atalet momenti: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: atalet momenti · Steiner teoremi · ağırlık merkezi hesabı

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Ağırlık merkezi ve atalet momenti alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: ağırlık merkezi, atalet momenti, eğilme gerilmesi.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
1002516012ȳ = ?boyutlar mm cinsinden

T kesitin ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Sonraki soru →
Ağırlık merkezi ve atalet momenti konusunu ücretsiz çalışınAğırlık merkezi ve atalet momenti konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayağırlık merkezi
  2. Ortaatalet momenti
  3. Zoreğilme gerilmesi

Temel formüller

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Ağırlık merkezi ve atalet momenti konusunu sıfırdan öğrenin

1Kesit şekli neden önemlidir?

Bir kirişi düz kesin ve kesilen yüze bakın. O şekil enkesittir, veya kısaca kesit.

100 × 20 mm’lik bir tahta alın. Bir boşluğun üzerine yatay koyarsanız çok sarkar. Aynı tahtayı kenarı üzerine dikerseniz çok daha rijittir, hem de alanı tam aynıdır.

1002020100ab

Önemli olan, malzemenin kirişin etrafında eğildiği eksenden ne kadar uzakta olduğudur. O eksenden uzaktaki malzeme çok daha fazla çalışır.

İki özellik bunu tanımlar. Ağırlık merkezi (centroid), kesitin geometrik merkezidir: kiriş ondan geçen bir eksen etrafında eğilir. Atalet momenti (ikinci alan momenti) I, alanın o eksenden ne kadar uzağa yayıldığını ölçer.

Kendini sına Aynı tahta yatay (a) ve kenarı üzerinde (b) kullanılıyor, yatay bir eksen etrafında eğiliyor. Hangisi daha rijittir?
  1. Alan aynı olduğu için ikisi de aynı
  2. Kenarı üzerinde (b)
  3. Yalnızca malzemeye bağlıdır
  4. Yatay (a)

Cevap: Kenarı üzerinde (b). Kenarı üzerinde malzeme eğilme ekseninden daha uzaktadır. Alan aynıdır, ama sayılan şey eksenden uzaklığıdır.

2Bileşik bir kesitin ağırlık merkezi

Bir dikdörtgen için ağırlık merkezi ortadadır. T gibi birçok kiriş kesiti dikdörtgenlerden oluşur.

Kesiti dikdörtgenlere bölün. Her biri için Ai alanını ve kendi ağırlık merkezinin, tek bir referans çizgisinden, genellikle alt kenardan ölçülen yi yüksekliğini bulun.

Tüm kesitin ağırlık merkezi, bu yüksekliklerin alanla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Büyük bir parça ağırlık merkezini kendine doğru çeker. Başlığı (flanş) üstte olan bir T kesitte ağırlık merkezi yüksekliğin ortasının üstündedir.

Kendini sına Parça 1: A = 3000 mm², y = 20 mm. Parça 2: A = 1000 mm², y = 100 mm. Ağırlık merkezi nerededir?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Cevap: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm yüksekliklerin düz ortalamasıdır ve alanları yok sayar. 80 mm alanları yer değiştirir.

3Atalet momenti (ikinci alan momenti)

Genişliği b ve yüksekliği h olan, kendi ağırlık merkezinden geçen yatay bir eksen etrafında eğilen bir dikdörtgen için:

Ic = b · h³ / 12

Yüksekliğin küpü alınır; kenarı üzerindeki tahtanın 25 kat daha rijit olmasının nedeni budur: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Bileşik bir kesit için her parça, toplam ağırlık merkezinden geçen eksenden belirli bir d uzaklığındadır. Paralel eksen teoremi bu kayma için bir terim ekler:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

Birim mm⁴’tür. Sayılar büyür, bu yüzden cevaplar çoğu zaman “× 10⁶ mm⁴” olarak verilir.

I'yı bulduktan sonra, ağırlık merkezi eksenine y uzaklığındaki eğilme gerilmesi, eğilme momenti M'den çıkar:

σ = M · y / I
Kendini sına 100 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde bir dikdörtgen: kendi yatay ağırlık merkezi ekseni etrafındaki I nedir?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Cevap: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667, b ile h’yi yer değiştirir (kenarı üzerindeki tahtadır); 800 000, 12’ye bölmeyi unutur.

4Adım adım yöntem

  1. Kesiti dikdörtgenlere bölün ve numaralandırın.
  2. Her parça için: alan Ai ve ağırlık merkezi yüksekliği yi, hepsi alt kenardan ölçülür.
  3. Ağırlık merkezi: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Her parça için: kendi Ic = bh³/12 ve uzaklık di = yi − ȳ.
  5. Toplayın: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Bir gerilme isteniyorsa: σ = M·y/I; y, eksenden ihtiyacınız olan kenara olan uzaklıktır.

A, y, A·y, Ic, d ve A·d² sütunlu küçük bir tablo her şeyi düzenli tutar.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Bir T kesit, 20 × 100 mm’lik bir gövdenin üstünde 100 × 20 mm’lik bir başlığa sahiptir. Ağırlık merkezi yüksekliği ȳ’yı, atalet momenti Ix’i ve 4 kN·m’lik pozitif (sehim yapan) bir moment için üst ve alt kenardaki eğilme gerilmelerini bulun.

1

İki dikdörtgene ayırın

100201002012

Başlık (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², ağırlık merkezi y1 = 100 + 10 = 110 mm’de.

Gövde (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², ağırlık merkezi y2 = 50 mm’de.

2

Ağırlık merkezi

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

İki alan eşittir, yani ȳ 110 ile 50 mm'nin tam ortasındadır.

3

Kendi atalet momentleri

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Paralel eksen terimleri

1002010020xȳ = 80

Her ağırlık merkezi x ekseninden 30 mm uzaktadır: d1 = 110 − 80 = 30 mm ve d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Her parça için:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Toplam atalet momenti

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Eğilme gerilmeleri

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Alt kenar eksenden 80 mm, üst kenar 120 − 80 = 40 mm uzaktadır.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

Alt kenar çekmede, üst kenar basınçtadır; sehim yapan her kirişte olduğu gibi.

Cevap

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σalt = 60 MPa ve σüst = 30 MPa.

6Sık yapılan hatalar

  • A·d² terimini unutmak. Onsuz yalnızca parçaların kendi I değerlerini toplarsınız, bu çok küçüktür.
  • yi yüksekliklerini farklı referans çizgilerinden ölçmek. Alt kenarı seçin ve ona bağlı kalın.
  • d'yi toplam ağırlık merkezinden değil alt kenardan almak.
  • bh³/12 içinde b ile h’yi karıştırmak. Eğilme eksenine dik olan boyutun küpü alınır.
  • σ = M·y/I içinde yanlış kenar uzaklığını kullanmak. Eksenden en uzak kenar en büyük gerilmeye sahiptir.
Kendini sına 100 × 20 mm’lik (genişlik × yükseklik) bir dikdörtgenin ağırlık merkezi bir x ekseninden 50 mm uzaktadır. Ix’e katkısı nedir?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Cevap: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ A·d²’yi unutur; 5,00 × 10⁶ kendi terimi unutur; 6,67 × 10⁶ 1 666 667’yi (b ve h yer değiştirmiş) artı A·d² kullanır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: ağırlık merkezi. Bir T kesitin alt kenarının üstündeki ȳ’yı bulun. Varyantlar: bir köşebent kesiti veya tek bir dikdörtgenin, dairenin (πd⁴/64) ya da kutunun I’sı.
  • Orta: atalet momenti. T kesitin ağırlık merkezi ekseni etrafındaki Ix’ini bulun. Varyantlar: I kesitler, U profiller ve atalet yarıçapı r = √(I/A).
  • Zor: eğilme gerilmesi. T kesit bir M momenti taşır; σ = M·y/I ile üst veya alt kenardaki gerilmeyi bulun.

Verilen boyutlar başlık için bf ve tf, gövde için tw ve hw’dir.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
260102808ȳ = ?boyutlar mm cinsinden

T kesitin ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

İstenen: ȳ (mm)

İpuçlarını göster
  1. T’yi bir başlık ve bir gövdeye ayırın; her birinin alanını ve ağırlık merkezi yüksekliğini bulun.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA; her y alt kenardan ölçülür.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
gövde: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Cevap

ȳ = 217,9 mm
Örnek 2Orta
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

100 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 156 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 156 mm

İstenen: Ix (× 10⁶ mm⁴)

İpuçlarını göster
  1. Önce ağırlık merkezini bulun: levha eksi delik.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Sonra ȳ’ye göre I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Örnek 3Zor
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

100 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 120 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 100 mmh = 200 mmkesik: 30 × 20 mmdelik merkezi: y = 120 mm

İstenen: Ix (× 10⁶ mm⁴)

İpuçlarını göster
  1. Önce ağırlık merkezini bulun: levha eksi delik.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Sonra ȳ’ye göre I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Sorular ve cevaplar

Ağırlık merkezi ve atalet momenti nedir?

Bir kirişi düz kesin ve kesilen yüze bakın. O şekil enkesittir, veya kısaca kesit.

100 × 20 mm’lik bir tahta alın. Bir boşluğun üzerine yatay koyarsanız çok sarkar. Aynı tahtayı kenarı üzerine dikerseniz çok daha rijittir, hem de alanı tam aynıdır.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti soruları adım adım nasıl çözülür?

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: ağırlık merkezi
  • Orta: atalet momenti
  • Zor: eğilme gerilmesi

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Sonra devam edin

Kolon burkulmasıKiriş sehimi

Hesaplayıcılar

Atalet momenti hesaplayıcı (alanın ikinci momenti)Ağırlık merkezi hesaplayıcı (bileşik şekiller ve çokgenler)

Bu konuyu içeren dersler

StatikMukavemetFE Civil sınav hazırlığı

İnşaat alanında diğer konular

Kesme kuvveti ve eğilme momentiKafes: düğüm yöntemiKiriş sehimiKolon burkulmasıZeminde efektif gerilmeKonsolidasyon oturmasıHidrostatik kuvvetAçık kanal akışı (Manning)

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Ağırlık merkezi ve atalet momenti çalışma kâğıdı
Ağırlık merkezi ve atalet momenti konusunu ücretsiz çalışınAğırlık merkezi ve atalet momenti konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.