Cena i rentowność obligacji: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Cena i rentowność obligacji z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: kupony roczne, kupony półroczne, rentowność do wykupu.

Darmowe zadanieŁatwy
lata0123…9€40€40€40 + €1 000P = ?

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4%, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 2,5%n = 9
€
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Cena i rentowność obligacjiĆwicz teraz: Cena i rentowność obligacji5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwykupony roczne
  2. Średnikupony półroczne
  3. Trudnyrentowność do wykupu

Jak rozwiązywać zadania: Cena i rentowność obligacji

  1. Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
  2. Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
  3. Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
  4. Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

Typowe błędy

  • Dyskontowanie oprocentowaniem kuponu zamiast rentownością.
  • Zapominanie o wartości nominalnej w terminie wykupu.
  • Mieszanie okresów rocznych i półrocznych.

Najważniejsze wzory

Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada

Naucz się tematu Cena i rentowność obligacji od zera

Wcześniej: Wartość pieniądza w czasie

1Czym jest obligacja

Obligacja to pożyczka, którą można kupować i sprzedawać. Firma lub rząd pożycza pieniądze i w zamian obiecuje stałe płatności.

Typowa obligacja ma wydrukowane trzy liczby:

  • Wartość nominalna F, zwykle 1000 €. Jest zwracana ostatniego dnia, w terminie wykupu.
  • Oprocentowanie kuponu. Co roku obligacja wypłaca ten procent wartości nominalnej jako odsetki, czyli kupon C. Kupon 5% od 1000 € to 50 € rocznie.
  • Termin wykupu n: za ile lat zostanie zwrócona wartość nominalna.
0123CCC + FP

Kupony i wartość nominalna są stałe. Zmienia się cena P, którą inwestorzy płacą dziś. Ta cena zależy od zwrotu, jakiego inwestorzy obecnie oczekują.

Samosprawdzenie Obligacja ma wartość nominalną 1000 € i oprocentowanie kuponu 6%, płatnego raz w roku. Ile wynosi kupon C?
  1. €1060
  2. €600
  3. €60
  4. €6

Odpowiedź: €60. C = 6% wartości nominalnej = 0,06 · 1000 = 60 € rocznie. 1060 € to ostatnia płatność (kupon plus wartość nominalna), a nie kupon.

2Cena i rentowność do terminu wykupu

Rentowność do terminu wykupu (YTM, oznaczana y) to roczny zwrot, jakiego rynek wymaga od obligacji. Jest stopą dyskontową dla wszystkich jej płatności.

Cena to wartość bieżąca wszystkiego, co obligacja wypłaca: kupony tworzą rentę, a wartość nominalna to jedna kwota na końcu.

P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n

Porównaj rentowność z oprocentowaniem kuponu. Powie ci to, jaka będzie odpowiedź, zanim zaczniesz liczyć:

  • Rentowność równa oprocentowaniu kuponu: cena jest dokładnie równa wartości nominalnej, 1000 € (po cenie nominalnej).
  • Rentowność wyższa niż oprocentowanie kuponu: cena jest niższa niż wartość nominalna (dyskonto).
  • Rentowność niższa niż oprocentowanie kuponu: cena jest wyższa niż wartość nominalna (premia).

Ceny obligacji i rentowności zawsze więc zmieniają się w przeciwnych kierunkach. Gdy rentowności rosną, ceny spadają.

Samosprawdzenie Obligacja ma kupon 4%. Rentowność rynkowa wynosi 6%. Gdzie będzie jej cena?
  1. Dokładnie na poziomie wartości nominalnej
  2. Na poziomie wartości nominalnej plus jeden kupon
  3. Poniżej wartości nominalnej
  4. Powyżej wartości nominalnej

Odpowiedź: Poniżej wartości nominalnej. Obligacja płaci tylko 4%, podczas gdy inwestorzy chcą 6%. Kupią ją tylko po niższej cenie, więc sprzedaje się z dyskontem.

3Metoda krok po kroku

  1. Znajdź kupon za okres C, rentowność za okres y i liczbę okresów n.
  2. Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwukrotności liczby lat.
  3. Wartość bieżąca kuponów: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
  4. Wartość bieżąca wartości nominalnej: F / (1 + y)n.
  5. Dodaj obie. Porównaj wynik z oprocentowaniem kuponu: dyskonto czy premia?

Przykład do kroku 2: kupon 6% płatny dwa razy w roku przez 5 lat, przy rentowności 5%, daje C = 30 €, y = 0,025 i n = 10.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Obligacja o wartości nominalnej 1000 € wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 3 lata. Rentowność do terminu wykupu wynosi 6%. Znajdź cenę P obligacji.

1

Narysuj przepływy pieniężne

0123€50€50€50 + €1000P = ?

Kupon wynosi 0,05 · 1000 = 50 € rocznie. W roku 3 obligacja zwraca także 1000 €.

2

Wartości za okres

Kupony są roczne, więc jeden okres to jeden rok.

C = 50 y = 0,06 n = 3
(1,06)−3 = 0,839619
3

Wartość bieżąca kuponów

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65
4

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000 · 0,839619 = 839,62
5

Zsumuj

P = 133,65 + 839,62 = 973,27
6

Sprawdź wynik

Zdyskontuj każdą płatność osobno: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = 973,27 €.

Rentowność (6%) jest wyższa niż oprocentowanie kuponu (5%), więc spodziewasz się ceny poniżej 1000 €.

Odpowiedź

P ≈ 973,27 €, dyskonto, ponieważ rentowność jest wyższa niż oprocentowanie kuponu.

5Wyznaczanie rentowności do terminu wykupu

Czasem dana jest cena i trzeba znaleźć rentowność. Nie ma wzoru na y, więc próbujesz kolejne stopy.

Obligacja z kuponem 4% i 3 latami do wykupu sprzedaje się za 960 €. Sprzedaje się poniżej 1000 €, więc rentowność jest wyższa niż 4%.

  1. Spróbuj 5%: wzór na cenę daje 972,77 €. To wciąż powyżej 960 €, więc rentowność musi być wyższa.
  2. Spróbuj 6%: cena wynosi 946,54 €. Teraz jest poniżej 960 €, więc rentowność leży między 5% a 6%.
  3. Zinterpoluj między dwiema stopami.
y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

Nie myl YTM z rentownością bieżącą, C/P = 40/960 = 4,17%. Rentowność bieżąca pomija zysk 40 € ze wzrostu z 960 € do 1000 € zwróconych w terminie wykupu.

Samosprawdzenie Obligacja sprzedaje się za 1050 €. Jej oprocentowanie kuponu wynosi 5%. Co wiesz o jej rentowności do terminu wykupu?
  1. Jest niższa niż 5%
  2. Jest wyższa niż 5%
  3. Równa się 50/1050 = 4,76%
  4. Wynosi dokładnie 5%

Odpowiedź: Jest niższa niż 5%. Cena jest wyższa niż wartość nominalna (premia), więc rentowność jest niższa niż oprocentowanie kuponu. 4,76% to rentowność bieżąca, która pomija stratę 50 € w terminie wykupu.

6Typowe błędy

  • Dyskontowanie według oprocentowania kuponu zamiast rentowności. Oprocentowanie kuponu ustala tylko wielkość kuponu.
  • Zapomnienie o wartości nominalnej w terminie wykupu albo o kuponach.
  • Dodawanie płatności bez ich zdyskontowania.
  • Mieszanie okresów rocznych i półrocznych: przy kuponach półrocznych zmniejsz o połowę C i y oraz podwój n.
Samosprawdzenie Dwuletnia obligacja ma wartość nominalną 1000 €, roczny kupon 5% i rentowność 6%. Jaka jest jej cena?
  1. €1000
  2. €1100
  3. €981,67
  4. €990,00

Odpowiedź: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = 981,67 €. 1000 € wynika z dyskontowania według oprocentowania kuponu, 1100 € z dodania bez dyskontowania, a 990,00 € z niezdyskontowania kuponów.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: kupony roczne. Znajdź cenę na podstawie wartości nominalnej, oprocentowania kuponu, terminu wykupu i rentowności.
  • Średnie: kupony półroczne. To samo, z połową kuponu, połową rentowności i podwójną liczbą okresów.
  • Trudne: rentowność do terminu wykupu. Cena jest dana. Spróbuj dwóch stóp, a potem zinterpoluj lub użyj kalkulatora.

Zawsze najpierw porównaj rentowność z oprocentowaniem kuponu. Powie ci to, czy cena musi być wyższa, czy niższa niż 1000 €.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
lata0123…10€80€80€80 + €1 000P = ?

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8%, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 8%YTM = 7%n = 10

Oblicz P (€)

Pokaż podpowiedzi
  1. Cena to wartość bieżąca kuponów plus wartość bieżąca wartości nominalnej.
  2. Kupon roczny: €80,00. Dyskontuj rentownością YTM.
  3. (1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Wartość bieżąca kuponów

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5083 = €508,35

Cena

P = €1 070,24

Odpowiedź

P = €1 070,24

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

Przykład 2Średni
lata0123…15P€70€70€70 + €1 000

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 15 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 4% na 3%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%

Oblicz ΔP (€)

Pokaż podpowiedzi
  1. Wyceń obligację przy starej i nowej rentowności.
  2. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
  3. P1 = €1 333,55.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €70,00, i = 0,04, N = 15
€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Cena przy nowej rentowności

C = €70,00, i = 0,03, N = 15
€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Zmiana

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Odpowiedź

ΔP = €143,97
Przykład 3Trudny

Obligacja jest notowana po €930 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 9,5 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 150 punktów bazowych.

P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Oblicz P (€)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zmodyfikowana duration: D mod = D/(1 + y).
  2. Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
  3. %ΔP ≈ −D mod·Δy.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

Zmodyfikowana duration

Dmod = 9,5/1,07 = 8,879

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Odpowiedź

P = €1 053,86

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

Pytania i odpowiedzi

Cena i rentowność obligacji: co to jest?

Typowa obligacja ma wydrukowane trzy liczby:

Kupony i wartość nominalna są stałe. Zmienia się cena P, którą inwestorzy płacą dziś. Ta cena zależy od zwrotu, jakiego inwestorzy obecnie oczekują.

Cena i rentowność obligacji: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
  2. Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
  3. Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
  4. Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
Cena i rentowność obligacji: jakie błędy są najczęstsze?
  • Dyskontowanie oprocentowaniem kuponu zamiast rentownością.
  • Zapominanie o wartości nominalnej w terminie wykupu.
  • Mieszanie okresów rocznych i półrocznych.
Cena i rentowność obligacji: co ćwiczysz?
  • Łatwy: kupony roczne
  • Średni: kupony półroczne
  • Trudny: rentowność do wykupu

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Wartość pieniądza w czasie

Kalkulatory

Kalkulator ceny obligacji

Przedmioty z tym tematem

Finanse przedsiębiorstwInwestycje i wycenaĆwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I

Więcej tematów: Biznes i ekonomia

Wartość pieniądza w czasieNPV i IRRCAPM i WACCCenowa elastyczność popytuPojęcia ekonomiczneAnaliza progu rentownościRachunkowość finansowaAmortyzacjaPodstawy marketingu

Karta pracy do druku

Cena i rentowność obligacji: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Cena i rentowność obligacjiĆwicz teraz: Cena i rentowność obligacji5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.