Preço e rendimento de títulos: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Preço e rendimento de títulos com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: cupons anuais, cupons semestrais, rendimento até o vencimento.

Exercício gratuitoFácil
anos0123…9€40€40€40 + €1 000P = ?

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5%. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4%YTM = 2,5%n = 9
€
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O que você pratica

  1. Fácilcupons anuais
  2. Médiacupons semestrais
  3. Difícilrendimento até o vencimento

Como resolver exercícios de Preço e rendimento de títulos

  1. Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
  2. Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
  3. Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
  4. Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

Erros comuns

  • Descontar à taxa de cupom em vez do rendimento.
  • Esquecer o valor de face no vencimento.
  • Misturar períodos anuais e semestrais.

Fórmulas principais

Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai

Aprenda Preço e rendimento de títulos do zero

Antes disso: Valor temporal do dinheiro

1O que é um título

Um título é um empréstimo que você pode comprar e vender. Uma empresa ou um governo toma dinheiro emprestado e promete pagamentos fixos em troca.

Um título típico tem três números impressos:

  • O valor de face F, em geral €1000. Ele é devolvido no último dia, o vencimento.
  • A taxa de cupom. A cada ano o título paga essa porcentagem do valor de face como juros, o cupom C. Um cupom de 5% sobre €1000 são €50 por ano.
  • O prazo n: quantos anos faltam até o valor de face ser devolvido.
0123CCC + FP

Os cupons e o valor de face são fixos. O que muda é o preço P que os investidores pagam hoje. Esse preço depende do retorno que os investidores querem agora.

Autoavaliação Um título tem valor de face de €1000 e taxa de cupom de 6%, paga uma vez por ano. Qual é o cupom C?
  1. €1060
  2. €600
  3. €60
  4. €6

Resposta: €60. C = 6% do valor de face = 0,06 · 1000 = €60 por ano. €1060 é o último pagamento (cupom mais valor de face), não o cupom.

2Preço e rendimento até o vencimento

O rendimento até o vencimento (YTM, escrito y) é o retorno anual que o mercado exige do título. É a taxa de desconto de todos os seus pagamentos.

O preço é o valor presente de tudo o que o título paga: os cupons formam uma anuidade e o valor de face é um único valor no fim.

P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n

Compare o rendimento com a taxa de cupom. Isso dá a resposta antes de você calcular:

  • Rendimento igual à taxa de cupom: o preço é exatamente o valor de face, €1000 (ao par).
  • Rendimento acima da taxa de cupom: o preço fica abaixo do valor de face (um deságio).
  • Rendimento abaixo da taxa de cupom: o preço fica acima do valor de face (um ágio).

Assim, preços e rendimentos de títulos sempre se movem em sentidos opostos. Quando os rendimentos sobem, os preços caem.

Autoavaliação Um título tem cupom de 4%. O rendimento de mercado é 6%. Onde ficará o seu preço?
  1. Abaixo do valor de face
  2. Acima do valor de face
  3. Exatamente no valor de face
  4. No valor de face mais um cupom

Resposta: Abaixo do valor de face. O título paga apenas 4% enquanto os investidores querem 6%. Eles só o comprarão por um preço menor, então ele é vendido com deságio.

3O método passo a passo

  1. Encontre o cupom por período C, o rendimento por período y e o número de períodos n.
  2. Para cupons semestrais: use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro do número de anos.
  3. Valor presente dos cupons: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
  4. Valor presente do valor de face: F / (1 + y)n.
  5. Some os dois. Compare o resultado com a taxa de cupom: deságio ou ágio?

Exemplo do passo 2: um cupom de 6% pago duas vezes por ano durante 5 anos, com rendimento de 5%, dá C = €30, y = 0,025 e n = 10.

4Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um título com valor de face de €1000 paga um cupom anual de 5% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 6%. Encontre o preço P do título.

1

Desenhe os fluxos de caixa

0123€50€50€50 + €1000P = ?

O cupom é 0,05 · 1000 = €50 por ano. No ano 3 o título também devolve os €1000.

2

Valores por período

Os cupons são anuais, então um período é um ano.

C = 50 y = 0,06 n = 3
(1,06)−3 = 0,839619
3

Valor presente dos cupons

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65
4

Valor presente do valor de face

1000 · 0,839619 = 839,62
5

Somar

P = 133,65 + 839,62 = 973,27
6

Verifique a resposta

Desconte cada pagamento separadamente: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = €973,27.

O rendimento (6%) está acima da taxa de cupom (5%), então é de esperar um preço abaixo de €1000.

Resposta

P ≈ €973,27, um deságio, porque o rendimento está acima da taxa de cupom.

5Encontrando o rendimento até o vencimento

Às vezes o preço é dado e você deve encontrar o rendimento. Não existe fórmula para y, então você testa taxas.

Um título com cupom de 4% e 3 anos até o vencimento é vendido por €960. Ele é vendido abaixo de €1000, então o rendimento é superior a 4%.

  1. Teste 5%: a fórmula do preço dá €972,77. Ainda acima de €960, então o rendimento deve ser maior.
  2. Teste 6%: o preço é €946,54. Agora está abaixo de €960, então o rendimento fica entre 5% e 6%.
  3. Interpole entre as duas taxas.
y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

Não confunda o YTM com o rendimento corrente, C/P = 40/960 = 4,17%. O rendimento corrente ignora o ganho de €40 entre os €960 e os €1000 devolvidos no vencimento.

Autoavaliação Um título é vendido por €1050. Sua taxa de cupom é 5%. O que você sabe sobre o seu rendimento até o vencimento?
  1. Ele é exatamente 5%
  2. Ele é igual a 50/1050 = 4,76%
  3. Ele é inferior a 5%
  4. Ele é superior a 5%

Resposta: Ele é inferior a 5%. O preço está acima do valor de face (um ágio), então o rendimento é inferior à taxa de cupom. 4,76% é o rendimento corrente, que ignora a perda de €50 no vencimento.

6Erros comuns

  • Descontar à taxa de cupom em vez de ao rendimento. A taxa de cupom define apenas o tamanho do cupom.
  • Esquecer o valor de face no vencimento, ou esquecer os cupons.
  • Somar os pagamentos sem descontá-los.
  • Misturar períodos anuais e semestrais: com cupons semestrais divida C e y por dois e dobre n.
Autoavaliação Um título de 2 anos tem valor de face de €1000, cupom anual de 5% e rendimento de 6%. Qual é o seu preço?
  1. €1000
  2. €1100
  3. €981,67
  4. €990,00

Resposta: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = €981,67. €1000 vem de descontar à taxa de cupom, €1100 de somar sem descontar e €990,00 de não descontar os cupons.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: cupons anuais. Encontre o preço a partir do valor de face, da taxa de cupom, do prazo e do rendimento.
  • Médio: cupons semestrais. O mesmo, com metade do cupom, metade do rendimento e o dobro dos períodos.
  • Difícil: rendimento até o vencimento. O preço é dado. Teste duas taxas e depois interpole ou use uma calculadora.

Compare sempre primeiro o rendimento com a taxa de cupom. Isso diz se o preço deve ficar acima ou abaixo de €1000.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
anos0123…10€80€80€80 + €1 000P = ?

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 7%. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 8%YTM = 7%n = 10

Calcule P (€)

Mostrar dicas
  1. O preço é o valor presente dos cupons mais o valor presente do valor de face.
  2. Cupom por ano: €80,00. Desconte ao YTM.
  3. (1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Valor presente dos cupons

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Valor presente do valor de face

€1 000·0,5083 = €508,35

Preço

P = €1 070,24

Resposta

P = €1 070,24

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

Exemplo 2Média
anos0123…15P€70€70€70 + €1 000

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 4% para 3%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%

Calcule ΔP (€)

Mostrar dicas
  1. Calcule o preço do título no rendimento antigo e no rendimento novo.
  2. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
  3. P1 = €1 333,55.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €70,00, i = 0,04, N = 15
€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Preço no rendimento novo

C = €70,00, i = 0,03, N = 15
€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Variação

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Resposta

ΔP = €143,97
Exemplo 3Difícil

Um título é negociado a €930 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 9,5 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 150 pontos-base.

P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Calcule P (€)

Mostrar dicas
  1. Duration modificada: D mod = D/(1 + y).
  2. Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
  3. %ΔP ≈ −D mod·Δy.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

Duration modificada

Dmod = 9,5/1,07 = 8,879

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Resposta

P = €1 053,86

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

Perguntas e respostas

Preço e rendimento de títulos: o que é?

Um título é um empréstimo que você pode comprar e vender. Uma empresa ou um governo toma dinheiro emprestado e promete pagamentos fixos em troca.

Um título típico tem três números impressos:

Preço e rendimento de títulos: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
  2. Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
  3. Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
  4. Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
Preço e rendimento de títulos: quais são os erros mais comuns?
  • Descontar à taxa de cupom em vez do rendimento.
  • Esquecer o valor de face no vencimento.
  • Misturar períodos anuais e semestrais.
Preço e rendimento de títulos: o que se pratica?
  • Fácil: cupons anuais
  • Média: cupons semestrais
  • Difícil: rendimento até o vencimento

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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