Inaczej: wartość bieżąca netto · wewnętrzna stopa zwrotu
Darmowe zadania z tematu NPV i IRR z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: równe przepływy, nierówne przepływy, wewnętrzna stopa zwrotu.
Darmowe zadanieŁatwy
Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €9 000 na koniec każdego roku przez 3 lat. Wymagana stopa zwrotu wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Wolisz mieć 100 € dziś czy 100 € za rok? Dziś: możesz włożyć je do banku i za rok mieć więcej niż 100 €.
Euro w przyszłości jest więc warte mniej niż euro teraz. Przedsiębiorstwa wykorzystują tę ideę, by zdecydować, czy inwestycja się opłaca.
Wartość bieżąca netto (NPV) odpowiada na jedno pytanie: ile dziś są warte wszystkie przepływy pieniężne projektu, po odjęciu jego kosztu?
NPV powyżej zera: projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu. Przyjmij go.
NPV poniżej zera: pieniądze lepiej zainwestować gdzie indziej. Odrzuć projekt.
Samosprawdzenie Projekt ma NPV równe +500 €. Co to oznacza?
Jego przepływy pieniężne sumują się do 500 €
Przynosi dokładnie wymaganą stopę zwrotu
Przynosi stratę 500 €
Przynosi więcej niż wymagana stopa zwrotu
Odpowiedź: Przynosi więcej niż wymagana stopa zwrotu. Dodatnie NPV oznacza, że projekt dodaje wartość ponad wymaganą stopę zwrotu. NPV równe dokładnie zero oznaczałoby, że zarabia on tylko wymaganą stopę.
2Dyskontowanie jednej kwoty
Sprowadzenie przyszłej kwoty do dnia dzisiejszego nazywa się dyskontowaniem. Przy stopie r rocznie kwota otrzymana po t latach jest warta:
PV = CFt / (1 + r)t
Przykład: 1100 € za rok przy 10% jest dziś warte 1100/1,10 = 1000 €. Sprawdzenie: 1000 € w banku przy 10% urośnie w ciągu roku do 1100 €.
Im dalej w czasie są pieniądze, tym większa potęga i tym mniejsza dzisiejsza wartość.
Stopę zawsze zapisuj jako ułamek dziesiętny: 8% to 0,08, więc dzielisz przez 1,08.
Samosprawdzenie Ile dziś jest warte 121 € otrzymane za 2 lata przy 10% rocznie?
€100
€110
€146,41
€96,80
Odpowiedź: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = 100 €. Podzielenie przez 1,10 tylko raz daje 110 €, co pomija drugi rok.
3NPV krok po kroku
NPV to suma wszystkich zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Nakład w roku 0 jest ujemny i nie jest dyskontowany, bo jest już „dzisiaj”.
Narysuj oś czasu i umieść każdy przepływ w jego roku. Wydatek jest ujemny, wpływ dodatni.
Zdyskontuj każdy przyszły przepływ jego własną potęgą (1 + r).
Dodaj wszystkie wartości bieżące, razem z −I0 w roku 0.
Zdecyduj: przyjmij projekt, jeśli NPV jest dodatnie.
Gdy przepływ jest taki sam w każdym roku, współczynnik rentowy wykonuje całe dyskontowanie za jednym razem:
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Maszyna kosztuje dziś 9000 € i oszczędza 3600 € na koniec każdego roku przez 3 lata. Wymagana stopa zwrotu wynosi 8%. Znajdź NPV. Czy firma powinna ją kupić?
1
Narysuj oś czasu
Jedna płatność wychodząca teraz i trzy równe wpływy na koniec lat 1, 2 i 3.
2
Zdyskontuj każdy przepływ
3600 / 1,08 = 3333,33
3600 / 1,08² = 3600 / 1,1664 = 3086,42
3600 / 1,08³ = 3600 / 1,259712 = 2857,80
3
Zsumuj
Oszczędności są dziś warte 3333,33 + 3086,42 + 2857,80 = 9277,55 €.
NPV = −9000 + 9277,55 = €277,55
4
Sprawdź za pomocą współczynnika rentowego
[1 − 1,08−3] / 0,08 = 2,5771
3600 · 2,5771 = 9277,55
Ten sam wynik, w jednym wierszu. Używaj tego skrótu zawsze, gdy przepływy są równe.
5
Zdecyduj
NPV jest dodatnie, więc maszyna zarabia więcej niż 8% rocznie. Firma powinna ją kupić.
Odpowiedź
NPV ≈ 277,55 €, czyli wartość dodatnia, więc przyjmij inwestycję.
5Wewnętrzna stopa zwrotu
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV jest dokładnie równe zero. Jest to własny roczny zwrot projektu.
Nie ma na nią prostego wzoru. Próbujesz kolejne stopy, aż NPV zmieni znak, a potem interpolujesz między dwiema.
W przykładzie NPV wynosi +277,55 przy 8%. Przy 10% jest to 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Zatem IRR leży między 8% a 10%.
IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Reguła decyzyjna: przyjmij, gdy IRR jest wyższe niż wymagana stopa. Tutaj 9,7% jest powyżej 8%, czyli tak samo jak wskazało NPV.
Samosprawdzenie NPV projektu jest dodatnie przy 8% i ujemne przy 12%. Gdzie leży jego IRR?
Dokładnie 10%
Między 8% a 12%
Poniżej 8%
Powyżej 12%
Odpowiedź: Między 8% a 12%. IRR to miejsce, w którym NPV przecina zero, więc leży między dwiema stopami, przy których zmienia się znak. Interpolacja daje dobre przybliżenie, ale nie jest to automatycznie środek przedziału.
6Typowe błędy
Dyskontowanie nakładu w roku 0. Jest już wyrażony w dzisiejszych pieniądzach.
Pominięcie nakładu i podanie samej wartości bieżącej wpływów.
Dodawanie przepływów bez wcześniejszego ich zdyskontowania.
Użycie procentu zamiast ułamka dziesiętnego: dzielenie przez 1,8 zamiast przez 1,08.
Użycie złej potęgi: przepływ w roku 3 dzieli się przez (1 + r)³, a nie przez (1 + r).
Samosprawdzenie Projekt kosztuje 5000 € i po roku przynosi 5500 €. Wymagana stopa to 12%. Ile wynosi NPV?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Odpowiedź: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, a 4910,71 − 5000 = −89,29 €. Zysk 500 € nie wystarcza do uzyskania 12% zwrotu, więc odrzuć projekt.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: nakład i równe przepływy roczne. Użyj współczynnika rentowego.
Średnie: nierówne przepływy. Zdyskontuj każdy rok osobno i dodaj je.
Trudne: znajdź IRR. Spróbuj dwóch stóp, znajdź, gdzie NPV zmienia znak, i zinterpoluj.
Zawsze sformułuj decyzję słowami: przyjmij lub odrzuć, i dlaczego.
Projekt kosztuje dziś €80 000 i przynosi €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 na koniec lat od 1 do 5. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz okres zwrotu PB w latach.
Sumuj przepływy rok po roku, aż suma osiągnie nakład początkowy.
W ostatnim roku potrzebna jest tylko część przepływu: weź brakujący ułamek.
po roku 3: €75 500.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Skumulowane przepływy pieniężne
rok 1: €30 000
rok 2: €50 000
rok 3: €75 500
rok 4: €106 500
Ułamek ostatniego roku
brakuje jeszcze po roku 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Odpowiedź
PB = 3,145 lata
Przykład 2Średni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Sprowadź każdy przepływ do roku 0, dzieląc przez (1 + r)ᵗ.
Nakład początkowy jest już w roku 0 i liczy się ze znakiem minus.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Zsumuj
NPV = €−9 056,24
Odpowiedź
NPV = €−9 056,24
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
Przykład 3Trudny
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €15 500, €16 000, €27 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Oblicz IRR(%)
Pokaż podpowiedzi
IRR to stopa dyskontowa, przy której NPV jest dokładnie zero.
Wypróbuj dwie stopy, jedną z NPV > 0 i jedną z NPV < 0, i zawężaj przedział (albo interpoluj między nimi).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wolisz mieć 100 € dziś czy 100 € za rok? Dziś: możesz włożyć je do banku i za rok mieć więcej niż 100 €.
Euro w przyszłości jest więc warte mniej niż euro teraz. Przedsiębiorstwa wykorzystują tę ideę, by zdecydować, czy inwestycja się opłaca.
NPV i IRR: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
NPV i IRR: jakie błędy są najczęstsze?
Dyskontowanie przepływu z roku 0.
Zapominanie o inwestycji początkowej.
Dodawanie przepływów bez dyskontowania.
NPV i IRR: co ćwiczysz?
Łatwy: równe przepływy
Średni: nierówne przepływy
Trudny: wewnętrzna stopa zwrotu
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.