Centroide y momento de inercia: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: centro de gravedad · momento de inercia de área · teorema de Steiner
Problemas gratis de Centroide y momento de inercia con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: centroide, momento de inercia, tensión de flexión.
Problema de práctica gratisFácil
Halla la altura ȳ del centroide de la sección en T sobre su borde inferior.
Corta una viga transversalmente y mira la cara del corte. Esa forma es la sección transversal, o simplemente la sección.
Toma un tablón de madera de 100 × 20 mm. Colócalo plano sobre un hueco y se comba mucho. Pon el mismo tablón de canto y es mucho más rígido, aunque tiene exactamente la misma área.
Lo que importa es lo lejos que está el material del eje alrededor del cual se flexiona la viga. El material alejado de ese eje trabaja mucho más.
Dos propiedades describen esto. El centroide es el centro geométrico de la sección: la viga se flexiona alrededor de un eje que pasa por él. El momento de inercia I (segundo momento de área) mide lo lejos que está el área repartida respecto a ese eje.
Autoevaluación El mismo tablón se usa plano (a) y de canto (b), flexionado alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es más rígido?
Ambos son iguales, ya que el área es la misma
De canto (b)
Depende solo del material
Plano (a)
Respuesta: De canto (b). De canto, el material queda más lejos del eje de flexión. El área es la misma, pero lo que cuenta es su distancia al eje.
2El centroide de una sección compuesta
En un rectángulo, el centroide está en el centro. Muchas secciones de viga, como una T, están hechas de rectángulos.
Divide la sección en rectángulos. Para cada uno, halla su área Ai y la altura yi de su propio centroide, medida desde una línea de referencia, normalmente el borde inferior.
El centroide de toda la sección es el promedio de esas alturas ponderado por las áreas:
ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai
Una parte grande atrae el centroide hacia sí. En una sección en T con el ala arriba, el centroide queda por encima de la mitad de la altura.
Autoevaluación La parte 1 tiene A = 3000 mm² en y = 20 mm. La parte 2 tiene A = 1000 mm² en y = 100 mm. ¿Dónde está el centroide?
ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm
Respuesta: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm es el promedio simple de las alturas, que ignora las áreas. 80 mm intercambia las áreas.
3El momento de inercia de un área
Para un rectángulo de ancho b y alto h, flexionado alrededor de un eje horizontal que pasa por su propio centroide:
Ic = b · h³ / 12
La altura va al cubo, por eso el tablón de canto es 25 veces más rígido: 20·100³ / (100·20³) = 25.
En una sección compuesta, cada parte está a una distancia d del eje que pasa por el centroide global. El teorema de los ejes paralelos añade un término por ese desplazamiento:
I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )
La unidad es mm⁴. Los números se hacen grandes, así que las respuestas suelen darse como «× 10⁶ mm⁴».
Una vez que tienes I, la tensión de flexión a una distancia y del eje centroidal se obtiene a partir del momento flector M:
σ = M · y / I
Autoevaluación Un rectángulo de 100 mm de ancho y 20 mm de alto: ¿cuánto vale I respecto a su propio eje centroidal horizontal?
1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴
Respuesta: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 intercambia b y h (es el tablón de canto); 800 000 olvida dividir entre 12.
4El método paso a paso
Divide la sección en rectángulos y numéralos.
Para cada parte: área Ai y altura del centroide yi, todo medido desde el borde inferior.
Centroide: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
Para cada parte: Ic propio = bh³/12 y distancia di = yi − ȳ.
Suma: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
Si piden una tensión: σ = M·y/I, con y la distancia del eje al borde que necesitas.
Una tabla pequeña con las columnas A, y, A·y, Ic, d y A·d² mantiene todo ordenado.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Una sección en T tiene un ala de 100 × 20 mm sobre un alma de 20 × 100 mm. Halla la altura del centroide ȳ, el momento de inercia Ix y las tensiones de flexión en los bordes superior e inferior para un momento positivo de 4 kN·m.
1
Divide en dos rectángulos
Ala (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², centroide en y1 = 100 + 10 = 110 mm.
Alma (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², centroide en y2 = 50 mm.
2
Centroide
ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm
Las dos áreas son iguales, así que ȳ está a medio camino entre 110 y 50 mm.
3
Momentos de inercia propios
Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4
Términos de ejes paralelos
Cada centroide está a 30 mm del eje x: d1 = 110 − 80 = 30 mm y d2 = 50 − 80 = −30 mm.
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. El borde inferior está a 80 mm del eje, el borde superior a 120 − 80 = 40 mm.
σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa
El borde inferior está a tracción y el superior a compresión, como en cualquier viga con momento positivo.
Respuesta
ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa y σtop = 30 MPa.
6Errores frecuentes
Olvidar el término A·d². Sin él solo sumas los valores de I propios de las partes, que es mucho menos.
Medir las alturas yi desde líneas de referencia distintas. Elige el borde inferior y no lo cambies.
Usar d medida desde el borde inferior en lugar de desde el centroide global.
Intercambiar b y h en bh³/12. La dimensión perpendicular al eje de flexión es la que va al cubo.
Usar la distancia equivocada al borde en σ = M·y/I. El borde más alejado del eje tiene la mayor tensión.
Autoevaluación Un rectángulo de 100 × 20 mm (ancho × alto) tiene su centroide a 50 mm de un eje x. ¿Cuál es su contribución a Ix?
0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴
Respuesta: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ olvida A·d²; 5,00 × 10⁶ olvida el término propio; 6,67 × 10⁶ usa 1 666 667 (b y h intercambiadas) más A·d².
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: centroide. Halla ȳ de una sección en T por encima de su borde inferior. Variantes: una sección en ángulo, o I de un solo rectángulo, círculo (πd⁴/64) o cajón.
Medio: momento de inercia. Halla Ix de la sección en T respecto a su eje centroidal. Variantes: secciones en I, perfiles en U y el radio de giro r = √(I/A).
Difícil: tensión de flexión. La sección en T soporta un momento M; halla la tensión en el borde superior o inferior con σ = M·y/I.
Las dimensiones dadas son bf y tf para el ala, y tw y hw para el alma.
Halla la altura ȳ del centroide de la sección en T sobre su borde inferior.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Calcula ȳ(mm)
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Divide la T en ala y alma y halla el área y la altura del centroide de cada una.
ȳ = ΣA·y / ΣA, midiendo cada y desde el borde inferior.
Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
Una placa de 100 mm × 240 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 156 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 156 mm
Calcula Ix(× 10⁶ mm⁴)
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Halla primero el centroide: la placa menos el agujero.
ȳ = 118,9 mm.
Entonces I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) respecto a ȳ.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
Placa completa respecto a ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Ejemplo 3Difícil
Una placa de 100 mm × 200 mm tiene un recorte rectangular de 30 mm de ancho y 20 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 200 mmrecorte: 30 × 20 mmcentro del agujero: y = 120 mm
Calcula Ix(× 10⁶ mm⁴)
Mostrar pistas
Halla primero el centroide: la placa menos el agujero.
ȳ = 99,38 mm.
Entonces I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) respecto a ȳ.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm
Placa completa respecto a ȳ
100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Preguntas y respuestas
Centroide y momento de inercia: ¿qué es?
Corta una viga transversalmente y mira la cara del corte. Esa forma es la sección transversal, o simplemente la sección.
Toma un tablón de madera de 100 × 20 mm. Colócalo plano sobre un hueco y se comba mucho. Pon el mismo tablón de canto y es mucho más rígido, aunque tiene exactamente la misma área.
Centroide y momento de inercia: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Centroide y momento de inercia: ¿qué se practica?
Fácil: centroide
Media: momento de inercia
Difícil: tensión de flexión
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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