Wartość pieniądza w czasie: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: procent składany · wartość bieżąca · wartość przyszła · dyskontowanie

Darmowe zadania z tematu Wartość pieniądza w czasie z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: wartość przyszła, kapitalizacja i dyskontowanie, renty i kredyty.

Darmowe zadanieŁatwy
lata012n = ?€2 500€7 500

Wpłacasz €2 500 przy oprocentowaniu 5 % rocznie z roczną kapitalizacją (odsetki dopisuje się na koniec każdego roku). Po ilu pełnych latach n saldo po raz pierwszy osiągnie co najmniej €7 500?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%
lata

Całkowita liczba lat.

Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Wartość pieniądza w czasieĆwicz teraz: Wartość pieniądza w czasie5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwywartość przyszła
  2. Średnikapitalizacja i dyskontowanie
  3. Trudnyrenty i kredyty

Jak rozwiązywać zadania: Wartość pieniądza w czasie

  1. Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
  2. Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
  3. Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
  4. Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Typowe błędy

  • Użycie stopy rocznej z okresami miesięcznymi.
  • Użycie oprocentowania prostego zamiast składanego.
  • Błędne policzenie liczby okresów.

Najważniejsze wzory

Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Naucz się tematu Wartość pieniądza w czasie od zera

1Dlaczego pieniądze rosną z czasem

Jeśli wpłacisz 1000 € na konto oszczędnościowe oprocentowane 5% rocznie, po roku masz 1050 €. Dodatkowe 50 € to odsetki.

W drugim roku zarabiasz 5% od 1050 €, a nie od 1000 €. Odsetki wynoszą więc 52,50 €, a saldo 1102,50 €.

Zarabianie odsetek od wcześniejszych odsetek nazywa się procentem składanym. Przy oprocentowaniu prostym zarabiałbyś zawsze tylko 5% od pierwszych 1000 €.

0123€1000€1050€1102,50FV

Ponieważ pieniądze mogą rosnąć w ten sposób, 1000 € dziś jest warte więcej niż 1000 € za trzy lata. To jest wartość pieniądza w czasie.

Każdy plan oszczędzania, pożyczka i kredyt hipoteczny są liczone według tej idei.

Samosprawdzenie Wpłacasz 100 € przy 10% rocznie, z kapitalizacją roczną. Ile będzie na koncie po 2 latach?
  1. €110
  2. €120
  3. €121
  4. €200

Odpowiedź: €121. Rok 1: 100 · 1,10 = 110. Rok 2: 110 · 1,10 = 121. 120 € to oprocentowanie proste: pomija odsetki zarobione od pierwszych 10 € odsetek.

2Wartość przyszła i wartość bieżąca

W każdym okresie saldo mnoży się przez (1 + i), gdzie i to stopa procentowa za okres w postaci ułamka dziesiętnego. Po n okresach:

FV = PV · (1 + i)n

PV (wartość bieżąca) to kwota dziś. FV (wartość przyszła) to kwota po n okresach.

Cofanie się w czasie nazywa się dyskontowaniem. Mówi, ile potrzebujesz dziś, aby osiągnąć cel później:

PV = FV / (1 + i)n

Przykład: aby mieć 1102,50 € za 2 lata przy 5%, potrzebujesz dziś 1102,50 / 1,05² = 1000 €.

Banki często podają roczną stopę nominalną r, ale doliczają odsetki m razy w roku: m = 4 przy kapitalizacji kwartalnej, m = 12 przy miesięcznej. Wtedy liczysz za okres:

i = r / m N = m · n
Samosprawdzenie Stopa 6% rocznie jest kapitalizowana miesięcznie przez 3 lata. Ile wynoszą i oraz N?
  1. i = 0,005 i N = 36
  2. i = 0,005 i N = 3
  3. i = 0,06 i N = 36
  4. i = 0,5 i N = 36

Odpowiedź: i = 0,005 i N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 na miesiąc i N = 12 · 3 = 36 miesięcy. Użycie rocznej wartości 0,06 z 36 miesiącami to najczęstszy błąd: nalicza 6% co miesiąc.

3Renty: równe płatności

Renta (annuitet) to seria równych płatności A na koniec każdego okresu, na przykład 250 € oszczędzane co miesiąc lub miesięczna rata pożyczki.

0123…NAAAAPV

Mógłbyś zakapitalizować lub zdyskontować każdą płatność osobno i dodać wyniki. Wzory na rentę wykonują tę sumę w jednym kroku.

Ile masz na koniec, jeśli co okres odkładasz A:

FV = A · [(1 + i)N − 1] / i

Ile dziś warte są wszystkie płatności:

PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i

Pożyczkę spłaca się rentą: pożyczona kwota P równa się wartości bieżącej płatności. Rozwiąż to względem płatności:

A = P · i / [1 − (1 + i)−N]

Przykład: pożyczka 10 000 € przy 6% rocznie, z kapitalizacją miesięczną, na 3 lata. i = 0,005 i N = 36, więc A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = 304,22 € miesięcznie.

4Metoda krok po kroku

  1. Narysuj oś czasu. Zaznacz, co jest znane (kwota dziś, cel później, równe płatności) i co masz znaleźć.
  2. Znajdź stopę za okres i = r/m i liczbę okresów N = m · n. Stopę zapisz jako ułamek dziesiętny.
  3. Wybierz wzór: pojedyncza kwota (FV lub PV) albo seria równych płatności (renta).
  4. Oblicz. Najpierw policz potęgę (1 + i)N i zachowaj co najmniej 4 miejsca po przecinku.
  5. Sprawdź rząd wielkości wyniku: wartość przyszła jest większa niż wpłata, a wartość bieżąca mniejsza niż cel.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Inwestujesz 2000 € przy stopie nominalnej 4% rocznie, z kapitalizacją kwartalną. Znajdź wartość FV inwestycji po 3 latach.

1

Narysuj oś czasu

012…12€2000FV = ?

Jedna kwota wchodzi dziś. Chcesz poznać jej wartość po 3 latach, czyli po 12 kwartałach.

2

Stopa i liczba okresów

Odsetki są doliczane 4 razy w roku, więc licz w kwartałach.

i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3

Czynnik kapitalizacji

W każdym kwartale saldo mnoży się przez 1,01.

(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4

Wartość przyszła

FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5

Sprawdź wynik

Przy kapitalizacji rocznej dostałbyś 2000 · 1,04³ = 2249,73 €. Kapitalizacja kwartalna daje trochę więcej, bo odsetki wcześniej zaczynają zarabiać odsetki. 2253,65 € pasuje.

Odpowiedź

FV ≈ 2253,65 € po 3 latach.

6Typowe błędy

  • Użycie stopy rocznej z okresami miesięcznymi lub kwartalnymi. Podziel stopę przez m i pomnóż lata przez m.
  • Użycie oprocentowania prostego, PV · (1 + i · n), zamiast składanego, PV · (1 + i)n.
  • Źle policzona liczba okresów, na przykład 3 zamiast 36 dla trzech lat płatności miesięcznych.
  • Zapisanie stopy w procentach: 1,412 zamiast 1,0412.
  • W planie oszczędzania dodanie samych wpłat. Każda wpłata też zarabia odsetki.
Samosprawdzenie Inwestujesz 1000 € przy 6% rocznie, z kapitalizacją miesięczną, przez 3 lata. Które obliczenie jest poprawne?
  1. 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
  2. 1000 · 1,00536 = 1196,68 €
  3. 1000 · 1,0636 = 8147,25 €
  4. 1000 · 1,063 = 1191,02 €

Odpowiedź: 1000 · 1,00536 = 1196,68 €. Kapitalizacja miesięczna: i = 0,06/12 = 0,005 i N = 36. Użycie 1,06 dla 36 okresów nalicza 6% co miesiąc. 1,06³ ignoruje kapitalizację miesięczną, a 1180 to oprocentowanie proste.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: wartość przyszła. Jedna wpłata z kapitalizacją roczną: FV = PV · (1 + i)n.
  • Średnie: kapitalizacja i dyskontowanie. Kapitalizacja kwartalna lub miesięczna, pytanie o wartość przyszłą albo o wpłatę potrzebną dziś.
  • Trudne: renty i pożyczki. Wartość końcowa miesięcznego planu oszczędzania albo miesięczna rata pożyczki.

Zawsze powiedz, co oznacza ta liczba: „po 3 latach masz 2253,65 €”.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
lata012n = ?€1 000€2 500

Wpłacasz €1 000 przy oprocentowaniu 8 % rocznie z roczną kapitalizacją (odsetki dopisuje się na koniec każdego roku). Po ilu pełnych latach n saldo po raz pierwszy osiągnie co najmniej €2 500?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

Oblicz n (lata)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zapisz FV = PV·(1 + i)ⁿ i wyznacz wykładnik n.
  2. Zlogarytmuj obie strony logarytmem naturalnym: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i).
  3. FV/PV = 2,5, ln(2,5) = 0,9163.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Ułóż równanie

1 000·(1 + 0,08)n = 2 500 → (1,08)n = 2,5

Rozwiąż za pomocą logarytmów

n = ln(2,5)/ln(1,08) = 0,9163/0,07696 = 11,91

Zaokrąglij w górę do pełnych lat

Odsetki dopisuje się tylko na koniec każdego roku, więc po 11 latach saldo jest jeszcze poniżej celu.

1 000·1,0811 = €2 331,64 < €2 500
1 000·1,0812 = €2 518,17 ≥ €2 500
n = 12

Odpowiedź

n = 12 lata
Przykład 2Średni
okresy0123411 + EAR = ?22% / 4

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 22 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 22%m = 4

Oblicz EAR (%)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz stopę na okres r/m.
  2. EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1.
  3. r/m = 0,055.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,22/4 = 0,055

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,055)4 − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Odpowiedź

EAR = 23,88%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

Przykład 3Trudny
miesiące01…96…240€250 000AB = ?A3% / 12

Kredyt hipoteczny €250 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 8? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

Oblicz B (€)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz ratę miesięczną A ze wzoru na ratę annuitetową.
  2. Saldo jest równe wartości bieżącej rat, które pozostały do zapłaty.
  3. A = €1 386,49, pozostałe raty: 144.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rata miesięczna

i = 0,0025, N = 240
A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−240) = €1 386,49

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 240 − 96 = 144
B = 1386·(1 − (1 + 0,0025)−144)/0,0025 = €167 494,12

Odpowiedź

B = €167 494,12

Pytania i odpowiedzi

Wartość pieniądza w czasie: co to jest?

Jeśli wpłacisz 1000 € na konto oszczędnościowe oprocentowane 5% rocznie, po roku masz 1050 €. Dodatkowe 50 € to odsetki.

W drugim roku zarabiasz 5% od 1050 €, a nie od 1000 €. Odsetki wynoszą więc 52,50 €, a saldo 1102,50 €.

Wartość pieniądza w czasie: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
  2. Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
  3. Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
  4. Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Wartość pieniądza w czasie: jakie błędy są najczęstsze?
  • Użycie stopy rocznej z okresami miesięcznymi.
  • Użycie oprocentowania prostego zamiast składanego.
  • Błędne policzenie liczby okresów.
Wartość pieniądza w czasie: co ćwiczysz?
  • Łatwy: wartość przyszła
  • Średni: kapitalizacja i dyskontowanie
  • Trudny: renty i kredyty

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

Cena i rentowność obligacjiNPV i IRR

Kalkulatory

Kalkulator procentu składanegoKalkulator raty kredytu

Przedmioty z tym tematem

Finanse przedsiębiorstwInwestycje i wycenaPrzygotowanie do egzaminu FE CivilĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I

Więcej tematów: Biznes i ekonomia

NPV i IRRCena i rentowność obligacjiCAPM i WACCCenowa elastyczność popytuPojęcia ekonomiczneAnaliza progu rentownościRachunkowość finansowaAmortyzacjaPodstawy marketingu

Karta pracy do druku

Wartość pieniądza w czasie: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Wartość pieniądza w czasieĆwicz teraz: Wartość pieniądza w czasie5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.