Também chamado: valor presente líquido · VPL · taxa interna de retorno
Exercícios grátis de VAL e TIR com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: fluxos iguais, fluxos diferentes, taxa interna de rendibilidade.
Exercício gratuitoFácil
Um projeto custa €20 000 hoje e devolve €9 000 no fim de cada ano durante 3 anos. A rendibilidade exigida é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Você preferiria ter €100 hoje ou €100 daqui a um ano? Hoje: você poderia aplicá-los no banco e ter mais de €100 em um ano.
Então um euro no futuro vale menos que um euro agora. As empresas usam essa ideia para decidir se vale a pena fazer um investimento.
O valor presente líquido (VPL) responde a uma pergunta: quanto valem hoje todos os fluxos de dinheiro de um projeto, depois de pagar por ele?
VPL acima de zero: o projeto rende mais que o retorno exigido. Aceite-o.
VPL abaixo de zero: o dinheiro renderia mais em outro lugar. Rejeite-o.
Autoavaliação Um projeto tem VPL de +€500. O que isso significa?
Ele dá um prejuízo de €500
Ele rende exatamente a taxa exigida
Ele rende mais que a taxa de retorno exigida
Seus fluxos de caixa somam €500
Resposta: Ele rende mais que a taxa de retorno exigida. Um VPL positivo significa que o projeto agrega valor além do retorno exigido. Um VPL exatamente igual a zero significaria que ele rende apenas a taxa exigida.
2Descontando um valor
Trazer um valor futuro de volta para hoje chama-se desconto. Com uma taxa r por ano, um valor recebido depois de t anos vale:
PV = CFt / (1 + r)t
Exemplo: €1100 em um ano a 10% valem 1100/1,10 = €1000 hoje. Verificação: €1000 no banco a 10% crescem para €1100 em um ano.
Quanto mais distante o dinheiro, maior o expoente e menor o seu valor hoje.
Escreva sempre a taxa como decimal: 8% é 0,08, então você divide por 1,08.
Autoavaliação Quanto valem hoje €121 recebidos em 2 anos a 10% ao ano?
€100
€110
€146,41
€96,80
Resposta: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = €100. Dividir por 1,10 apenas uma vez dá €110, o que esquece o segundo ano.
3VPL passo a passo
O VPL é a soma de todos os fluxos de caixa descontados. O investimento no ano 0 é negativo e não é descontado, porque já está em valores de hoje.
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa no seu ano. Dinheiro que sai é negativo, dinheiro que entra é positivo.
Desconte cada fluxo de caixa futuro com a sua própria potência de (1 + r).
Some todos os valores presentes, incluindo o −I0 no ano 0.
Decida: aceite se o VPL for positivo.
Quando o fluxo de caixa é o mesmo todo ano, um fator de anuidade faz todo o desconto de uma só vez:
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Uma máquina custa €9000 hoje e economiza €3600 no fim de cada ano durante 3 anos. A taxa de retorno exigida é de 8%. Encontre o VPL. A empresa deve comprá-la?
1
Desenhe a linha do tempo
Um pagamento que sai agora, três valores iguais que entram no fim dos anos 1, 2 e 3.
2
Desconte cada fluxo de caixa
3600 / 1,08 = 3333,33
3600 / 1,08² = 3600 / 1,1664 = 3086,42
3600 / 1,08³ = 3600 / 1,259712 = 2857,80
3
Somar
As economias valem 3333,33 + 3086,42 + 2857,80 = €9277,55 hoje.
VAL = −9000 + 9277,55 = €277,55
4
Verifique com o fator de anuidade
[1 − 1,08−3] / 0,08 = 2,5771
3600 · 2,5771 = 9277,55
O mesmo resultado, em uma linha. Use esse atalho sempre que os fluxos de caixa forem iguais.
5
Decida
O VPL é positivo, então a máquina rende mais que 8% ao ano. A empresa deve comprá-la.
Resposta
VPL ≈ €277,55, que é positivo, então aceite o investimento.
5A taxa interna de retorno
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa para a qual o VPL é exatamente zero. É o retorno anual do próprio projeto.
Não existe uma fórmula simples para ela. Você testa taxas até o VPL mudar de sinal e depois interpola entre as duas.
No exemplo, o VPL é +277,55 a 8%. A 10% é 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Então a TIR fica entre 8% e 10%.
TIR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Regra de decisão: aceite quando a TIR for maior que a taxa exigida. Aqui 9,7% está acima de 8%, a mesma resposta que o VPL deu.
Autoavaliação O VPL de um projeto é positivo a 8% e negativo a 12%. Onde está a sua TIR?
Abaixo de 8%
Acima de 12%
Entre 8% e 12%
Exatamente 10%
Resposta: Entre 8% e 12%. A TIR é onde o VPL cruza o zero, então ela fica entre as duas taxas em que o sinal muda. A interpolação dá uma boa estimativa, mas não é automaticamente o ponto médio.
6Erros comuns
Descontar o investimento no ano 0. Ele já está em dinheiro de hoje.
Esquecer completamente o investimento e informar apenas o valor presente das entradas.
Somar fluxos de caixa sem descontá-los antes.
Usar a porcentagem em vez do decimal: dividir por 1,8 em vez de 1,08.
Usar a potência errada: um fluxo de caixa no ano 3 é dividido por (1 + r)³, não por (1 + r).
Autoavaliação Um projeto custa €5000 e retorna €5500 depois de um ano. A taxa exigida é de 12%. Qual é o VPL?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Resposta: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71 e 4910,71 − 5000 = −€89,29. O lucro de €500 não basta para atingir um retorno de 12%, então rejeite.
7Como são as questões de prova
Fácil: um investimento e fluxos de caixa anuais iguais. Use o fator de anuidade.
Médio: fluxos de caixa desiguais. Desconte cada ano separadamente e some.
Difícil: encontre a TIR. Teste duas taxas, ache onde o VPL muda de sinal e interpole.
Declare sempre a decisão em palavras: aceitar ou rejeitar, e por quê.
Um projeto custa €80 000 hoje e retorna €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 no final dos anos 1 a 5. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback PB em anos.
Some os fluxos de caixa ano a ano até o total atingir o custo inicial.
No último ano só parte do fluxo de caixa é necessária: tome a fração que ainda falta.
após o ano 3: €75 500.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa acumulados
ano 1: €30 000
ano 2: €50 000
ano 3: €75 500
ano 4: €106 500
Fração do último ano
ainda falta após o ano 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Resposta
PB = 3,145 anos
Exemplo 2Média
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Traga cada fluxo para o ano 0 dividindo por (1 + r)ᵗ.
O custo inicial já está no ano 0 e conta como negativo.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Somar
NPV = €−9 056,24
Resposta
NPV = €−9 056,24
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
Exemplo 3Difícil
Um projeto custa €40 000 e devolve €15 500, €16 000, €27 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Calcule IRR(%)
Mostrar dicas
A TIR é a taxa de desconto que torna o VAL exatamente zero.
Experimente duas taxas, uma com NPV > 0 e outra com NPV < 0, e depois aproxime (ou interpole entre elas).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Você preferiria ter €100 hoje ou €100 daqui a um ano? Hoje: você poderia aplicá-los no banco e ter mais de €100 em um ano.
Então um euro no futuro vale menos que um euro agora. As empresas usam essa ideia para decidir se vale a pena fazer um investimento.
VAL e TIR: como resolver os exercícios passo a passo?
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
VAL e TIR: quais são os erros mais comuns?
Descontar o fluxo de caixa do ano 0.
Esquecer o investimento inicial.
Somar fluxos de caixa sem descontá-los.
VAL e TIR: o que se pratica?
Fácil: fluxos iguais
Média: fluxos diferentes
Difícil: taxa interna de rendibilidade
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.