Obligacijų kaina ir pajamingumas: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Nemokami uždaviniai tema Obligacijų kaina ir pajamingumas su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: metiniai kuponai, pusmetiniai kuponai, pajamingumas iki išpirkimo.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas
metai0123…9€40€40€40 + €1 000P = ?

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą; iki išpirkimo liko 9 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5%. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 4%YTM = 2,5%n = 9
€
Kitas uždavinys →
Praktikuokitės nemokamai: Obligacijų kaina ir pajamingumasPraktikuokitės dabar: Obligacijų kaina ir pajamingumasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

  1. Lengvasmetiniai kuponai
  2. Vidutinispusmetiniai kuponai
  3. Sunkuspajamingumas iki išpirkimo

Kaip spręsti uždavinius tema Obligacijų kaina ir pajamingumas

  1. Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
  2. Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
  3. Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
  4. Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

Dažnos klaidos

  • Diskontuojama taikant kupono normą, o ne pajamingumą.
  • Pamirštama nominali vertė išpirkimo dieną.
  • Supainiojami metiniai ir pusmetiniai laikotarpiai.

Pagrindinės formulės

Obligacijos kaina
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Kas pusmetį
C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas
C/P
Kaina ir pajamingumas
pajamingumas didėja → kaina mažėja

Išmokite Obligacijų kaina ir pajamingumas nuo nulio

Prieš tai: Pinigų vertė laike

1Kas yra obligacija

Obligacija yra paskola, kurią galima pirkti ir parduoti. Įmonė ar valstybė pasiskolina pinigų ir pažada mokėti nustatytas išmokas.

Tipinėje obligacijoje nurodyti trys skaičiai:

  • Nominalioji vertė F, dažniausiai 1000 €. Ji grąžinama paskutinę dieną, išpirkimo terminui pasibaigus.
  • Kupono norma. Kasmet obligacija išmoka šį nominaliosios vertės procentą kaip palūkanas, kuponą C. 5 % kuponas nuo 1000 € yra 50 € per metus.
  • Išpirkimo terminas n: po kiek metų grąžinama nominalioji vertė.
0123CCC + FP

Kuponai ir nominalioji vertė yra nustatyti. Keičiasi kaina P, kurią investuotojai moka šiandien. Ji priklauso nuo grąžos, kurios investuotojai nori dabar.

Savikontrolė Obligacijos nominalioji vertė 1000 €, kupono norma 6 %, mokama kartą per metus. Koks kuponas C?
  1. €1060
  2. €600
  3. €60
  4. €6

Atsakymas: €60. C = 6 % nominaliosios vertės = 0,06 · 1000 = 60 € per metus. 1060 € yra paskutinė išmoka (kuponas plius nominalioji vertė), o ne kuponas.

2Kaina ir pelningumas iki išpirkimo

Pelningumas iki išpirkimo (YTM, žymimas y) yra metinė grąža, kurios rinka reikalauja iš obligacijos. Tai diskonto norma visoms jos išmokoms.

Kaina yra visų obligacijos išmokų dabartinė vertė: kuponai sudaro anuitetą, o nominalioji vertė yra viena suma pabaigoje.

P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n

Palyginkite pelningumą su kupono norma. Taip atsakymą sužinosite dar neskaičiavę:

  • Pelningumas lygus kupono normai: kaina lygiai lygi nominaliajai vertei, 1000 € (pagal nominalą).
  • Pelningumas didesnis už kupono normą: kaina mažesnė už nominaliąją vertę (diskontas).
  • Pelningumas mažesnis už kupono normą: kaina didesnė už nominaliąją vertę (priemoka).

Taigi obligacijų kainos ir pelningumas visada juda priešingomis kryptimis. Kai pelningumas didėja, kainos krenta.

Savikontrolė Obligacijos kuponas 4 %. Rinkos pelningumas 6 %. Kur bus jos kaina?
  1. Aukščiau nominaliosios vertės
  2. Lygiai ties nominaliąja verte
  3. Nominalioji vertė plius vienas kuponas
  4. Žemiau nominaliosios vertės

Atsakymas: Žemiau nominaliosios vertės. Obligacija moka tik 4 %, o investuotojai nori 6 %. Jie ją pirks tik už mažesnę kainą, todėl ji parduodama su diskontu.

3Metodas žingsnis po žingsnio

  1. Raskite kuponą per laikotarpį C, pelningumą per laikotarpį y ir laikotarpių skaičių n.
  2. Kai kuponai pusmetiniai: imkite pusę kupono, pusę pelningumo ir dvigubai daugiau metų.
  3. Kuponų dabartinė vertė: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
  4. Nominaliosios vertės dabartinė vertė: F / (1 + y)n.
  5. Sudėkite abi. Patikrinkite rezultatą pagal kupono normą: diskontas ar priemoka?

2 žingsnio pavyzdys: 6 % kuponas, mokamas du kartus per metus 5 metus, pelningumas 5 %, duoda C = 30 €, y = 0,025 ir n = 10.

4Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Obligacijos nominalioji vertė 1000 €, metinis kuponas 5 %, išperkama po 3 metų. Pelningumas iki išpirkimo 6 %. Raskite obligacijos kainą P.

1

Nubraižykite pinigų srautus

0123€50€50€50 + €1000P = ?

Kuponas yra 0,05 · 1000 = 50 € per metus. Trečiais metais obligacija dar grąžina 1000 €.

2

Dydžiai per laikotarpį

Kuponai metiniai, todėl vienas laikotarpis yra vieni metai.

C = 50 y = 0,06 n = 3
(1,06)−3 = 0,839619
3

Kuponų dabartinė vertė

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65
4

Nominalios vertės dabartinė vertė

1000 · 0,839619 = 839,62
5

Sudėkite

P = 133,65 + 839,62 = 973,27
6

Patikrinkite atsakymą

Diskontuokite kiekvieną išmoką atskirai: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = 973,27 €.

Pelningumas (6 %) didesnis už kupono normą (5 %), todėl tikimės žemesnės nei 1000 € kainos.

Atsakymas

P ≈ 973,27 €, diskontas, nes pelningumas didesnis už kupono normą.

5Pelningumo iki išpirkimo radimas

Kartais duota kaina ir reikia rasti pelningumą. Formulės y apskaičiuoti nėra, todėl išbandomos normos.

Obligacija su 4 % kuponu ir 3 metais iki išpirkimo parduodama už 960 €. Ji parduodama pigiau nei už 1000 €, todėl pelningumas didesnis nei 4 %.

  1. Išbandykite 5 %: pagal kainos formulę gaunama 972,77 €. Vis dar daugiau nei 960 €, todėl pelningumas turi būti didesnis.
  2. Išbandykite 6 %: kaina 946,54 €. Dabar ji mažesnė nei 960 €, todėl pelningumas yra tarp 5 % ir 6 %.
  3. Interpoliuokite tarp dviejų normų.
y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

Nepainiokite YTM su einamuoju pelningumu, C/P = 40/960 = 4,17 %. Einamasis pelningumas neįskaito 40 € prieaugio nuo 960 € iki 1000 €, grąžinamų išpirkimo metu.

Savikontrolė Obligacija parduodama už 1050 €. Jos kupono norma 5 %. Ką žinote apie jos pelningumą iki išpirkimo?
  1. Jis didesnis nei 5 %
  2. Jis lygiai 5 %
  3. Jis lygus 50/1050 = 4,76 %
  4. Jis mažesnis nei 5 %

Atsakymas: Jis mažesnis nei 5 %. Kaina didesnė už nominaliąją vertę (priemoka), todėl pelningumas mažesnis už kupono normą. 4,76 % yra einamasis pelningumas, kuris neįskaito 50 € nuostolio išpirkimo metu.

6Dažnos klaidos

  • Diskontuojama kupono norma, o ne pelningumu. Kupono norma nustato tik kupono dydį.
  • Pamirštama nominalioji vertė išpirkimo metu arba kuponai.
  • Išmokos sudedamos jų nediskontavus.
  • Painiojami metiniai ir pusmetiniai laikotarpiai: kai kuponai pusmetiniai, C ir y dalykite pusiau, o n padvigubinkite.
Savikontrolė 2 metų obligacijos nominalioji vertė 1000 €, metinis kuponas 5 %, pelningumas 6 %. Kokia jos kaina?
  1. €1000
  2. €1100
  3. €981,67
  4. €990,00

Atsakymas: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = 981,67 €. 1000 € gaunama diskontuojant kupono norma, 1100 € – sudedant be diskontavimo, o 990,00 € – nediskontuojant kuponų.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

  • Lengvi: metiniai kuponai. Raskite kainą pagal nominaliąją vertę, kupono normą, terminą ir pelningumą.
  • Vidutiniai: pusmetiniai kuponai. Tas pats, tik su puse kupono, puse pelningumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
  • Sunkūs: pelningumas iki išpirkimo. Kaina duota. Išbandykite dvi normas, tada interpoliuokite arba naudokite skaičiuotuvą.

Visada pirmiausia palyginkite pelningumą su kupono norma. Tai parodo, ar kaina turi būti didesnė, ar mažesnė nei 1000 €.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėjeMokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas
metai0123…10€80€80€80 + €1 000P = ?

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą; iki išpirkimo liko 10 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7%. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 8%YTM = 7%n = 10

Raskite P (€)

Rodyti užuominas
  1. Kaina lygi kuponų dabartinei vertei plius nominalios vertės dabartinei vertei.
  2. Metinis kuponas: €80,00. Diskontuokite pagal YTM.
  3. (1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Kuponų dabartinė vertė

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,5083 = €508,35

Kaina

P = €1 070,24

Atsakymas

P = €1 070,24

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

Pavyzdys 2Vidutinis
metai0123…15P€70€70€70 + €1 000

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą ir išperkama po 15 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 4% iki 3%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?

F = €1 000kuponas = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%

Raskite ΔP (€)

Rodyti užuominas
  1. Apskaičiuokite obligacijos kainą esant senajam ir naujajam pajamingumui.
  2. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
  3. P1 = €1 333,55.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Kaina esant senajam pajamingumui

C = €70,00, i = 0,04, N = 15
€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Kaina esant naujajam pajamingumui

C = €70,00, i = 0,03, N = 15
€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Pokytis

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Atsakymas

ΔP = €143,97
Pavyzdys 3Sunkus

Obligacija parduodama už €930, jos pajamingumas iki išpirkimo 7% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 9,5 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas sumažėja 150 baziniais punktais.

P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Raskite P (€)

Rodyti užuominas
  1. Modifikuotoji trukmė: D mod = D/(1 + y).
  2. Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
  3. %ΔP ≈ −D mod·Δy.
Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

Modifikuotoji trukmė

Dmod = 9,5/1,07 = 8,879

Įvertintas kainos pokytis

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Atsakymas

P = €1 053,86

Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.

Klausimai ir atsakymai

Obligacijų kaina ir pajamingumas: kas tai?

Tipinėje obligacijoje nurodyti trys skaičiai:

Kuponai ir nominalioji vertė yra nustatyti. Keičiasi kaina P, kurią investuotojai moka šiandien. Ji priklauso nuo grąžos, kurios investuotojai nori dabar.

Obligacijų kaina ir pajamingumas: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?
  1. Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
  2. Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
  3. Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
  4. Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.
Obligacijų kaina ir pajamingumas: kokios klaidos dažniausios?
  • Diskontuojama taikant kupono normą, o ne pajamingumą.
  • Pamirštama nominali vertė išpirkimo dieną.
  • Supainiojami metiniai ir pusmetiniai laikotarpiai.
Obligacijų kaina ir pajamingumas: ką lavinsite?
  • Lengvas: metiniai kuponai
  • Vidutinis: pusmetiniai kuponai
  • Sunkus: pajamingumas iki išpirkimo

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

  • Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
  • Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
  • Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Pirmiausia išmokite

Pinigų vertė laike

Skaičiuoklės

Obligacijos kainos skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Įmonių finansaiInvesticijos ir vertinimasCFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Verslas ir ekonomika

Pinigų vertė laikeNPV ir IRRCAPM ir WACCPaklausos elastingumas kainaiEkonomikos sąvokosLūžio taško analizėFinansinė apskaitaNusidėvėjimasRinkodaros pagrindai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Obligacijų kaina ir pajamingumas su atsakymais
Praktikuokitės nemokamai: Obligacijų kaina ir pajamingumasPraktikuokitės dabar: Obligacijų kaina ir pajamingumasKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.