Anleihekurs & Rendite: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Anleihekurs & Rendite mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: jährliche Kupons, halbjährliche Kupons, Rendite bis zur Fälligkeit.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% und wird in 9 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5%. Bestimme den Kurs P der Anleihe.
Eine Anleihe ist ein Kredit, den man kaufen und verkaufen kann. Ein Unternehmen oder ein Staat leiht sich Geld und verspricht dafür feste Zahlungen.
Auf einer typischen Anleihe stehen drei Zahlen:
Der Nennwert F, meist 1000 €. Er wird am letzten Tag, der Fälligkeit, zurückgezahlt.
Der Kuponzinssatz. Jedes Jahr zahlt die Anleihe diesen Prozentsatz des Nennwerts als Zins, den Kupon C. Ein Kupon von 5 % auf 1000 € sind 50 € im Jahr.
Die Laufzeit n: wie viele Jahre es bis zur Rückzahlung des Nennwerts dauert.
Die Kupons und der Nennwert sind fest. Was sich ändert, ist der Preis P, den Anleger heute zahlen. Dieser Preis hängt von der Rendite ab, die Anleger jetzt wollen.
Selbsttest Eine Anleihe hat einen Nennwert von 1000 € und einen Kuponzinssatz von 6 %, einmal im Jahr gezahlt. Wie groß ist der Kupon C?
€1060
€600
€60
€6
Antwort: €60. C = 6 % des Nennwerts = 0,06 · 1000 = 60 € pro Jahr. 1060 € ist die letzte Zahlung (Kupon plus Nennwert), nicht der Kupon.
2Preis und Rendite bis zur Fälligkeit
Die Rendite bis zur Fälligkeit (Yield to Maturity, YTM, geschrieben y) ist die jährliche Rendite, die der Markt für die Anleihe verlangt. Sie ist der Abzinsungssatz für alle ihre Zahlungen.
Der Preis ist der Barwert von allem, was die Anleihe zahlt: Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert ist ein einzelner Betrag am Ende.
P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n
Vergleiche die Rendite mit dem Kuponzinssatz. Das verrät dir die Antwort, bevor du rechnest:
Rendite gleich Kuponzinssatz: Der Preis ist genau der Nennwert, 1000 € (zu pari).
Rendite über dem Kuponzinssatz: Der Preis liegt unter dem Nennwert (ein Disagio, Abschlag).
Rendite unter dem Kuponzinssatz: Der Preis liegt über dem Nennwert (ein Agio, Aufschlag).
Anleihekurse und Renditen bewegen sich also immer in entgegengesetzte Richtungen. Steigen die Renditen, fallen die Kurse.
Selbsttest Eine Anleihe hat einen Kupon von 4 %. Die Marktrendite beträgt 6 %. Wo wird ihr Preis liegen?
Beim Nennwert plus einem Kupon
Genau beim Nennwert
Unter dem Nennwert
Über dem Nennwert
Antwort: Unter dem Nennwert. Die Anleihe zahlt nur 4 %, während Anleger 6 % wollen. Sie kaufen sie nur zu einem niedrigeren Preis, sie wird also mit Abschlag verkauft.
3Das Verfahren Schritt für Schritt
Bestimme den Kupon pro Periode C, die Rendite pro Periode y und die Anzahl der Perioden n.
Bei halbjährlichen Kupons: Verwende den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl an Jahren.
Barwert der Kupons: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
Barwert des Nennwerts: F / (1 + y)n.
Addiere die beiden. Prüfe das Ergebnis am Kuponzinssatz: Abschlag oder Aufschlag?
Beispiel für Schritt 2: Ein Kupon von 6 %, zweimal im Jahr gezahlt, über 5 Jahre bei einer Rendite von 5 % ergibt C = 30 €, y = 0,025 und n = 10.
4Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Anleihe mit einem Nennwert von 1000 € zahlt einen jährlichen Kupon von 5 % und läuft 3 Jahre. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6 %. Bestimme den Preis P der Anleihe.
1
Zeichne die Zahlungsströme
Der Kupon beträgt 0,05 · 1000 = 50 € im Jahr. Im Jahr 3 zahlt die Anleihe zusätzlich die 1000 € zurück.
2
Werte pro Periode
Die Kupons sind jährlich, eine Periode ist also ein Jahr.
Die Rendite (6 %) liegt über dem Kuponzinssatz (5 %), ein Preis unter 1000 € ist also zu erwarten.
Antwort
P ≈ 973,27 €, ein Abschlag, weil die Rendite über dem Kuponzinssatz liegt.
5Die Rendite bis zur Fälligkeit bestimmen
Manchmal ist der Preis gegeben, und du musst die Rendite bestimmen. Für y gibt es keine Formel, du probierst also Zinssätze aus.
Eine Anleihe mit einem Kupon von 4 % und 3 Jahren Restlaufzeit wird für 960 € verkauft. Sie wird unter 1000 € verkauft, die Rendite liegt also über 4 %.
Probiere 5 %: Die Preisformel ergibt 972,77 €. Das liegt noch über 960 €, die Rendite muss also höher sein.
Probiere 6 %: Der Preis ist 946,54 €. Jetzt liegt er unter 960 €, die Rendite liegt also zwischen 5 % und 6 %.
Verwechsle die Rendite bis zur Fälligkeit nicht mit der laufenden Rendite, C/P = 40/960 = 4,17 %. Die laufende Rendite ignoriert den Gewinn von 40 € von 960 € auf die bei Fälligkeit zurückgezahlten 1000 €.
Selbsttest Eine Anleihe wird für 1050 € verkauft. Ihr Kuponzinssatz beträgt 5 %. Was weißt du über ihre Rendite bis zur Fälligkeit?
Sie beträgt 50/1050 = 4,76 %
Sie beträgt genau 5 %
Sie liegt unter 5 %
Sie liegt über 5 %
Antwort: Sie liegt unter 5 %. Der Preis liegt über dem Nennwert (Aufschlag), die Rendite liegt also unter dem Kuponzinssatz. 4,76 % ist die laufende Rendite, die den Verlust von 50 € bei Fälligkeit ignoriert.
6Häufige Fehler
Mit dem Kuponzinssatz statt mit der Rendite abzinsen. Der Kuponzinssatz bestimmt nur die Höhe des Kupons.
Den Nennwert bei Fälligkeit vergessen oder die Kupons vergessen.
Die Zahlungen addieren, ohne sie abzuzinsen.
Jährliche und halbjährliche Perioden vermischen: Bei halbjährlichen Kupons halbiere C und y und verdopple n.
Selbsttest Eine Anleihe mit 2 Jahren Laufzeit hat einen Nennwert von 1000 €, einen jährlichen Kupon von 5 % und eine Rendite von 6 %. Wie hoch ist ihr Preis?
€1000
€1100
€981,67
€990,00
Antwort: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = 981,67 €. 1000 € ergeben sich beim Abzinsen mit dem Kuponzinssatz, 1100 € beim Addieren ohne Abzinsen, und 990,00 € beim Nichtabzinsen der Kupons.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: jährliche Kupons. Bestimme den Preis aus Nennwert, Kuponzinssatz, Laufzeit und Rendite.
Mittel: halbjährliche Kupons. Dasselbe, mit dem halben Kupon, der halben Rendite und der doppelten Anzahl an Perioden.
Schwer: Rendite bis zur Fälligkeit. Der Preis ist gegeben. Probiere zwei Zinssätze aus und interpoliere dann oder verwende einen Taschenrechner.
Vergleiche immer zuerst die Rendite mit dem Kuponzinssatz. Das sagt dir, ob der Preis über oder unter 1000 € liegen muss.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7%. Bestimme den Kurs P der Anleihe.
F = €1 000Kuponsatz = 8%YTM = 7%n = 10
Gesucht: P(€)
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Der Kurs ist der Barwert der Kupons plus der Barwert des Nennwerts.
Kupon pro Jahr: €80,00. Zinse mit der YTM ab.
(1 + 0,07)−10 = 0,5083.
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Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Pro Periode
C = €80,00, i = 0,07, N = 10
Barwert der Kupons
€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89
Barwert des Nennwerts
€1 000·0,5083 = €508,35
Kurs
P = €1 070,24
Antwort
P = €1 070,24
Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.
Beispiel 2Mittel
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% und wird in 15 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 4% auf 3%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?
F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%
Gesucht: ΔP(€)
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Bewerte die Anleihe bei der alten und bei der neuen Rendite.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P1 = €1 333,55.
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Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Eine Anleihe notiert bei €930 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 9,5 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 150 Basispunkte sinkt.
P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp
Gesucht: P(€)
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Modifizierte Duration: D mod = D/(1 + y).
Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.
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Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifizierte Duration
Dmod = 9,5/1,07 = 8,879
Geschätzte Kursänderung
%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86
Antwort
P = €1 053,86
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Fragen und Antworten
Anleihekurs & Rendite: Worum geht es?
Eine Anleihe ist ein Kredit, den man kaufen und verkaufen kann. Ein Unternehmen oder ein Staat leiht sich Geld und verspricht dafür feste Zahlungen.
Auf einer typischen Anleihe stehen drei Zahlen:
Anleihekurs & Rendite: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.
Anleihekurs & Rendite: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Mit dem Kuponsatz statt mit der Rendite abzinsen.
Den Nennwert bei Fälligkeit vergessen.
Jährliche und halbjährliche Perioden vermischen.
Anleihekurs & Rendite: Was wird geübt?
Leicht: jährliche Kupons
Mittel: halbjährliche Kupons
Schwer: Rendite bis zur Fälligkeit
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.