Flecha de la viga: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: deflexión de vigas · deformación de vigas · elástica

Problemas gratis de Flecha de la viga con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: voladizo, carga en el extremo, carga uniforme, superposición y diseño.

Problema de práctica gratisFácil
P = 3 kNδL = 1,5 m

Un voladizo soporta una carga puntual P en su extremo libre. Halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
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Qué practicas

  1. Fácilvoladizo, carga en el extremo
  2. Mediacarga uniforme
  3. Difícilsuperposición y diseño

Fórmulas clave

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Aprende Flecha de la viga desde cero

Antes de esto: Cortante y momento flector, Centroide y momento de inercia

1Qué es la flecha

Toda viga se curva un poco bajo carga. La distancia que baja un punto de la viga es su flecha δ, normalmente en mm.

PδL

Una viga puede ser suficientemente resistente y aun así deformarse demasiado. Entonces los suelos rebotan, el yeso se agrieta y las puertas se atascan. Un límite habitual para los forjados es luz/360: un forjado de 3,6 m puede tener como máximo 10 mm de flecha.

Cuánto se flexa una viga depende de cuatro cosas:

  • la carga: el doble de carga da el doble de flecha;
  • la luz: la flecha crece muy deprisa con la longitud (L³ o L⁴);
  • el módulo de Young E del material: un material más rígido se flexa menos;
  • el momento de inercia I de la sección: una sección con más canto se flexa menos.

E e I aparecen siempre juntos como el producto EI, la rigidez a flexión de la viga.

Autoevaluación Sustituyes una viga por otra con el doble de momento de inercia I. Todo lo demás queda igual. ¿Qué ocurre con la flecha?
  1. Se duplica
  2. Se mantiene igual
  3. Se reduce a la cuarta parte
  4. Se reduce a la mitad

Respuesta: Se reduce a la mitad. La flecha es inversamente proporcional a EI. Duplicar I divide δ entre 2.

2Las fórmulas estándar

Las flechas se obtienen integrando dos veces el momento flector, pero para los casos habituales el resultado está tabulado. Cuatro casos cubren la mayoría de las preguntas:

  • Voladizo, carga puntual P en el extremo libre: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • Voladizo, carga repartida w en toda la longitud: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • Simplemente apoyada, carga puntual P en el centro de la luz: δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • Simplemente apoyada, carga repartida w en toda la luz: δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

En un voladizo la mayor flecha está en el extremo libre; en una viga simplemente apoyada con cargas simétricas está en el centro de la luz.

Cuando una viga soporta varias cargas, las flechas de cada carga por separado se suman. Es la superposición.

Autoevaluación Un voladizo con una carga en el extremo tiene una flecha en la punta de 2 mm. El voladizo se hace el doble de largo. ¿Cuál es la nueva flecha?
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

Respuesta: 16 mm. δ es proporcional a L³, así que duplicar L multiplica δ por 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm lo trata como lineal; 32 mm usa L⁴, que es el caso de la carga repartida.

3Unidades: trabaja en N y mm

Las fórmulas solo funcionan con unidades coherentes. La opción segura son newtons y milímetros:

  • P en N: kN × 1000.
  • w en N/mm: 1 kN/m es exactamente 1 N/mm.
  • L en mm: m × 1000.
  • E en N/mm²: GPa × 1000. Acero: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I en mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴” significa 36 000 000 mm⁴.

Entonces la flecha sale en mm. Como L se eleva a la tercera o cuarta potencia, los números se hacen grandes. Una calculadora con potencias de diez los mantiene bajo control.

Autoevaluación Una viga es de acero, E = 200 GPa. ¿Qué valor de E usas con N y mm?
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

Respuesta: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², así que 200 GPa = 200 000 N/mm². Usar 200 hace que la flecha salga 1000 veces demasiado grande.

4El método paso a paso

  1. Identifica el caso: voladizo o simplemente apoyada, carga puntual o repartida.
  2. Convierte P, w, L, E e I a N y mm.
  3. Elige la fórmula correspondiente.
  4. Calcula δ en mm.
  5. Para varias cargas: calcula cada una por separado y suma.
  6. En una pregunta de diseño: iguala δ al valor admisible (por ejemplo L/360) y despeja I.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un voladizo de acero (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) mide 3 m de largo y soporta una carga puntual de 8 kN en su extremo libre. Halla la flecha en el extremo libre.

1

Identifica el caso

P = 8 kNδL = 3 m

Un voladizo con una carga puntual en el extremo libre: δ = PL³/(3EI).

2

Convierte a N y mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

3

Rigidez a flexión

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

Flecha en la punta

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

Comprueba la respuesta

10 mm en un voladizo de 3 m es L/300. Es un valor realista para una viga de acero cargada: ni una fracción de milímetro ni decenas de centímetros.

Respuesta

El extremo libre baja δ = 10 mm.

6Errores frecuentes

  • Mezclar unidades: L en metros con E en N/mm² da un resultado absurdo. Convierte primero todo a N y mm.
  • Dejar E en GPa, lo que hace que δ salga 1000 veces demasiado grande.
  • Usar el caso equivocado, por ejemplo PL³/(48EI) para un voladizo. Comprueba los apoyos y el tipo de carga.
  • Olvidar el 5 en 5wL⁴/(384EI).
  • En la superposición, usar una fórmula distinta para cada carga pero olvidar una de las cargas.
Autoevaluación Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual en el centro de la luz que por sí sola da 4 mm, y una carga repartida que por sí sola da 6 mm. ¿Cuál es la flecha en el centro de la luz?
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

Respuesta: 10 mm. Por superposición, las flechas de cada carga se suman: 4 + 6 = 10 mm. Tomar solo la mayor, la diferencia o el producto es incorrecto en todos los casos.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: voladizo con una carga en el extremo. Halla δ = PL³/(3EI). Variantes: una viga simplemente apoyada con una carga central, el giro en el extremo, o la carga que produce una flecha determinada.
  • Medio: carga uniforme. Un voladizo (wL⁴/8EI) o una viga simplemente apoyada (5wL⁴/384EI). Variantes: cargas descentradas y giros en los extremos.
  • Difícil: superposición y diseño. Suma las flechas de una carga puntual y una carga repartida, o halla el menor I que mantiene δ por debajo de L/360.

Para el caso de diseño: Inec = 5wL⁴ / (384·E·δadm), con δadm = L/360.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
P = 19 kNABδ2 m2 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P en el centro del vano. Halla la flecha en el centro δmax.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Calcula δmax (mm)

Mostrar pistas
  1. En una viga simplemente apoyada con carga puntual central, la flecha en el centro es δ = PL³/(48EI).
  2. Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha en el centro del vano

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Respuesta

δmax = 10,56 mm
Ejemplo 2Media
P = 26 kNABδ2 m4 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 2 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Calcula δB (mm)

Mostrar pistas
  1. El tramo entre A y la carga se comporta como un voladizo de longitud a con carga en el extremo: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
  2. Más allá de la carga no hay momento, así que ese tramo se mantiene recto: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Respuesta

δB = 16,51 mm
Ejemplo 3Difícil
w = 4 kN/mABδ3 m

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 100 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo hreq de la sección.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 100 mm

Calcula hreq (mm)

Mostrar pistas
  1. Iguala la flecha en el centro 5wL⁴/(384EI) al límite y despeja el I necesario.
  2. Después usa I = bh³/12 para el rectángulo y despeja h.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inercia necesario

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

Respuesta

hreq = 176,8 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

Preguntas y respuestas

Flecha de la viga: ¿qué es?

Toda viga se curva un poco bajo carga. La distancia que baja un punto de la viga es su flecha δ, normalmente en mm.

Una viga puede ser suficientemente resistente y aun así deformarse demasiado. Entonces los suelos rebotan, el yeso se agrieta y las puertas se atascan. Un límite habitual para los forjados es luz/360: un forjado de 3,6 m puede tener como máximo 10 mm de flecha.

Flecha de la viga: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Flecha de la viga: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • PL³/(3EI) es el voladizo con carga en el extremo. Una viga simplemente apoyada con carga central tiene una flecha PL³/(48EI).
  • El coeficiente 5/384 corresponde a una carga uniforme (con wL⁴). Para una carga puntual central usa 1/48.
  • Esa es la flecha bajo la carga. Más allá de la carga la viga es recta pero está inclinada, así que suma θ·(L − a).
Flecha de la viga: ¿qué se practica?
  • Fácil: voladizo, carga en el extremo
  • Media: carga uniforme
  • Difícil: superposición y diseño

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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