Kapitalwert & interner Zinsfuß: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Kapitalwertmethode · Interne-Zinsfuß-Methode
Kostenlose Übungsaufgaben zu Kapitalwert & interner Zinsfuß mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: gleiche Zahlungen, ungleiche Zahlungen, interner Zinsfuß.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein Projekt kostet heute €20 000 und bringt 3 Jahre lang am Ende jedes Jahres €9 000. Die geforderte Rendite beträgt 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Möchtest du lieber heute 100 € oder in einem Jahr 100 €? Heute: Du könntest sie auf die Bank legen und hättest in einem Jahr mehr als 100 €.
Ein Euro in der Zukunft ist also weniger wert als ein Euro jetzt. Unternehmen nutzen diese Idee, um zu entscheiden, ob sich eine Investition lohnt.
Der Kapitalwert (Net Present Value, NPV) beantwortet eine Frage: Was sind alle Zahlungsströme eines Projekts heute wert, nachdem man dafür bezahlt hat?
Kapitalwert über null: Das Projekt verdient mehr als die geforderte Rendite. Nimm es an.
Kapitalwert unter null: Das Geld wäre anderswo besser angelegt. Lehne es ab.
Selbsttest Ein Projekt hat einen Kapitalwert von +500 €. Was bedeutet das?
Es erzielt genau die geforderte Rendite
Es macht einen Verlust von 500 €
Es verdient mehr als die geforderte Rendite
Seine Zahlungsströme summieren sich zu 500 €
Antwort: Es verdient mehr als die geforderte Rendite. Ein positiver Kapitalwert bedeutet, dass das Projekt über die geforderte Rendite hinaus Wert schafft. Ein Kapitalwert von genau null würde bedeuten, dass es nur die geforderte Rendite erzielt.
2Einen Betrag abzinsen
Einen zukünftigen Betrag auf heute zurückzurechnen heißt abzinsen. Bei einem Zinssatz r pro Jahr ist ein nach t Jahren erhaltener Betrag heute so viel wert:
PV = CFt / (1 + r)t
Beispiel: 1100 € in einem Jahr sind bei 10 % heute 1100/1,10 = 1000 € wert. Kontrolle: 1000 € auf der Bank wachsen bei 10 % in einem Jahr auf 1100 €.
Je weiter das Geld entfernt liegt, desto größer die Potenz und desto kleiner sein Wert heute.
Schreibe den Zinssatz immer als Dezimalzahl: 8 % sind 0,08, du teilst also durch 1,08.
Selbsttest Was sind 121 €, die in 2 Jahren eingehen, heute bei 10 % pro Jahr wert?
€100
€110
€146,41
€96,80
Antwort: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = 100 €. Nur einmal durch 1,10 zu teilen ergibt 110 €, das vergisst das zweite Jahr.
3Der Kapitalwert Schritt für Schritt
Der Kapitalwert ist die Summe aller abgezinsten Zahlungsströme. Die Investition in Jahr 0 ist negativ und wird nicht abgezinst, weil sie schon heute anfällt.
Zeichne einen Zeitstrahl mit jedem Zahlungsstrom in seinem Jahr. Geld, das hinausgeht, ist negativ, Geld, das hereinkommt, positiv.
Zinse jeden zukünftigen Zahlungsstrom mit seiner eigenen Potenz von (1 + r) ab.
Addiere alle Barwerte, einschließlich des −I0 in Jahr 0.
Entscheide: Nimm das Projekt an, wenn der Kapitalwert positiv ist.
Wenn der Zahlungsstrom jedes Jahr gleich ist, erledigt ein Rentenbarwertfaktor das gesamte Abzinsen auf einmal:
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Maschine kostet heute 9000 € und spart am Ende jedes Jahres 3600 € für 3 Jahre. Die geforderte Rendite beträgt 8 %. Bestimme den Kapitalwert. Sollte das Unternehmen sie kaufen?
1
Zeichne den Zeitstrahl
Eine Auszahlung jetzt, drei gleiche Einzahlungen am Ende der Jahre 1, 2 und 3.
2
Jede Zahlung abzinsen
3600 / 1,08 = 3333,33
3600 / 1,08² = 3600 / 1,1664 = 3086,42
3600 / 1,08³ = 3600 / 1,259712 = 2857,80
3
Addieren
Die Einsparungen sind heute 3333,33 + 3086,42 + 2857,80 = 9277,55 € wert.
NPV = −9000 + 9277,55 = €277,55
4
Mit dem Rentenbarwertfaktor prüfen
[1 − 1,08−3] / 0,08 = 2,5771
3600 · 2,5771 = 9277,55
Dasselbe Ergebnis in einer Zeile. Verwende diese Abkürzung immer, wenn die Zahlungsströme gleich sind.
5
Entscheiden
Der Kapitalwert ist positiv, die Maschine verdient also mehr als 8 % pro Jahr. Das Unternehmen sollte sie kaufen.
Antwort
NPV ≈ 277,55 €, das ist positiv, also nimm die Investition an.
5Der interne Zinsfuß
Der interne Zinsfuß (Internal Rate of Return, IRR) ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert genau null ist. Er ist die eigene jährliche Rendite des Projekts.
Dafür gibt es keine einfache Formel. Du probierst Zinssätze aus, bis der Kapitalwert das Vorzeichen wechselt, und interpolierst dann zwischen den beiden.
Im Beispiel beträgt der Kapitalwert bei 8 % +277,55. Bei 10 % ist er 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Der IRR liegt also zwischen 8 % und 10 %.
IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Entscheidungsregel: Nimm das Projekt an, wenn der IRR höher ist als der geforderte Zinssatz. Hier liegen 9,7 % über 8 %, dieselbe Antwort wie beim Kapitalwert.
Selbsttest Der Kapitalwert eines Projekts ist bei 8 % positiv und bei 12 % negativ. Wo liegt sein IRR?
Genau 10 %
Unter 8 %
Zwischen 8 % und 12 %
Über 12 %
Antwort: Zwischen 8 % und 12 %. Der IRR ist dort, wo der Kapitalwert die Nulllinie schneidet, er liegt also zwischen den beiden Zinssätzen, bei denen das Vorzeichen wechselt. Die Interpolation liefert eine gute Schätzung, aber sie ist nicht automatisch die Mitte.
6Häufige Fehler
Die Investition in Jahr 0 abzinsen. Sie ist bereits in heutigem Geld ausgedrückt.
Die Investition ganz vergessen und nur den Barwert der Einzahlungen angeben.
Zahlungsströme addieren, ohne sie vorher abzuzinsen.
Den Prozentwert statt der Dezimalzahl verwenden: durch 1,8 statt durch 1,08 teilen.
Die falsche Potenz verwenden: Ein Zahlungsstrom in Jahr 3 wird durch (1 + r)³ geteilt, nicht durch (1 + r).
Selbsttest Ein Projekt kostet 5000 € und bringt nach einem Jahr 5500 €. Der geforderte Zinssatz beträgt 12 %. Wie groß ist der Kapitalwert?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Antwort: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, und 4910,71 − 5000 = −89,29 €. Der Gewinn von 500 € reicht nicht für eine Rendite von 12 %, also lehne ab.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: eine Investition und gleiche jährliche Zahlungsströme. Verwende den Rentenbarwertfaktor.
Mittel: ungleiche Zahlungsströme. Zinse jedes Jahr einzeln ab und addiere sie.
Schwer: den IRR bestimmen. Probiere zwei Zinssätze aus, finde, wo der Kapitalwert das Vorzeichen wechselt, und interpoliere.
Nenne die Entscheidung immer in Worten: annehmen oder ablehnen, und warum.
Ein Projekt kostet heute €80 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 5 jeweils €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die Amortisationsdauer PB in Jahren.
Addiere die Zahlungsüberschüsse Jahr für Jahr, bis die Summe die Anschaffungskosten erreicht.
Im letzten Jahr wird nur ein Teil des Zahlungsüberschusses gebraucht: Nimm den noch fehlenden Bruchteil.
nach Jahr 3: €75 500.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.
Kumulierte Zahlungsüberschüsse
Jahr 1: €30 000
Jahr 2: €50 000
Jahr 3: €75 500
Jahr 4: €106 500
Bruchteil des letzten Jahres
noch fehlend nach Jahr 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Antwort
PB = 3,145 Jahre
Beispiel 2Mittel
Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Zinse jede Zahlung auf Jahr 0 ab, indem du durch (1 + r)ᵗ teilst.
Die Anfangsauszahlung liegt schon in Jahr 0 und zählt negativ.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Barwert jeder Zahlung
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Addieren
NPV = €−9 056,24
Antwort
NPV = €−9 056,24
Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.
Beispiel 3Schwer
Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €15 500, €16 000, €27 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Gesucht: IRR(%)
Tipps anzeigen
Der interne Zinsfuß ist der Kalkulationszins, bei dem der Kapitalwert genau null ist.
Probiere zwei Zinssätze, einen mit NPV > 0 und einen mit NPV < 0, und grenze dann ein (oder interpoliere zwischen ihnen).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Den IRR eingrenzen
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Eingrenzen
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Möchtest du lieber heute 100 € oder in einem Jahr 100 €? Heute: Du könntest sie auf die Bank legen und hättest in einem Jahr mehr als 100 €.
Ein Euro in der Zukunft ist also weniger wert als ein Euro jetzt. Unternehmen nutzen diese Idee, um zu entscheiden, ob sich eine Investition lohnt.
Kapitalwert & interner Zinsfuß: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CFt/(1 + r)t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.
Kapitalwert & interner Zinsfuß: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Die Zahlung in Jahr 0 abzinsen.
Die Anfangsinvestition vergessen.
Zahlungen addieren, ohne sie abzuzinsen.
Kapitalwert & interner Zinsfuß: Was wird geübt?
Leicht: gleiche Zahlungen
Mittel: ungleiche Zahlungen
Schwer: interner Zinsfuß
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.