Obligatiekoers en rendement: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Q: Obligatiekoers en rendement: wat is het?

Een obligatie is een lening die je kunt kopen en verkopen. Een bedrijf of overheid leent geld en belooft in ruil daarvoor vaste betalingen. Op een typische obligatie staan drie getallen:

Q: Obligatiekoers en rendement: wat oefen je?

Makkelijk: jaarlijkse coupons Gemiddeld: halfjaarlijkse coupons Moeilijk: effectief rendement Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Gratis oefenopgaven over Obligatiekoers en rendement met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: jaarlijkse coupons, halfjaarlijkse coupons, effectief rendement.

Gratis oefenopgaveMakkelijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5%. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 2,5%n = 9

Volgende opgave →

Oefen Obligatiekoers en rendement gratis Oefen nu Obligatiekoers en rendementElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

Makkelijkjaarlijkse coupons
Gemiddeldhalfjaarlijkse coupons
Moeilijkeffectief rendement

Zo los je opgaven over Obligatiekoers en rendement op

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

Veelgemaakte fouten

Disconteren tegen de couponrente in plaats van het rendement.
De nominale waarde op de aflossingsdatum vergeten.
Jaarlijkse en halfjaarlijkse perioden door elkaar halen.

Belangrijke formules

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Leer Obligatiekoers en rendement vanaf nul

Hiervoor: Tijdswaarde van geld

1Wat een obligatie is

Een obligatie is een lening die je kunt kopen en verkopen. Een bedrijf of overheid leent geld en belooft in ruil daarvoor vaste betalingen.

Op een typische obligatie staan drie getallen:

De nominale waarde F, meestal € 1000. Die wordt op de laatste dag terugbetaald, de einddatum.
De couponrente. Elk jaar betaalt de obligatie dit percentage van de nominale waarde als rente, de coupon C. Een coupon van 5% op € 1000 is € 50 per jaar.
De looptijd n: hoeveel jaar het duurt tot de nominale waarde wordt terugbetaald.

De coupons en de nominale waarde staan vast. Wat verandert is de prijs P die beleggers vandaag betalen. Die prijs hangt af van het rendement dat beleggers nu willen.

Zelftoets Een obligatie heeft een nominale waarde van € 1000 en een couponrente van 6%, eenmaal per jaar betaald. Wat is de coupon C?

€1060
€600
€60
€6

Antwoord: €60. C = 6% van de nominale waarde = 0,06 · 1000 = € 60 per jaar. € 1060 is de laatste betaling (coupon plus nominale waarde), niet de coupon.

2Prijs en rendement op einddatum

Het rendement op einddatum (yield to maturity, YTM, geschreven als y) is het jaarlijkse rendement dat de markt op de obligatie eist. Het is de disconteringsvoet voor alle betalingen.

De prijs is de contante waarde van alles wat de obligatie betaalt: de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde is één bedrag aan het eind.

P = C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y + F / (1 + y)ⁿ

Vergelijk het rendement met de couponrente. Dat vertelt je het antwoord voordat je rekent:

Rendement gelijk aan de couponrente: de prijs is precies de nominale waarde, € 1000 (tegen pari).
Rendement boven de couponrente: de prijs ligt onder de nominale waarde (een disagio).
Rendement onder de couponrente: de prijs ligt boven de nominale waarde (een agio).

Obligatieprijzen en rendementen bewegen dus altijd in tegengestelde richting. Als rendementen stijgen, dalen prijzen.

Zelftoets Een obligatie heeft een coupon van 4%. Het marktrendement is 6%. Waar komt de prijs te liggen?

Boven de nominale waarde
Onder de nominale waarde
Op de nominale waarde plus één coupon
Precies op de nominale waarde

Antwoord: Onder de nominale waarde. De obligatie betaalt maar 4% terwijl beleggers 6% willen. Ze kopen hem alleen tegen een lagere prijs, dus hij wordt met disagio verkocht.

3De methode stap voor stap

Bepaal de coupon per periode C, het rendement per periode y en het aantal perioden n.
Bij halfjaarlijkse coupons: gebruik de halve coupon, het half rendement en tweemaal het aantal jaren.
Contante waarde van de coupons: C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y.
Contante waarde van de nominale waarde: F / (1 + y)ⁿ.
Tel de twee op. Controleer het resultaat met de couponrente: disagio of agio?

Voorbeeld bij stap 2: een coupon van 6% die twee keer per jaar wordt betaald, 5 jaar lang, met een rendement van 5%, geeft C = € 30, y = 0,025 en n = 10.

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een obligatie met een nominale waarde van € 1000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% en loopt 3 jaar. Het rendement op einddatum is 6%. Bepaal de prijs P van de obligatie.

Teken de kasstromen

De coupon is 0,05 · 1000 = € 50 per jaar. In jaar 3 betaalt de obligatie ook de € 1000 terug.

Waarden per periode

De coupons zijn jaarlijks, dus één periode is één jaar.

C = 50 y = 0,06 n = 3

(1,06)⁻³ = 0,839619

Contante waarde van de coupons

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65

Contante waarde van de nominale waarde

1000 · 0,839619 = 839,62

Optellen

P = 133,65 + 839,62 = 973,27

Controleer het antwoord

Disconteer elke betaling apart: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = € 973,27.

Het rendement (6%) ligt boven de couponrente (5%), dus een prijs onder € 1000 is wat je verwacht.

Antwoord

P ≈ € 973,27, een disagio omdat het rendement boven de couponrente ligt.

5Het rendement op einddatum bepalen

Soms is de prijs gegeven en moet je het rendement vinden. Er is geen formule voor y, dus je probeert rentevoeten.

Een obligatie met een coupon van 4% en nog 3 jaar te gaan wordt verkocht voor € 960. Hij wordt onder € 1000 verkocht, dus het rendement ligt boven 4%.

Probeer 5%: de prijsformule geeft € 972,77. Nog steeds boven € 960, dus het rendement moet hoger zijn.
Probeer 6%: de prijs is € 946,54. Nu is hij onder € 960, dus het rendement ligt tussen 5% en 6%.
Interpoleer tussen de twee rentevoeten.

y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

Verwar het rendement op einddatum niet met het lopend rendement, C/P = 40/960 = 4,17%. Het lopend rendement negeert de winst van € 40 van € 960 naar de € 1000 die bij de einddatum worden terugbetaald.

Zelftoets Een obligatie wordt verkocht voor € 1050. Zijn couponrente is 5%. Wat weet je over zijn rendement op einddatum?

Het is gelijk aan 50/1050 = 4,76%
Het is precies 5%
Het ligt boven 5%
Het ligt onder 5%

Antwoord: Het ligt onder 5%. De prijs ligt boven de nominale waarde (een agio), dus het rendement ligt onder de couponrente. 4,76% is het lopend rendement, dat het verlies van € 50 bij de einddatum negeert.

6Veelgemaakte fouten

Disconteren tegen de couponrente in plaats van het rendement. De couponrente bepaalt alleen de grootte van de coupon.
De nominale waarde bij de einddatum vergeten, of de coupons vergeten.
De betalingen optellen zonder ze te disconteren.
Jaarlijkse en halfjaarlijkse perioden door elkaar halen: bij halfjaarlijkse coupons halveer je C en y en verdubbel je n.

Zelftoets Een obligatie van 2 jaar heeft een nominale waarde van € 1000, een jaarlijkse coupon van 5% en een rendement van 6%. Wat is de prijs?

€1000
€1100
€981,67
€990,00

Antwoord: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = € 981,67. € 1000 komt van disconteren tegen de couponrente, € 1100 van optellen zonder disconteren, en € 990,00 van de coupons niet disconteren.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

Makkelijk: jaarlijkse coupons. Bepaal de prijs uit de nominale waarde, couponrente, looptijd en rendement.
Gemiddeld: halfjaarlijkse coupons. Hetzelfde, met de halve coupon, het half rendement en tweemaal zoveel perioden.
Moeilijk: rendement op einddatum. De prijs is gegeven. Probeer twee rentevoeten en interpoleer of gebruik een rekenmachine.

Vergelijk altijd eerst het rendement met de couponrente. Het vertelt je of de prijs boven of onder € 1000 moet liggen.

Leer het stap voor stap in de app Leer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 7%. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 8%YTM = 7%n = 10

Gevraagd: P (€)

Hints tonen

De koers is de contante waarde van de coupons plus de contante waarde van de nominale waarde.
Coupon per jaar: €80,00. Verdisconteer tegen de YTM.
(1 + 0,07)⁻¹⁰ = 0,5083.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Contante waarde van de coupons

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,5083 = €508,35

Koers

P = €1 070,24

Antwoord

P = €1 070,24

Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.

Voorbeeld 2Gemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 15 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 4% naar 3%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?

F = €1 000coupon = 7%n = 15y₁ = 4%y₂ = 3%

Gevraagd: ΔP (€)

Hints tonen

Waardeer de obligatie bij het oude en bij het nieuwe rendement.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P₁ = €1 333,55.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Koers bij het oude rendement

C = €70,00, i = 0,04, N = 15

€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Koers bij het nieuwe rendement

C = €70,00, i = 0,03, N = 15

€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Verandering

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Antwoord

ΔP = €143,97

Voorbeeld 3Moeilijk

Een obligatie noteert op €930 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 9,5 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten daalt.

P₀ = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Gevraagd: P (€)

Hints tonen

Gemodificeerde duration: D mod = D/(1 + y).
D_mod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.

Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 9,5/1,07 = 8,879

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%

P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Antwoord

P = €1 053,86

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

Vragen en antwoorden

Obligatiekoers en rendement: wat is het?

Een obligatie is een lening die je kunt kopen en verkopen. Een bedrijf of overheid leent geld en belooft in ruil daarvoor vaste betalingen.

Op een typische obligatie staan drie getallen:

Obligatiekoers en rendement: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

Obligatiekoers en rendement: wat zijn veelgemaakte fouten?

Disconteren tegen de couponrente in plaats van het rendement.
De nominale waarde op de aflossingsdatum vergeten.
Jaarlijkse en halfjaarlijkse perioden door elkaar halen.

Obligatiekoers en rendement: wat oefen je?

Makkelijk: jaarlijkse coupons
Gemiddeld: halfjaarlijkse coupons
Moeilijk: effectief rendement

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Tijdswaarde van geld

Calculators

Calculator voor obligatiekoersen

Vakken met dit onderwerp

Ondernemingsfinanciering Beleggingen en waardering Oefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Bedrijfskunde & economie

Tijdswaarde van geld NCW & IRR CAPM en WACC Prijselasticiteit van de vraag Economische begrippen Break-evenanalyse Financial accounting Afschrijving Marketingprincipes

Printbaar werkblad

Werkblad Obligatiekoers en rendement met antwoorden

Oefen Obligatiekoers en rendement gratis Oefen nu Obligatiekoers en rendementElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.