Tijdswaarde van geld: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: contante waarde · eindwaarde · samengestelde interest
Gratis oefenopgaven over Tijdswaarde van geld met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: eindwaarde, samenstellen en contant maken, annuïteiten en leningen.
Leer Tijdswaarde van geld vanaf nul
1Waarom geld in de loop van de tijd groeit
Als je € 1000 op een spaarrekening zet die 5% rente per jaar geeft, heb je na een jaar € 1050. De extra € 50 is de rente.
In het tweede jaar verdien je 5% over € 1050, niet over € 1000. De rente is dus € 52,50 en het saldo wordt € 1102,50.
Rente verdienen over eerdere rente heet samengestelde rente. Bij enkelvoudige rente verdien je steeds alleen 5% over de eerste € 1000.
Doordat geld zo kan groeien, is € 1000 vandaag meer waard dan € 1000 over drie jaar. Dit is de tijdswaarde van geld.
Elk spaarplan, elke lening en elke hypotheek wordt met dit idee berekend.
Zelftoets Je stort € 100 tegen 10% per jaar, jaarlijks samengesteld. Hoeveel staat er na 2 jaar op de rekening?
- €110
- €120
- €121
- €200
Antwoord: €121. Jaar 1: 100 · 1,10 = 110. Jaar 2: 110 · 1,10 = 121. € 120 is enkelvoudige rente: het vergeet de rente over de eerste € 10 rente.
2Toekomstige waarde en contante waarde
Elke periode wordt het saldo vermenigvuldigd met (1 + i), waarbij i het rentepercentage per periode is als decimaal getal. Na n perioden:
FV = PV · (1 + i)n
PV (contante waarde, present value) is het bedrag van vandaag. FV (toekomstige waarde, future value) is het bedrag na n perioden.
Terugrekenen heet disconteren. Het vertelt je hoeveel je vandaag nodig hebt om later een doel te bereiken:
PV = FV / (1 + i)n
Voorbeeld: om over 2 jaar € 1102,50 te hebben tegen 5%, heb je vandaag 1102,50 / 1,05² = € 1000 nodig.
Banken noemen vaak een jaarlijkse nominale rentevoet r, maar schrijven m keer per jaar rente bij: m = 4 bij elk kwartaal, m = 12 bij elke maand. Dan reken je per periode:
i = r / m N = m · n
Zelftoets Een rente van 6% per jaar wordt 3 jaar lang maandelijks samengesteld. Wat zijn i en N?
- i = 0,005 en N = 36
- i = 0,005 en N = 3
- i = 0,06 en N = 36
- i = 0,5 en N = 36
Antwoord: i = 0,005 en N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 per maand en N = 12 · 3 = 36 maanden. De jaarlijkse 0,06 gebruiken met 36 maanden is de meest gemaakte fout: dan reken je elke maand 6%.
3Annuïteiten: gelijke betalingen
Een annuïteit is een reeks gelijke betalingen A aan het eind van elke periode, bijvoorbeeld € 250 sparen per maand of een maandelijkse aflossing van een lening.
Je zou elke betaling afzonderlijk kunnen laten aangroeien of disconteren en alles optellen. De annuïteitenformules doen deze som in één stap.
Wat je aan het eind hebt als je elke periode A spaart:
FV = A · [(1 + i)N − 1] / i
Wat alle betalingen vandaag waard zijn:
PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i
Een lening wordt met een annuïteit terugbetaald: het geleende bedrag P is gelijk aan de contante waarde van de betalingen. Los dat op voor de betaling:
A = P · i / [1 − (1 + i)−N]
Voorbeeld: € 10 000 geleend tegen 6% per jaar, maandelijks samengesteld, over 3 jaar. i = 0,005 en N = 36, dus A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = € 304,22 per maand.
4De methode stap voor stap
- Teken een tijdlijn. Markeer wat bekend is (een bedrag vandaag, een doel later, gelijke betalingen) en wat je moet vinden.
- Bepaal de rente per periode i = r/m en het aantal perioden N = m · n. Schrijf de rente als decimaal getal.
- Kies de formule: één bedrag (FV of PV) of een reeks gelijke betalingen (annuïteit).
- Bereken. Werk eerst de macht (1 + i)N uit en houd minstens 4 decimalen aan.
- Controleer de grootte van het antwoord: een toekomstige waarde is groter dan de storting, en een contante waarde is kleiner dan het doel.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeldJe belegt € 2000 tegen een nominale rente van 4% per jaar, per kwartaal samengesteld. Bepaal de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
1Eén bedrag gaat vandaag erin. Je wilt de waarde na 3 jaar, dat zijn 12 kwartalen.
2Rente wordt 4 keer per jaar bijgeschreven, dus reken in kwartalen.
i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3Elk kwartaal wordt het saldo met 1,01 vermenigvuldigd.
(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5Met jaarlijkse samenstelling zou je 2000 · 1,04³ = € 2249,73 krijgen. Samenstelling per kwartaal geeft iets meer, omdat rente eerder rente gaat opbrengen. € 2253,65 past.
Antwoord FV ≈ € 2253,65 na 3 jaar.
6Veelgemaakte fouten
- De jaarlijkse rente gebruiken met maand- of kwartaalperioden. Deel de rente door m en vermenigvuldig de jaren met m.
- Enkelvoudige rente gebruiken, PV · (1 + i · n), in plaats van samengestelde rente, PV · (1 + i)n.
- Het aantal perioden verkeerd tellen, bijvoorbeeld 3 in plaats van 36 voor drie jaar maandelijkse betalingen.
- De rente als percentage schrijven: 1,412 in plaats van 1,0412.
- Bij een spaarplan alleen de stortingen optellen. Elke storting levert ook rente op.
Zelftoets Je belegt € 1000 tegen 6% per jaar, maandelijks samengesteld, gedurende 3 jaar. Welke berekening is juist?
- 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
- 1000 · 1,00536 = € 1196,68
- 1000 · 1,0636 = € 8147,25
- 1000 · 1,063 = € 1191,02
Antwoord: 1000 · 1,00536 = € 1196,68. Maandelijkse samenstelling: i = 0,06/12 = 0,005 en N = 36. 1,06 gebruiken voor 36 perioden rekent elke maand 6%. 1,06³ negeert de maandelijkse samenstelling, en 1180 is enkelvoudige rente.
7Hoe tentamenvragen eruitzien
- Makkelijk: toekomstige waarde. Eén storting met jaarlijkse samenstelling: FV = PV · (1 + i)n.
- Gemiddeld: samenstellen en disconteren. Samenstelling per kwartaal of maand, met de vraag naar een toekomstige waarde of de storting die vandaag nodig is.
- Moeilijk: annuïteiten en leningen. De eindwaarde van een maandelijks spaarplan, of de maandelijkse betaling bij een lening.
Zeg altijd wat het getal betekent: “na 3 jaar heb je € 2253,65”.
Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app