NCW & IRR: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: netto contante waarde · interne rentevoet

Gratis oefenopgaven over NCW & IRR met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: gelijke kasstromen, ongelijke kasstromen, interne rentabiliteit.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
jaar0123−20 0009 0009 0009 000

Een project kost vandaag €20 000 en levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €9 000 op. Het vereiste rendement is 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000
€
Volgende opgave →
Oefen NCW & IRR gratisOefen nu NCW & IRRElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkgelijke kasstromen
  2. Gemiddeldongelijke kasstromen
  3. Moeilijkinterne rentabiliteit

Zo los je opgaven over NCW & IRR op

  1. Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
  2. Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
  3. Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
  4. Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

Veelgemaakte fouten

  • De kasstroom van jaar 0 disconteren.
  • De initiële investering vergeten.
  • Kasstromen optellen zonder te disconteren.

Belangrijke formules

Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Leer NCW & IRR vanaf nul

Hiervoor: Tijdswaarde van geld

1Waarom geld van vandaag meer waard is

Wil je liever € 100 vandaag of € 100 over een jaar? Vandaag: je kunt het op de bank zetten en hebt over een jaar meer dan € 100.

Een euro in de toekomst is dus minder waard dan een euro nu. Bedrijven gebruiken dit idee om te beslissen of een investering de moeite waard is.

De netto contante waarde (NCW) beantwoordt één vraag: wat zijn alle geldstromen van een project vandaag waard, na aftrek van wat het kost?

  • NCW groter dan nul: het project levert meer op dan het vereiste rendement. Accepteer het.
  • NCW kleiner dan nul: het geld doet het ergens anders beter. Wijs het af.
Zelftoets Een project heeft een NCW van +€ 500. Wat betekent dat?
  1. De kasstromen tellen op tot € 500
  2. Het levert meer op dan het vereiste rendement
  3. Het levert precies het vereiste rendement op
  4. Het maakt een verlies van € 500

Antwoord: Het levert meer op dan het vereiste rendement. Een positieve NCW betekent dat het project waarde toevoegt bovenop het vereiste rendement. Een NCW van precies nul zou betekenen dat het precies het vereiste rendement oplevert.

2Eén bedrag disconteren

Een toekomstig bedrag terugbrengen naar vandaag heet disconteren. Met een rentevoet r per jaar is een bedrag dat na t jaar wordt ontvangen het volgende waard:

PV = CFt / (1 + r)t

Voorbeeld: € 1100 over een jaar tegen 10% is vandaag 1100/1,10 = € 1000 waard. Controle: € 1000 op de bank tegen 10% groeit in een jaar aan tot € 1100.

Hoe verder weg het geld, hoe groter de macht en hoe kleiner de waarde vandaag.

Schrijf de rentevoet altijd als decimaal getal: 8% is 0,08, dus je deelt door 1,08.

Zelftoets Wat is € 121, over 2 jaar ontvangen, vandaag waard tegen 10% per jaar?
  1. €100
  2. €110
  3. €146,41
  4. €96,80

Antwoord: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = € 100. Maar één keer door 1,10 delen geeft € 110, wat het tweede jaar vergeet.

3NCW stap voor stap

De NCW is de som van alle gedisconteerde kasstromen. De investering in jaar 0 is negatief en wordt niet gedisconteerd, omdat ze al van vandaag is.

NCW = −I0 + CF1/(1 + r) + CF2/(1 + r)² + … + CFn/(1 + r)n
  1. Teken een tijdlijn met elke kasstroom in zijn jaar. Geld uit is negatief, geld in is positief.
  2. Disconteer elke toekomstige kasstroom met zijn eigen macht van (1 + r).
  3. Tel alle contante waarden op, inclusief de −I0 in jaar 0.
  4. Beslis: accepteer als de NCW positief is.

Als de kasstroom elk jaar gelijk is, doet een annuïteitenfactor het hele disconteren in één keer:

PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r

4Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een machine kost vandaag € 9000 en bespaart aan het eind van elk jaar € 3600, 3 jaar lang. Het vereiste rendement is 8%. Bepaal de NCW. Moet het bedrijf hem kopen?

1

Teken de tijdlijn

0123−9000+3600+3600+3600t

Eén betaling nu, drie gelijke bedragen aan het eind van jaar 1, 2 en 3.

2

Disconteer elke kasstroom

3600 / 1,08 = 3333,33
3600 / 1,08² = 3600 / 1,1664 = 3086,42
3600 / 1,08³ = 3600 / 1,259712 = 2857,80
3

Optellen

De besparingen zijn vandaag 3333,33 + 3086,42 + 2857,80 = € 9277,55 waard.

NCW = −9000 + 9277,55 = €277,55
4

Controleer met de annuïteitenfactor

[1 − 1,08−3] / 0,08 = 2,5771
3600 · 2,5771 = 9277,55

Hetzelfde resultaat, in één regel. Gebruik deze snelkoppeling altijd als de kasstromen gelijk zijn.

5

Beslis

De NCW is positief, dus de machine levert meer dan 8% per jaar op. Het bedrijf moet hem kopen.

Antwoord

NCW ≈ € 277,55, dat is positief, dus accepteer de investering.

5De interne rentevoet

De interne rentevoet (IRR) is de rentevoet waarbij de NCW precies nul is. Het is het eigen jaarlijkse rendement van het project.

Hiervoor bestaat geen eenvoudige formule. Je probeert rentevoeten tot de NCW van teken wisselt en interpoleert dan tussen de twee.

In het voorbeeld is de NCW +277,55 bij 8%. Bij 10% is hij 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. De IRR ligt dus tussen 8% en 10%.

IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%

Beslisregel: accepteer als de IRR hoger is dan de vereiste rentevoet. Hier ligt 9,7% boven 8%, hetzelfde antwoord als de NCW gaf.

Zelftoets De NCW van een project is positief bij 8% en negatief bij 12%. Waar ligt zijn IRR?
  1. Boven 12%
  2. Onder 8%
  3. Precies 10%
  4. Tussen 8% en 12%

Antwoord: Tussen 8% en 12%. De IRR is waar de NCW door nul gaat, dus hij ligt tussen de twee rentevoeten waartussen het teken wisselt. Interpolatie geeft een goede schatting, maar het is niet automatisch het midden.

6Veelgemaakte fouten

  • De investering in jaar 0 disconteren. Ze staat al in geld van vandaag.
  • De investering helemaal vergeten en alleen de contante waarde van de inkomsten vermelden.
  • Kasstromen optellen zonder ze eerst te disconteren.
  • Het percentage gebruiken in plaats van het decimale getal: delen door 1,8 in plaats van 1,08.
  • De verkeerde macht gebruiken: een kasstroom in jaar 3 deel je door (1 + r)³, niet door (1 + r).
Zelftoets Een project kost € 5000 en levert na een jaar € 5500 op. De vereiste rentevoet is 12%. Wat is de NCW?
  1. +€4910,71
  2. +€500
  3. −€500
  4. −€89,29

Antwoord: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, en 4910,71 − 5000 = −€ 89,29. De winst van € 500 is niet genoeg voor een rendement van 12%, dus wijs af.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: een investering en gelijke jaarlijkse kasstromen. Gebruik de annuïteitenfactor.
  • Gemiddeld: ongelijke kasstromen. Disconteer elk jaar apart en tel ze op.
  • Moeilijk: bepaal de IRR. Probeer twee rentevoeten, zoek waar de NCW van teken wisselt en interpoleer.

Noem de beslissing altijd in woorden: accepteren of afwijzen, en waarom.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
jaar012345−80 00030 00020 00025 50031 00030 500

Een project kost vandaag €80 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 5 €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 op. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de terugverdientijd PB in jaren.

CF0 = −80 000CF1 = 30 000CF2 = 20 000CF3 = 25 500CF4 = 31 000CF5 = 30 500

Gevraagd: PB (jaar)

Hints tonen
  1. Tel de kasstromen jaar voor jaar op tot het totaal de initiële investering bereikt.
  2. In het laatste jaar is maar een deel van de kasstroom nodig: neem de fractie die nog ontbreekt.
  3. na jaar 3: €75 500.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.

Cumulatieve kasstromen

jaar 1: €30 000
jaar 2: €50 000
jaar 3: €75 500
jaar 4: €106 500

Fractie van het laatste jaar

nog nodig na jaar 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145

Antwoord

PB = 3,145 jaar
Voorbeeld 2Gemiddeld
jaar01234−45 00011 00010 00013 00014 000

Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 12%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 10 000CF3 = 13 000CF4 = 14 000

Gevraagd: NPV (€)

Hints tonen
  1. Zet elke kasstroom terug naar jaar 0 door te delen door (1 + r)ᵗ.
  2. De beginuitgave staat al in jaar 0 en telt negatief.
  3. CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25

Optellen

NPV = €−9 056,24

Antwoord

NPV = €−9 056,24

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

Voorbeeld 3Moeilijk
jaar0123−40 00015 50016 00027 500

Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €15 500, €16 000, €27 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500

Gevraagd: IRR (%)

Hints tonen
  1. De IRR is de disconteringsvoet waarbij de NCW precies nul is.
  2. Probeer twee rentes, een met NPV > 0 en een met NPV < 0, en zoek daartussen verder (of interpoleer).
  3. NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 15 + 5·3 658,26/(3 658,26 − (−57,87)) = 19,92%
exact: NPV(19,92%) = 0 → IRR = 19,92%

Antwoord

IRR = 19,92%

Vragen en antwoorden

NCW & IRR: wat is het?

Wil je liever € 100 vandaag of € 100 over een jaar? Vandaag: je kunt het op de bank zetten en hebt over een jaar meer dan € 100.

Een euro in de toekomst is dus minder waard dan een euro nu. Bedrijven gebruiken dit idee om te beslissen of een investering de moeite waard is.

NCW & IRR: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
  2. Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
  3. Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
  4. Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
NCW & IRR: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De kasstroom van jaar 0 disconteren.
  • De initiële investering vergeten.
  • Kasstromen optellen zonder te disconteren.
NCW & IRR: wat oefen je?
  • Makkelijk: gelijke kasstromen
  • Gemiddeld: ongelijke kasstromen
  • Moeilijk: interne rentabiliteit

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Tijdswaarde van geld

Calculators

Calculator voor NCW en IRRROI berekenen (rendement op investering)Terugverdientijd berekenen (eenvoudig en gedisconteerd)

Vakken met dit onderwerp

OndernemingsfinancieringBeleggingen en waarderingOefenen voor het FE Civil-examenOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Bedrijfskunde & economie

Tijdswaarde van geldObligatiekoers en rendementCAPM en WACCPrijselasticiteit van de vraagEconomische begrippenBreak-evenanalyseFinancial accountingAfschrijvingMarketingprincipes

Printbaar werkblad

Werkblad NCW & IRR met antwoorden
Oefen NCW & IRR gratisOefen nu NCW & IRRElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.