Pandeo de pilares: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: carga crítica de Euler · pandeo de columnas

Problemas gratis de Pandeo de pilares con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: extremos articulados, otras condiciones de apoyo, diseño y tensión crítica.

Problema de práctica gratisFácil
PL = 2,5 m40 × 80 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 80 mm
kN
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Qué practicas

  1. Fácilextremos articulados
  2. Mediaotras condiciones de apoyo
  3. Difícildiseño y tensión crítica

Fórmulas clave

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

Aprende Pandeo de pilares desde cero

Antes de esto: Centroide y momento de inercia

1Qué es el pandeo

Presiona los dos extremos de una regla de plástico. Al principio parece que no pasa nada. Después, de repente, se curva hacia un lado. Eso es el pandeo.

Una columna es un elemento cargado a compresión a lo largo de su longitud: una columna de un edificio, un puntal de una cubierta, la biela de un pistón.

PL

Una columna corta y gruesa falla por aplastamiento: la tensión P/A alcanza la resistencia del material. Una columna larga y esbelta pandea con una carga mucho menor, cuando la tensión aún está muy por debajo de esa resistencia.

La carga a la que pandea una columna esbelta es su carga crítica Pcr. Por encima de ella la columna es inestable y cede.

Autoevaluación Dos columnas de acero tienen la misma sección. Una mide 2 m de largo y la otra 4 m. ¿Cuál pandea con la carga menor?
  1. Ambas con la misma carga
  2. La columna de 2 m
  3. La columna de 4 m
  4. Ninguna: las columnas de acero no pueden pandear

Respuesta: La columna de 4 m. Una columna más larga es más esbelta y pandea con más facilidad. La longitud es el factor más importante en el pandeo.

2Fórmula de Euler

Leonhard Euler halló la carga crítica de una columna esbelta:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E es el módulo de Young del material: 200 GPa para el acero.
  • I es el momento de inercia de la sección. Usa el menor: la columna se flexa por el lado fácil.
  • L es la longitud, y K es el factor de longitud efectiva, que depende de cómo estén sujetos los extremos.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Un extremo articulado puede girar; uno empotrado no. Sujetar más firmemente los extremos da una longitud efectiva KL menor y una Pcr mucho mayor, porque KL va al cuadrado.

Para una barra redonda I = π·d⁴/64. Para un rectángulo b × h con b el lado menor, Imin = h·b³/12.

Autoevaluación Una columna biarticulada tiene Pcr = 100 kN. La misma columna se construye empotrada en la base y libre en la cabeza (K = 2). ¿Cuánto vale ahora Pcr?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Respuesta: 25 kN. Pcr se divide entre K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN olvida elevar K al cuadrado; 200 y 400 kN multiplican en lugar de dividir.

3Esbeltez y tensión crítica

Al dividir Pcr entre el área se obtiene la tensión crítica. Se escribe de forma más limpia con el radio de giro r y la esbeltez λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Para una barra redonda maciza, r = d/4.

La fórmula de Euler solo vale mientras σcr se mantenga por debajo del límite elástico del material. Para el acero estructural eso significa una esbeltez de aproximadamente λ > 100. Las columnas más robustas fallan por plastificación o por una mezcla de ambos modos, y necesitan otras reglas de diseño.

Autoevaluación La sección de una columna rectangular mide 20 mm × 40 mm. ¿Cuál es el menor momento de inercia?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Respuesta: 26 667 mm⁴. El eje débil eleva al cubo el lado menor: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 es el eje fuerte; 320 000 olvida el /12; 7854 usa la fórmula de un círculo.

4El método paso a paso

  1. Lee las condiciones de los extremos y elige K: 1, 2, 0,7 o 0,5.
  2. Halla el menor I de la sección, en mm⁴.
  3. Convierte a N y mm: L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000).
  4. Longitud efectiva: KL.
  5. Carga crítica: Pcr = π²EI/(KL)², en N. Divide entre 1000 para obtener kN.
  6. Si te lo piden, comprueba la esbeltez KL/r o la tensión crítica Pcr/A.

En una pregunta de diseño con un coeficiente de seguridad n, la columna debe tener Pcr = n·P. Despeja I en la fórmula de Euler y después el diámetro.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Una columna de acero maciza redonda (E = 200 GPa) de 40 mm de diámetro y 2 m de longitud está articulada en ambos extremos. Halla su carga crítica de pandeo Pcr. Después hállala otra vez para la misma columna empotrada en la base y libre en la cabeza.

1

Observa la columna

PL = 2 m

Articulada en ambos extremos, así que K = 1 y KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Carga crítica

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Comprueba que Euler es aplicable

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Eso está muy por debajo del límite elástico del acero (unos 250 MPa), así que la columna es esbelta y la fórmula de Euler es válida.

5

Base empotrada, cabeza libre

Ahora K = 2, así que la longitud efectiva se duplica a 4000 mm y Pcr se reduce en un factor 2² = 4:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Respuesta

Pcr = 62,0 kN articulada en ambos extremos, y 15,5 kN empotrada en la base y libre en la cabeza.

6Errores frecuentes

  • Elegir una K equivocada, o olvidar elevarla al cuadrado.
  • Usar el mayor I de un rectángulo. Una columna siempre pandea respecto a su eje débil.
  • Mezclar unidades: L en metros con E en N/mm². Trabaja en N y mm en todo el cálculo.
  • Usar π·d⁴/32 (el momento polar J de la torsión) en lugar de π·d⁴/64.
  • Aplicar Euler a una columna corta y robusta cuya tensión crítica estaría por encima del límite elástico.
Autoevaluación Una columna articulada en ambos extremos tiene Pcr = 40 kN. La misma columna está empotrada en ambos extremos (K = 0,5). ¿Cuánto vale Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Respuesta: 160 kN. Pcr se divide entre K² = 0,25, así que se hace cuatro veces mayor: 160 kN. 80 kN olvida elevar K al cuadrado; 10 kN multiplica por K² en lugar de dividir.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: extremos articulados. Halla Pcr de una columna redonda o rectangular de acero o aluminio.
  • Medio: otras condiciones de los extremos. La misma pregunta con K = 2, 0,7 o 0,5.
  • Difícil: diseño y tensión crítica. Halla el menor diámetro que soporta una carga con un coeficiente de seguridad, o halla la esbeltez y σcr.

Para el caso de diseño con una barra redonda: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
PL = 5 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

Calcula Pcr (kN)

Mostrar pistas
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Factor de longitud de pandeo: K = 1 para un pilar articulado en ambos extremos.
  3. I = 306796 mm⁴.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Respuesta

Pcr = 8,478 kN
Ejemplo 2Media
PL = 2,5 md = 30 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm

Calcula Pcr (kN)

Mostrar pistas
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Factor de longitud de pandeo: K = 2 para un pilar empotrado en la base y libre arriba.
  3. I = 39761 mm⁴.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Respuesta

Pcr = 3,139 kN
Ejemplo 3Difícil
PL = 2,5 md = 25 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

Calcula σcr (MPa)

Mostrar pistas
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², con r = √(I/A), el radio de giro.
  2. Usa el menor I, porque el pilar pandea respecto a su eje más débil.
  3. r = 6,25 mm.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Respuesta

σcr = 4,318 MPa

Preguntas y respuestas

Pandeo de pilares: ¿qué es?

Presiona los dos extremos de una regla de plástico. Al principio parece que no pasa nada. Después, de repente, se curva hacia un lado. Eso es el pandeo.

Una columna es un elemento cargado a compresión a lo largo de su longitud: una columna de un edificio, un puntal de una cubierta, la biela de un pistón.

Pandeo de pilares: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Pandeo de pilares: ¿qué se practica?
  • Fácil: extremos articulados
  • Media: otras condiciones de apoyo
  • Difícil: diseño y tensión crítica

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