Valor temporal del dinero: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: interés compuesto · valor presente · valor futuro · matemáticas financieras
Problemas gratis de Valor temporal del dinero con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: valor futuro, capitalización y descuento, rentas y préstamos.
Aprende Valor temporal del dinero desde cero
1Por qué el dinero crece con el tiempo
Si pones 1000 € en una cuenta de ahorro que paga un 5% de interés al año, tienes 1050 € después de un año. Los 50 € extra son el interés.
En el segundo año ganas un 5% sobre 1050 €, no sobre 1000 €. Así que el interés es de 52,50 € y el saldo pasa a ser 1102,50 €.
Ganar interés sobre intereses anteriores se llama interés compuesto. Con el interés simple solo ganarías siempre el 5% de los primeros 1000 €.
Como el dinero puede crecer así, 1000 € hoy valen más que 1000 € dentro de tres años. Esto es el valor del dinero en el tiempo.
Todo plan de ahorro, préstamo e hipoteca se calcula con esta idea.
Autoevaluación Depositas 100 € al 10% anual, con capitalización anual. ¿Cuánto hay en la cuenta después de 2 años?
- €110
- €120
- €121
- €200
Respuesta: €121. Año 1: 100 · 1,10 = 110. Año 2: 110 · 1,10 = 121. 120 € es interés simple: olvida el interés ganado sobre los primeros 10 € de interés.
2Valor futuro y valor actual
En cada periodo el saldo se multiplica por (1 + i), donde i es la tasa de interés por periodo en forma decimal. Después de n periodos:
FV = PV · (1 + i)n
PV (valor actual) es la cantidad de hoy. FV (valor futuro) es la cantidad después de n periodos.
Ir hacia atrás se llama descuento. Te dice cuánto necesitas hoy para alcanzar un objetivo más adelante:
PV = FV / (1 + i)n
Ejemplo: para tener 1102,50 € dentro de 2 años al 5%, necesitas 1102,50 / 1,05² = 1000 € hoy.
Los bancos suelen indicar una tasa nominal anual r pero abonan intereses m veces al año: m = 4 si es trimestral, m = 12 si es mensual. Entonces trabajas por periodo:
i = r / m N = m · n
Autoevaluación Una tasa del 6% anual se capitaliza mensualmente durante 3 años. ¿Cuáles son i y N?
- i = 0,005 y N = 36
- i = 0,005 y N = 3
- i = 0,06 y N = 36
- i = 0,5 y N = 36
Respuesta: i = 0,005 y N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 al mes y N = 12 · 3 = 36 meses. Usar el 0,06 anual con 36 meses es el error más común: cuenta un 6% cada mes.
3Anualidades: pagos iguales
Una anualidad es una serie de pagos iguales A al final de cada periodo, por ejemplo 250 € ahorrados cada mes o la cuota mensual de un préstamo.
Podrías capitalizar o descontar cada pago por separado y sumarlos. Las fórmulas de anualidad hacen esta suma de una sola vez.
Lo que tienes al final si ahorras A cada periodo:
FV = A · [(1 + i)N − 1] / i
Lo que valen hoy todos los pagos:
PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i
Un préstamo se devuelve con una anualidad: la cantidad prestada P es igual al valor actual de los pagos. Despeja el pago:
A = P · i / [1 − (1 + i)−N]
Ejemplo: 10 000 € prestados al 6% anual, con capitalización mensual, durante 3 años. i = 0,005 y N = 36, así que A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = 304,22 € al mes.
4El método paso a paso
- Dibuja una línea de tiempo. Marca lo que se conoce (una cantidad hoy, un objetivo más adelante, pagos iguales) y lo que debes hallar.
- Halla la tasa por periodo i = r/m y el número de periodos N = m · n. Escribe la tasa como decimal.
- Elige la fórmula: una sola cantidad (FV o PV) o una serie de pagos iguales (anualidad).
- Calcula. Obtén primero la potencia (1 + i)N y conserva al menos 4 decimales.
- Comprueba el tamaño de la respuesta: un valor futuro es mayor que el depósito, y un valor actual es menor que el objetivo.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resueltoInviertes 2000 € a una tasa nominal del 4% anual, con capitalización trimestral. Halla el valor FV de la inversión después de 3 años.
1Entra una sola cantidad hoy. Quieres su valor después de 3 años, que son 12 trimestres.
2El interés se añade 4 veces al año, así que trabaja en trimestres.
i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3Cada trimestre el saldo se multiplica por 1,01.
(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5Con capitalización anual obtendrías 2000 · 1,04³ = 2249,73 €. La capitalización trimestral da un poco más, porque el interés empieza a generar interés antes. 2253,65 € encaja.
Respuesta FV ≈ 2253,65 € después de 3 años.
6Errores frecuentes
- Usar la tasa anual con periodos mensuales o trimestrales. Divide la tasa entre m y multiplica los años por m.
- Usar interés simple, PV · (1 + i · n), en lugar de interés compuesto, PV · (1 + i)n.
- Contar mal el número de periodos, por ejemplo 3 en lugar de 36 para tres años de pagos mensuales.
- Escribir la tasa como porcentaje: 1,412 en lugar de 1,0412.
- En un plan de ahorro, sumar solo los depósitos. Cada depósito también gana intereses.
Autoevaluación Inviertes 1000 € al 6% anual, con capitalización mensual, durante 3 años. ¿Qué cálculo es correcto?
- 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
- 1000 · 1,00536 = 1196,68 €
- 1000 · 1,0636 = 8147,25 €
- 1000 · 1,063 = 1191,02 €
Respuesta: 1000 · 1,00536 = 1196,68 €. Capitalización mensual: i = 0,06/12 = 0,005 y N = 36. Usar 1,06 durante 36 periodos cobra un 6% cada mes. 1,06³ ignora la capitalización mensual, y 1180 es interés simple.
7Cómo son las preguntas de examen
- Fácil: valor futuro. Un depósito con capitalización anual: FV = PV · (1 + i)n.
- Medio: capitalización y descuento. Capitalización trimestral o mensual, pidiendo un valor futuro o el depósito necesario hoy.
- Difícil: anualidades y préstamos. El valor final de un plan de ahorro mensual, o la cuota mensual de un préstamo.
Di siempre qué significa el número: “después de 3 años tienes 2253,65 €”.
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