Pinigų vertė laike: uždaviniai su sprendimais žingsnis po žingsnio

Q: Pinigų vertė laike: ką lavinsite?

Lengvas: būsimoji vertė Vidutinis: kapitalizavimas ir diskontavimas Sunkus: anuitetai ir paskolos Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Nemokami uždaviniai tema Pinigų vertė laike su brėžiniais, užuominomis ir išsamiais sprendimais. Kiekvieną kartą naujos reikšmės, trijų lygių: būsimoji vertė, kapitalizavimas ir diskontavimas, anuitetai ir paskolos.

Nemokamas pratybų uždavinysLengvas

Įnešate €2 500 esant 5 % metinių palūkanų, kapitalizuojamų kasmet (palūkanos pridedamos kiekvienų metų pabaigoje). Po kiek sveikų metų n likutis pirmą kartą pasiekia bent €7 500?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%

Sveikas metų skaičius.

Kitas uždavinys →

Praktikuokitės nemokamai: Pinigų vertė laike Praktikuokitės dabar: Pinigų vertė laikeKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.

Ką praktikuositės

Lengvasbūsimoji vertė
Vidutiniskapitalizavimas ir diskontavimas
Sunkusanuitetai ir paskolos

Kaip spręsti uždavinius tema Pinigų vertė laike

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

Dažnos klaidos

Mėnesiniams laikotarpiams naudojama metinė norma.
Naudojamos paprastosios palūkanos vietoj sudėtinių.
Neteisingai suskaičiuojamas laikotarpių skaičius.

Pagrindinės formulės

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Išmokite Pinigų vertė laike nuo nulio

1Kodėl pinigai laikui bėgant auga

Jei 1000 € įdedate į taupomąją sąskaitą, mokančią 5 % metinių palūkanų, po metų turite 1050 €. Papildomi 50 € yra palūkanos.

Antraisiais metais uždirbate 5 % nuo 1050 €, o ne nuo 1000 €. Taigi palūkanos yra 52,50 €, o likutis tampa 1102,50 €.

Palūkanų uždirbimas nuo ankstesnių palūkanų vadinamas sudėtinėmis palūkanomis. Su paprastosiomis palūkanomis visada uždirbtumėte tik 5 % nuo pirmųjų 1000 €.

Kadangi pinigai gali taip augti, 1000 € šiandien vertas daugiau nei 1000 € po trejų metų. Tai pinigų laiko vertė.

Pagal šią idėją skaičiuojamas kiekvienas taupymo planas, paskola ir hipoteka.

Savikontrolė Įnešate 100 € su 10 % metinių palūkanų, kapitalizuojamų kasmet. Kiek bus sąskaitoje po 2 metų?

€110
€120
€121
€200

Atsakymas: €121. 1 metai: 100 · 1,10 = 110. 2 metai: 110 · 1,10 = 121. 120 € yra paprastosios palūkanos: pamirštamos palūkanos, uždirbtos nuo pirmųjų 10 € palūkanų.

2Būsimoji vertė ir dabartinė vertė

Kiekvieną laikotarpį likutis dauginamas iš (1 + i), kur i yra palūkanų norma laikotarpiui dešimtaine trupmena. Po n laikotarpių:

FV = PV · (1 + i)ⁿ

PV (dabartinė vertė) yra suma šiandien. FV (būsimoji vertė) yra suma po n laikotarpių.

Skaičiavimas atgal vadinamas diskontavimu. Jis parodo, kiek šiandien reikia, kad vėliau pasiektumėte tikslą:

PV = FV / (1 + i)ⁿ

Pavyzdys: norėdami po 2 metų turėti 1102,50 €, esant 5 %, šiandien reikia 1102,50 / 1,05² = 1000 €.

Bankai dažnai nurodo metinę nominaliąją normą r, bet palūkanas prideda m kartų per metus: m = 4 kas ketvirtį, m = 12 kas mėnesį. Tada skaičiuojate pagal laikotarpį:

i = r / m N = m · n

Savikontrolė 6 % metinė norma kapitalizuojama kas mėnesį 3 metus. Kam lygūs i ir N?

i = 0,005 ir N = 36
i = 0,005 ir N = 3
i = 0,06 ir N = 36
i = 0,5 ir N = 36

Atsakymas: i = 0,005 ir N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 per mėnesį ir N = 12 · 3 = 36 mėnesiai. Dažniausia klaida – naudoti metinę 0,06 su 36 mėnesiais: taip skaičiuojama 6 % kiekvieną mėnesį.

3Anuitetai: vienodi mokėjimai

Anuitetas yra vienodų mokėjimų A serija kiekvieno laikotarpio pabaigoje, pavyzdžiui, kas mėnesį sutaupomi 250 € arba mėnesinė paskolos įmoka.

Galėtumėte kiekvieną mokėjimą kapitalizuoti ar diskontuoti atskirai ir sudėti. Anuiteto formulės šią sumą apskaičiuoja vienu žingsniu.

Tai, ką turite pabaigoje, jei kiekvieną laikotarpį taupote A:

FV = A · [(1 + i)^N − 1] / i

Kiek šiandien verti visi mokėjimai:

PV = A · [1 − (1 + i)^−N] / i

Paskola grąžinama anuitetu: pasiskolinta suma P lygi mokėjimų dabartinei vertei. Iš to išspręskite mokėjimą:

A = P · i / [1 − (1 + i)^−N]

Pavyzdys: pasiskolinta 10 000 €, 6 % metinių palūkanų, kapitalizuojamų kas mėnesį, 3 metams. i = 0,005 ir N = 36, taigi A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = 304,22 € per mėnesį.

4Metodas žingsnis po žingsnio

Nubraižykite laiko juostą. Pažymėkite, kas žinoma (suma šiandien, tikslas vėliau, vienodi mokėjimai) ir ką reikia rasti.
Raskite normą laikotarpiui i = r/m ir laikotarpių skaičių N = m · n. Normą rašykite dešimtaine trupmena.
Pasirinkite formulę: viena suma (FV arba PV) arba vienodų mokėjimų serija (anuitetas).
Skaičiuokite. Pirmiausia apskaičiuokite laipsnį (1 + i)^N ir išlaikykite bent 4 skaitmenis po kablelio.
Patikrinkite atsakymo dydį: būsimoji vertė didesnė už įnašą, o dabartinė vertė mažesnė už tikslą.

5Išspręstas pavyzdys

Sekite kiekvieną žingsnį. Pabandykite nuspėti kitą, prieš jį atidarydami.

Išspręstas pavyzdys

Investuojate 2000 € su 4 % metine nominaliąja norma, kapitalizuojama kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 3 metų.

Nubraižykite laiko juostą

Viena suma įdedama šiandien. Norite jos vertės po 3 metų, tai yra 12 ketvirčių.

Norma ir laikotarpių skaičius

Palūkanos pridedamos 4 kartus per metus, todėl skaičiuokite ketvirčiais.

i = 0,04 / 4 = 0,01

N = 4 · 3 = 12

Augimo koeficientas

Kiekvieną ketvirtį likutis dauginamas iš 1,01.

(1 + i)^N = 1,01¹² = 1,126825

Būsimoji vertė

FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65

Patikrinkite atsakymą

Kapitalizuojant kasmet gautumėte 2000 · 1,04³ = 2249,73 €. Kapitalizuojant kas ketvirtį gaunama šiek tiek daugiau, nes palūkanos pradeda uždirbti palūkanas anksčiau. 2253,65 € tinka.

Atsakymas

FV ≈ 2253,65 € po 3 metų.

6Dažnos klaidos

Naudojama metinė norma su mėnesiniais ar ketvirtiniais laikotarpiais. Normą padalykite iš m, o metus padauginkite iš m.
Naudojamos paprastosios palūkanos, PV · (1 + i · n), vietoj sudėtinių palūkanų, PV · (1 + i)ⁿ.
Neteisingai suskaičiuojamas laikotarpių skaičius, pavyzdžiui, 3 vietoj 36 trejiems metams su mėnesiniais mokėjimais.
Norma rašoma procentais: 1,4¹² vietoj 1,04¹².
Taupymo plane sudedami tik įnašai. Kiekvienas įnašas taip pat uždirba palūkanas.

Savikontrolė Investuojate 1000 € su 6 % metinių palūkanų, kapitalizuojamų kas mėnesį, 3 metams. Kuris skaičiavimas teisingas?

1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
1000 · 1,005³⁶ = 1196,68 €
1000 · 1,06³⁶ = 8147,25 €
1000 · 1,06³ = 1191,02 €

Atsakymas: 1000 · 1,005³⁶ = 1196,68 €. Kapitalizavimas kas mėnesį: i = 0,06/12 = 0,005 ir N = 36. Naudojant 1,06 36 laikotarpiams skaičiuojama 6 % kiekvieną mėnesį. 1,06³ ignoruoja mėnesinę kapitalizaciją, o 1180 yra paprastosios palūkanos.

7Kaip atrodo egzamino uždaviniai

Lengvi: būsimoji vertė. Vienas įnašas su metine kapitalizacija: FV = PV · (1 + i)ⁿ.
Vidutiniai: kapitalizavimas ir diskontavimas. Kapitalizavimas kas ketvirtį ar mėnesį, prašoma būsimosios vertės arba šiandien reikalingo įnašo.
Sunkūs: anuitetai ir paskolos. Mėnesinio taupymo plano galutinė vertė arba mėnesinė paskolos įmoka.

Visada pasakykite, ką skaičius reiškia: „po 3 metų turite 2253,65 €“.

Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje Mokykitės žingsnis po žingsnio programėlėje

Išspręsti pavyzdžiai

Pavyzdys 1Lengvas

Įnešate €1 000 esant 8 % metinių palūkanų, kapitalizuojamų kasmet (palūkanos pridedamos kiekvienų metų pabaigoje). Po kiek sveikų metų n likutis pirmą kartą pasiekia bent €2 500?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

Raskite n (metai)

Rodyti užuominas

Užrašykite FV = PV·(1 + i)ⁿ ir išreiškite laipsnio rodiklį n.
Abi puses logaritmuokite natūriniu logaritmu: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i).
FV/PV = 2,5, ln(2,5) = 0,9163.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Sudarykite lygtį

1 000·(1 + 0,08)ⁿ = 2 500 → (1,08)ⁿ = 2,5

Spręskite logaritmais

n = ln(2,5)/ln(1,08) = 0,9163/0,07696 = 11,91

Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų metų

Palūkanos pridedamos tik kiekvienų metų pabaigoje, todėl po 11 metų likutis dar mažesnis už tikslą.

1 000·1,08¹¹ = €2 331,64 < €2 500

1 000·1,08¹² = €2 518,17 ≥ €2 500

n = 12

Atsakymas

n = 12 metai

Pavyzdys 2Vidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 22% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 22%m = 4

Raskite EAR (%)

Rodyti užuominas

Pirmiausia raskite laikotarpio normą r/m.
EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1.
r/m = 0,055.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Laikotarpio norma

r/m = 0,22/4 = 0,055

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,055)⁴ − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Atsakymas

EAR = 23,88%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

Pavyzdys 3Sunkus

€250 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metų, esant 3% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 8-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

Raskite B (€)

Rodyti užuominas

Pirmiausia anuiteto formule raskite mėnesio įmoką A.
Likusi skola lygi dar būsimų įmokų dabartinei vertei.
A = €1 386,49, likusios įmokos: 144.

Rodyti atsakymą ir sprendimą žingsnis po žingsnio

Mėnesinė įmoka

i = 0,0025, N = 240

A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €1 386,49

Likusių įmokų dabartinė vertė

Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.

N − k = 240 − 96 = 144

B = 1386·(1 − (1 + 0,0025)⁻¹⁴⁴)/0,0025 = €167 494,12

Atsakymas

B = €167 494,12

Klausimai ir atsakymai

Pinigų vertė laike: kas tai?

Jei 1000 € įdedate į taupomąją sąskaitą, mokančią 5 % metinių palūkanų, po metų turite 1050 €. Papildomi 50 € yra palūkanos.

Antraisiais metais uždirbate 5 % nuo 1050 €, o ne nuo 1000 €. Taigi palūkanos yra 52,50 €, o likutis tampa 1102,50 €.

Pinigų vertė laike: kaip spręsti uždavinius žingsnis po žingsnio?

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

Pinigų vertė laike: kokios klaidos dažniausios?

Mėnesiniams laikotarpiams naudojama metinė norma.
Naudojamos paprastosios palūkanos vietoj sudėtinių.
Neteisingai suskaičiuojamas laikotarpių skaičius.

Pinigų vertė laike: ką lavinsite?

Lengvas: būsimoji vertė
Vidutinis: kapitalizavimas ir diskontavimas
Sunkus: anuitetai ir paskolos

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą. Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.

Kaip vyksta praktika

Kiekviename uždavinyje naujos reikšmės, todėl išmokstate metodą, o ne atsakymą.
Strigote? Pirmiausia atverkite nedidelę užuominą, o visą paaiškinimą – tik kai jo prireiks.
Jūsų pažanga, klaidos ir išsaugoti uždaviniai išlieka, todėl prieš egzaminą galite viską pakartoti.

Temos prieš šią ir po jos

Toliau

Obligacijų kaina ir pajamingumas NPV ir IRR

Skaičiuoklės

Sudėtinių palūkanų skaičiuoklė Paskolos įmokos skaičiuoklė

Kursai su šia tema

Įmonių finansai Investicijos ir vertinimas FE Civil egzamino praktika CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika

Daugiau temų: Verslas ir ekonomika

NPV ir IRR Obligacijų kaina ir pajamingumas CAPM ir WACC Paklausos elastingumas kainai Ekonomikos sąvokos Lūžio taško analizė Finansinė apskaita Nusidėvėjimas Rinkodaros pagrindai

Spausdinamas užduočių lapas

Užduočių lapas tema Pinigų vertė laike su atsakymais

Praktikuokitės nemokamai: Pinigų vertė laike Praktikuokitės dabar: Pinigų vertė laikeKasdien nemokamų uždavinių: 5. Kortelės nereikia.