Zeitwert des Geldes: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Zinseszins · Barwert · Endwert · Abzinsung
Kostenlose Übungsaufgaben zu Zeitwert des Geldes mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Endwert, Auf- und Abzinsen, Renten und Darlehen.
Zeitwert des Geldes von Grund auf lernen
1Warum Geld im Lauf der Zeit wächst
Wenn du 1000 € auf ein Sparkonto einzahlst, das 5 % Zinsen pro Jahr zahlt, hast du nach einem Jahr 1050 €. Die zusätzlichen 50 € sind der Zins.
Im zweiten Jahr verdienst du 5 % auf 1050 €, nicht auf 1000 €. Der Zins beträgt also 52,50 €, und das Guthaben wird 1102,50 €.
Zinsen auf frühere Zinsen zu verdienen heißt Zinseszins. Bei einfacher Verzinsung würdest du immer nur 5 % der ersten 1000 € verdienen.
Weil Geld auf diese Weise wachsen kann, sind 1000 € heute mehr wert als 1000 € in drei Jahren. Das ist der Zeitwert des Geldes.
Jeder Sparplan, jeder Kredit und jede Hypothek wird mit dieser Idee berechnet.
Selbsttest Du zahlst 100 € zu 10 % pro Jahr bei jährlicher Verzinsung ein. Wie viel ist nach 2 Jahren auf dem Konto?
- €110
- €120
- €121
- €200
Antwort: €121. Jahr 1: 100 · 1,10 = 110. Jahr 2: 110 · 1,10 = 121. 120 € wären einfache Verzinsung: Sie vergisst den Zins auf die ersten 10 € Zinsen.
2Endwert und Barwert
In jeder Periode wird das Guthaben mit (1 + i) multipliziert, wobei i der Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl ist. Nach n Perioden gilt:
FV = PV · (1 + i)n
PV (Present Value, Barwert) ist der Betrag heute. FV (Future Value, Endwert) ist der Betrag nach n Perioden.
Rückwärts zu rechnen heißt abzinsen. Es sagt dir, wie viel du heute brauchst, um später ein Ziel zu erreichen:
PV = FV / (1 + i)n
Beispiel: Um in 2 Jahren bei 5 % 1102,50 € zu haben, brauchst du heute 1102,50 / 1,05² = 1000 €.
Banken nennen oft einen jährlichen Nominalzins r, schreiben die Zinsen aber m-mal im Jahr gut: m = 4 bei vierteljährlich, m = 12 bei monatlich. Dann rechnest du pro Periode:
i = r / m N = m · n
Selbsttest Ein Zinssatz von 6 % pro Jahr wird 3 Jahre lang monatlich verzinst. Was sind i und N?
- i = 0,005 und N = 36
- i = 0,005 und N = 3
- i = 0,06 und N = 36
- i = 0,5 und N = 36
Antwort: i = 0,005 und N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 pro Monat und N = 12 · 3 = 36 Monate. Den jährlichen Wert 0,06 mit 36 Monaten zu verwenden ist der häufigste Fehler: Er rechnet jeden Monat 6 %.
3Annuitäten: gleiche Zahlungen
Eine Annuität ist eine Reihe gleicher Zahlungen A am Ende jeder Periode, zum Beispiel 250 €, die jeden Monat gespart werden, oder eine monatliche Kreditrate.
Du könntest jede Zahlung einzeln aufzinsen oder abzinsen und alles addieren. Die Annuitätenformeln berechnen diese Summe in einem Schritt.
Was du am Ende hast, wenn du in jeder Periode A sparst:
FV = A · [(1 + i)N − 1] / i
Was alle Zahlungen heute wert sind:
PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i
Ein Kredit wird mit einer Annuität zurückgezahlt: Der geliehene Betrag P ist gleich dem Barwert der Zahlungen. Löse das nach der Zahlung auf:
A = P · i / [1 − (1 + i)−N]
Beispiel: 10 000 € zu 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung über 3 Jahre geliehen. i = 0,005 und N = 36, also A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = 304,22 € pro Monat.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Zeichne einen Zeitstrahl. Markiere, was bekannt ist (ein Betrag heute, ein Ziel später, gleiche Zahlungen) und was du bestimmen musst.
- Bestimme den Zinssatz pro Periode i = r/m und die Anzahl der Perioden N = m · n. Schreibe den Zinssatz als Dezimalzahl.
- Wähle die Formel: ein einzelner Betrag (FV oder PV) oder eine Reihe gleicher Zahlungen (Annuität).
- Rechne. Berechne zuerst die Potenz (1 + i)N und behalte mindestens 4 Dezimalstellen.
- Prüfe die Größe der Antwort: Ein Endwert ist größer als die Einzahlung, und ein Barwert ist kleiner als das Ziel.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielDu legst 2000 € zu einem Nominalzins von 4 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 3 Jahren.
1Ein Betrag wird heute eingezahlt. Du willst seinen Wert nach 3 Jahren wissen, das sind 12 Quartale.
2Die Zinsen werden 4-mal im Jahr gutgeschrieben, rechne also in Quartalen.
i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3In jedem Quartal wird das Guthaben mit 1,01 multipliziert.
(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5Bei jährlicher Verzinsung erhieltest du 2000 · 1,04³ = 2249,73 €. Vierteljährliche Verzinsung ergibt etwas mehr, weil die Zinsen früher selbst Zinsen bringen. 2253,65 € passt.
Antwort FV ≈ 2253,65 € nach 3 Jahren.
6Häufige Fehler
- Den Jahreszins mit monatlichen oder vierteljährlichen Perioden verwenden. Teile den Zinssatz durch m und multipliziere die Jahre mit m.
- Einfache Zinsen, PV · (1 + i · n), statt Zinseszins, PV · (1 + i)n, verwenden.
- Die Anzahl der Perioden falsch zählen, zum Beispiel 3 statt 36 bei drei Jahren monatlicher Zahlungen.
- Den Zinssatz als Prozentzahl schreiben: 1,412 statt 1,0412.
- Bei einem Sparplan nur die Einzahlungen addieren. Jede Einzahlung bringt ebenfalls Zinsen.
Selbsttest Du legst 1000 € zu 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung für 3 Jahre an. Welche Rechnung ist richtig?
- 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
- 1000 · 1,00536 = 1196,68 €
- 1000 · 1,0636 = 8147,25 €
- 1000 · 1,063 = 1191,02 €
Antwort: 1000 · 1,00536 = 1196,68 €. Monatliche Verzinsung: i = 0,06/12 = 0,005 und N = 36. 1,06 für 36 Perioden zu verwenden berechnet jeden Monat 6 %. 1,06³ ignoriert die monatliche Verzinsung, und 1180 wäre einfache Verzinsung.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: Endwert. Eine Einzahlung bei jährlicher Verzinsung: FV = PV · (1 + i)n.
- Mittel: Aufzinsen und Abzinsen. Vierteljährliche oder monatliche Verzinsung, gefragt ist ein Endwert oder die heute nötige Einzahlung.
- Schwer: Annuitäten und Kredite. Der Endwert eines monatlichen Sparplans oder die monatliche Rate eines Kredits.
Sage immer, was die Zahl bedeutet: „Nach 3 Jahren hast du 2253,65 €“.
Lerne Schritt für Schritt in der AppLerne Schritt für Schritt in der App