Kolon burkulması: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: burkulma · Euler burkulma yükü · kritik yük

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Kolon burkulması alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: mafsallı uçlar, diğer mesnet koşulları, tasarım ve kritik gerilme.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
PL = 2,5 m40 × 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 80 mm
kN
Sonraki soru →
Kolon burkulması konusunu ücretsiz çalışınKolon burkulması konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaymafsallı uçlar
  2. Ortadiğer mesnet koşulları
  3. Zortasarım ve kritik gerilme

Temel formüller

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

Kolon burkulması konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Ağırlık merkezi ve atalet momenti

1Burkulma nedir?

Plastik bir cetvelin iki ucuna bastırın. Önce hiçbir şey olmuyormuş gibi görünür. Sonra, oldukça aniden, yana doğru bükülür. Bu burkulmadır.

Kolon (basınç çubuğu), boyu boyunca basınca maruz kalan elemandır: bir bina kolonu, çatıdaki bir payanda, bir piston kolu.

PL

Kısa ve kalın bir kolon ezilerek göçer: P/A gerilmesi malzemenin dayanımına ulaşır. Uzun ve narin bir kolon, gerilme hâlâ bu dayanımın çok altındayken çok daha düşük bir yükte burkulur.

Narin bir kolonun burkulduğu yük, kritik yük Pcr’dir. Bunun üzerinde kolon kararsızdır ve yenilir.

Kendini sına İki çelik kolonun kesiti aynıdır. Biri 2 m, diğeri 4 m uzunluğundadır. Hangisi daha düşük yükte burkulur?
  1. 2 m’lik kolon
  2. 4 m’lik kolon
  3. Hiçbiri: çelik kolonlar burkulamaz
  4. İkisi de aynı yükte

Cevap: 4 m’lik kolon. Daha uzun bir kolon daha narindir ve daha kolay burkulur. Burkulmada en önemli etken uzunluktur.

2Euler formülü

Leonhard Euler, narin bir kolonun kritik yükünü buldu:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E, malzemenin elastisite modülüdür: çelik için 200 GPa.
  • I, kesitin atalet momentidir (ikinci alan momenti). En küçüğünü kullanın: kolon kolay yoldan eğilir.
  • L uzunluktur ve K, uçların nasıl tutulduğuna bağlı olan etkili uzunluk katsayısıdır.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Mafsallı bir uç dönebilir; ankastre bir uç dönemez. Uçları daha sıkı tutmak daha kısa bir etkili uzunluk KL ve çok daha yüksek bir Pcr verir, çünkü KL’nin karesi alınır.

Yuvarlak çubuk için I = π·d⁴/64. b × h dikdörtgeni için, b küçük kenar olmak üzere, Imin = h·b³/12.

Kendini sına Mafsallı–mafsallı bir kolonun Pcr = 100 kN’dur. Aynı kolon tabanda ankastre, üstte serbest yapılıyor (K = 2). Pcr şimdi nedir?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Cevap: 25 kN. Pcr, K² = 4’e bölünür: 100/4 = 25 kN. 50 kN, K’nın karesini almayı unutur; 200 ve 400 kN bölmek yerine çarpar.

3Narinlik ve kritik gerilme

Pcr’yi alana bölmek kritik gerilmeyi verir. En düzgün hâli, atalet yarıçapı r ve narinlik oranı λ (lambda) ile yazılır:

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Dolu yuvarlak çubuk için r = d/4’tür.

Euler formülü yalnızca σcr malzemenin akma gerilmesinin altında kaldığı sürece geçerlidir. Yapı çeliği için bu, kabaca λ > 100 narinlik demektir. Daha tıknaz kolonlar akma ile veya ikisinin karışımıyla göçer ve başka tasarım kuralları gerektirir.

Kendini sına Dikdörtgen bir kolon kesiti 20 mm × 40 mm’dir. En küçük atalet momenti nedir?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Cevap: 26 667 mm⁴. Zayıf eksende küçük kenarın küpü alınır: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 güçlü eksendir; 320 000 /12’yi unutur; 7854 daire formülünü kullanır.

4Adım adım yöntem

  1. Uç koşullarını okuyun ve K’yı seçin: 1, 2, 0,7 veya 0,5.
  2. Kesitin en küçük I değerini mm⁴ cinsinden bulun.
  3. N ve mm’ye çevirin: L mm cinsinden, E N/mm² cinsinden (GPa × 1000).
  4. Etkili uzunluk: KL.
  5. Kritik yük: Pcr = π²EI/(KL)², N cinsinden. kN için 1000’e bölün.
  6. İstenirse narinliği KL/r veya kritik gerilmeyi Pcr/A kontrol edin.

Emniyet katsayısı n olan bir tasarım sorusunda kolonun Pcr = n·P değerine sahip olması gerekir. Euler formülünü önce I için, sonra çap için çözün.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Çapı 40 mm ve boyu 2 m olan dolu yuvarlak bir çelik kolon (E = 200 GPa) iki ucundan mafsallıdır. Kritik burkulma yükü Pcr’yi bulun. Sonra aynı kolonu tabanda ankastre, üstte serbest hâli için tekrar bulun.

1

Kolona bakın

PL = 2 m

İki ucu mafsallıdır, yani K = 1 ve KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Alan atalet momenti

Yuvarlak bir kesitin her eksene göre I değeri aynıdır:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Kritik yük

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Euler’in geçerli olduğunu kontrol edin

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Bu, çeliğin akma gerilmesinin (yaklaşık 250 MPa) çok altındadır; yani kolon narindir ve Euler formülü geçerlidir.

5

Ankastre taban, serbest üst

Şimdi K = 2 olduğundan etkili uzunluk 4000 mm’ye iki katına çıkar ve Pcr 2² = 4 kat düşer:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Cevap

İki ucu mafsallıyken Pcr = 62,0 kN, tabanda ankastre ve üstte serbestken 15,5 kN.

6Sık yapılan hatalar

  • Yanlış K seçmek veya karesini almayı unutmak.
  • Dikdörtgenin büyük I değerini kullanmak. Kolon her zaman zayıf ekseni etrafında burkulur.
  • Birimleri karıştırmak: L metre, E N/mm² cinsinden. Baştan sona N ve mm ile çalışın.
  • π·d⁴/64 yerine π·d⁴/32 (burulmadaki polar atalet momenti J) kullanmak.
  • Euler’i, kritik gerilmesi akma gerilmesinin üzerinde kalacak kısa ve tıknaz bir kolona uygulamak.
Kendini sına İki ucu mafsallı bir kolonun Pcr = 40 kN’dur. Aynı kolon iki ucundan ankastre yapılıyor (K = 0,5). Pcr nedir?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Cevap: 160 kN. Pcr, K² = 0,25’e bölünür, yani dört kat büyür: 160 kN. 80 kN, K’nın karesini almayı unutur; 10 kN ise bölmek yerine K² ile çarpar.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: mafsallı uçlar. Yuvarlak veya dikdörtgen bir çelik ya da alüminyum kolonun Pcr değerini bulun.
  • Orta: diğer uç koşulları. Aynı soru K = 2, 0,7 veya 0,5 ile.
  • Zor: tasarım ve kritik gerilme. Bir yükü emniyet katsayısıyla taşıyan en küçük çapı bulun veya narinliği ve σcr değerini bulun.

Yuvarlak çubukta tasarım durumu için: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
PL = 5 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

İstenen: Pcr (kN)

İpuçlarını göster
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Burkulma boyu katsayısı: iki ucu mafsallı bir kolon için K = 1.
  3. I = 306796 mm⁴.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Cevap

Pcr = 8,478 kN
Örnek 2Orta
PL = 2,5 md = 30 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

İstenen: Pcr (kN)

İpuçlarını göster
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Burkulma boyu katsayısı: tabanı ankastre, tepesi serbest bir kolon için K = 2.
  3. I = 39761 mm⁴.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Cevap

Pcr = 3,139 kN
Örnek 3Zor
PL = 2,5 md = 25 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 25 mm

İstenen: σcr (MPa)

İpuçlarını göster
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)²; r = √(I/A) atalet yarıçapıdır.
  2. Kolon en zayıf ekseni etrafında burkulduğu için en küçük I’yı kullanın.
  3. r = 6,25 mm.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σcr = 4,318 MPa

Sorular ve cevaplar

Kolon burkulması nedir?

Plastik bir cetvelin iki ucuna bastırın. Önce hiçbir şey olmuyormuş gibi görünür. Sonra, oldukça aniden, yana doğru bükülür. Bu burkulmadır.

Kısa ve kalın bir kolon ezilerek göçer: P/A gerilmesi malzemenin dayanımına ulaşır. Uzun ve narin bir kolon, gerilme hâlâ bu dayanımın çok altındayken çok daha düşük bir yükte burkulur.

Kolon burkulması soruları adım adım nasıl çözülür?

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Kolon burkulması alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: mafsallı uçlar
  • Orta: diğer mesnet koşulları
  • Zor: tasarım ve kritik gerilme

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Hesaplayıcılar

Euler burkulması hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

MukavemetYapı StatiğiMakine TasarımıFE Mechanical sınav hazırlığıFE Civil sınav hazırlığı

İnşaat alanında diğer konular

Kesme kuvveti ve eğilme momentiKafes: düğüm yöntemiKiriş sehimiAğırlık merkezi ve atalet momentiZeminde efektif gerilmeKonsolidasyon oturmasıHidrostatik kuvvetAçık kanal akışı (Manning)

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Kolon burkulması çalışma kâğıdı
Kolon burkulması konusunu ücretsiz çalışınKolon burkulması konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.