Precio y rentabilidad de bonos: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Precio y rentabilidad de bonos con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: cupones anuales, cupones semestrales, rentabilidad al vencimiento.

Problema de práctica gratisFácil
años0123…9€40€40€40 + €1 000P = ?

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 4% y vence dentro de 9 años. La rentabilidad al vencimiento es del 2,5%. Calcula el precio P del bono.

F = €1 000cupón = 4%YTM = 2,5%n = 9
€
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Qué practicas

  1. Fácilcupones anuales
  2. Mediacupones semestrales
  3. Difícilrentabilidad al vencimiento

Cómo resolver problemas de Precio y rentabilidad de bonos

  1. Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
  2. Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
  3. Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
  4. Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.

Errores frecuentes

  • Descontar al tipo del cupón en lugar de a la rentabilidad.
  • Olvidar el nominal al vencimiento.
  • Mezclar periodos anuales y semestrales.

Fórmulas clave

Precio del bono
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cupones semestrales
C/2, y/2 y 2n periodos
Rentabilidad corriente
C/P
Precio y rentabilidad
rentabilidad sube → precio baja

Aprende Precio y rentabilidad de bonos desde cero

Antes de esto: Valor temporal del dinero

1Qué es un bono

Un bono es un préstamo que puedes comprar y vender. Una empresa o un gobierno toma dinero prestado y promete a cambio pagos fijos.

Un bono típico tiene impresos tres números:

  • El valor nominal F, normalmente 1000 €. Se devuelve el último día, el vencimiento.
  • El tipo de cupón. Cada año el bono paga este porcentaje del valor nominal como interés, el cupón C. Un cupón del 5% sobre 1000 € son 50 € al año.
  • El vencimiento n: cuántos años faltan hasta que se devuelve el valor nominal.
0123CCC + FP

Los cupones y el valor nominal son fijos. Lo que cambia es el precio P que pagan hoy los inversores. Ese precio depende de la rentabilidad que quieren los inversores ahora.

Autoevaluación Un bono tiene un valor nominal de 1000 € y un tipo de cupón del 6%, que se paga una vez al año. ¿Cuál es el cupón C?
  1. €1060
  2. €600
  3. €60
  4. €6

Respuesta: €60. C = 6% del valor nominal = 0,06 · 1000 = 60 € al año. 1060 € es el último pago (cupón más valor nominal), no el cupón.

2Precio y rentabilidad al vencimiento

La rentabilidad al vencimiento (YTM, escrita y) es la rentabilidad anual que el mercado exige al bono. Es la tasa de descuento de todos sus pagos.

El precio es el valor actual de todo lo que paga el bono: los cupones forman una anualidad, y el valor nominal es una sola cantidad al final.

P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n

Compara la rentabilidad con el tipo de cupón. Esto te dice la respuesta antes de calcular:

  • Rentabilidad igual al tipo de cupón: el precio es exactamente el valor nominal, 1000 € (a la par).
  • Rentabilidad mayor que el tipo de cupón: el precio está por debajo del valor nominal (con descuento).
  • Rentabilidad menor que el tipo de cupón: el precio está por encima del valor nominal (con prima).

Así, los precios y las rentabilidades de los bonos siempre se mueven en sentidos opuestos. Cuando suben las rentabilidades, bajan los precios.

Autoevaluación Un bono tiene un cupón del 4%. La rentabilidad de mercado es del 6%. ¿Dónde estará su precio?
  1. En el valor nominal más un cupón
  2. Exactamente en el valor nominal
  3. Por debajo del valor nominal
  4. Por encima del valor nominal

Respuesta: Por debajo del valor nominal. El bono solo paga un 4% mientras que los inversores quieren un 6%. Solo lo comprarán a un precio menor, así que se vende con descuento.

3El método paso a paso

  1. Halla el cupón por periodo C, la rentabilidad por periodo y y el número de periodos n.
  2. Para cupones semestrales: usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de años.
  3. Valor actual de los cupones: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
  4. Valor actual del valor nominal: F / (1 + y)n.
  5. Suma los dos. Compara el resultado con el tipo de cupón: ¿descuento o prima?

Ejemplo del paso 2: un cupón del 6% pagado dos veces al año durante 5 años, con una rentabilidad del 5%, da C = 30 €, y = 0,025 y n = 10.

4Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un bono con un valor nominal de 1000 € paga un cupón anual del 5% y vence en 3 años. La rentabilidad al vencimiento es del 6%. Halla el precio P del bono.

1

Dibuja los flujos de caja

0123€50€50€50 + €1000P = ?

El cupón es 0,05 · 1000 = 50 € al año. En el año 3 el bono devuelve además los 1000 €.

2

Valores por periodo

Los cupones son anuales, así que un periodo es un año.

C = 50 y = 0,06 n = 3
(1,06)−3 = 0,839619
3

Valor actual de los cupones

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65
4

Valor actual del nominal

1000 · 0,839619 = 839,62
5

Sumarlos

P = 133,65 + 839,62 = 973,27
6

Comprueba la respuesta

Descuenta cada pago por separado: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = 973,27 €.

La rentabilidad (6%) es mayor que el tipo de cupón (5%), así que es de esperar un precio inferior a 1000 €.

Respuesta

P ≈ 973,27 €, con descuento porque la rentabilidad es mayor que el tipo de cupón.

5Cómo hallar la rentabilidad al vencimiento

A veces te dan el precio y debes hallar la rentabilidad. No hay fórmula para y, así que pruebas tasas.

Un bono con un cupón del 4% y 3 años por delante se vende por 960 €. Se vende por debajo de 1000 €, así que la rentabilidad es mayor que el 4%.

  1. Prueba el 5%: la fórmula del precio da 972,77 €. Sigue por encima de 960 €, así que la rentabilidad debe ser mayor.
  2. Prueba el 6%: el precio es 946,54 €. Ahora está por debajo de 960 €, así que la rentabilidad está entre el 5% y el 6%.
  3. Interpola entre las dos tasas.
y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

No confundas la YTM con la rentabilidad corriente, C/P = 40/960 = 4,17%. La rentabilidad corriente ignora la ganancia de 40 € que va de 960 € a los 1000 € que se devuelven al vencimiento.

Autoevaluación Un bono se vende por 1050 €. Su tipo de cupón es del 5%. ¿Qué sabes de su rentabilidad al vencimiento?
  1. Es exactamente el 5%
  2. Es igual a 50/1050 = 4,76%
  3. Es mayor que el 5%
  4. Es menor que el 5%

Respuesta: Es menor que el 5%. El precio está por encima del valor nominal (con prima), así que la rentabilidad es menor que el tipo de cupón. 4,76% es la rentabilidad corriente, que ignora la pérdida de 50 € al vencimiento.

6Errores frecuentes

  • Descontar al tipo de cupón en lugar de a la rentabilidad. El tipo de cupón solo fija el tamaño del cupón.
  • Olvidar el valor nominal al vencimiento, u olvidar los cupones.
  • Sumar los pagos sin descontarlos.
  • Mezclar periodos anuales y semestrales: con cupones semestrales divide C e y entre dos y multiplica n por dos.
Autoevaluación Un bono a 2 años tiene un valor nominal de 1000 €, un cupón anual del 5% y una rentabilidad del 6%. ¿Cuál es su precio?
  1. €1000
  2. €1100
  3. €981,67
  4. €990,00

Respuesta: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = 981,67 €. 1000 € sale de descontar al tipo de cupón, 1100 € de sumar sin descontar, y 990,00 € de no descontar los cupones.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: cupones anuales. Halla el precio a partir del valor nominal, el tipo de cupón, el vencimiento y la rentabilidad.
  • Medio: cupones semestrales. Lo mismo, con la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
  • Difícil: rentabilidad al vencimiento. Te dan el precio. Prueba dos tasas y luego interpola o usa una calculadora.

Compara siempre primero la rentabilidad con el tipo de cupón. Te dice si el precio debe estar por encima o por debajo de 1000 €.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
años0123…10€80€80€80 + €1 000P = ?

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 8% y vence dentro de 10 años. La rentabilidad al vencimiento es del 7%. Calcula el precio P del bono.

F = €1 000cupón = 8%YTM = 7%n = 10

Calcula P (€)

Mostrar pistas
  1. El precio es el valor actual de los cupones más el valor actual del nominal.
  2. Cupón anual: €80,00. Descuenta a la YTM.
  3. (1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Por periodo

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Valor actual de los cupones

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Valor actual del nominal

€1 000·0,5083 = €508,35

Precio

P = €1 070,24

Respuesta

P = €1 070,24

La rentabilidad es inferior al tipo de cupón, así que el bono se vende con prima (sobre la par).

Ejemplo 2Media
años0123…15P€70€70€70 + €1 000

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual de 7% y vence dentro de 15 años. Su rentabilidad al vencimiento pasa del 4% al 3%. ¿Cuánto ΔP varía el precio del bono?

F = €1 000cupón = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%

Calcula ΔP (€)

Mostrar pistas
  1. Valora el bono con la rentabilidad anterior y con la nueva.
  2. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
  3. P1 = €1 333,55.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Precio con la rentabilidad anterior

C = €70,00, i = 0,04, N = 15
€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Precio con la nueva rentabilidad

C = €70,00, i = 0,03, N = 15
€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Variación

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Respuesta

ΔP = €143,97
Ejemplo 3Difícil

Un bono cotiza a €930 con una rentabilidad al vencimiento del 7% (capitalización anual) y una duración de Macaulay de 9,5 años. Usa la duración modificada para estimar el nuevo precio P si la rentabilidad baja 150 puntos básicos.

P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Calcula P (€)

Mostrar pistas
  1. Duración modificada: D mod = D/(1 + y).
  2. Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
  3. %ΔP ≈ −D mod·Δy.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Duración: la duración de Macaulay es el tiempo medio ponderado en el que un bono paga sus flujos de caja, usando como pesos los valores actuales de los flujos: D = Σ t·PVₜ/P. La duración modificada D/(1 + y) estima la variación porcentual del precio ante un pequeño cambio de la rentabilidad: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

Duración modificada

Dmod = 9,5/1,07 = 8,879

Variación estimada del precio

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Respuesta

P = €1 053,86

La duración es una estimación lineal; para cambios grandes de rentabilidad la convexidad hace que el precio real sea algo mayor.

Preguntas y respuestas

Precio y rentabilidad de bonos: ¿qué es?

Un bono es un préstamo que puedes comprar y vender. Una empresa o un gobierno toma dinero prestado y promete a cambio pagos fijos.

Un bono típico tiene impresos tres números:

Precio y rentabilidad de bonos: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
  2. Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
  3. Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
  4. Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.
Precio y rentabilidad de bonos: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Descontar al tipo del cupón en lugar de a la rentabilidad.
  • Olvidar el nominal al vencimiento.
  • Mezclar periodos anuales y semestrales.
Precio y rentabilidad de bonos: ¿qué se practica?
  • Fácil: cupones anuales
  • Media: cupones semestrales
  • Difícil: rentabilidad al vencimiento

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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