Valor temporal do dinheiro: exercícios com soluções passo a passo

Q: Valor temporal do dinheiro: o que se pratica?

Fácil: valor futuro Média: capitalização e desconto Difícil: rendas e empréstimos Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Também chamado: juros compostos · valor presente · valor futuro · matemática financeira

Exercícios grátis de Valor temporal do dinheiro com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: valor futuro, capitalização e desconto, rendas e empréstimos.

Exercício gratuitoFácil

Você deposita €2 500 a 5% de juros ao ano, capitalizados anualmente (os juros são creditados no final de cada ano). Depois de quantos anos inteiros n o saldo atinge pela primeira vez pelo menos €7 500?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%

Um número inteiro de anos.

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O que você pratica

Fácilvalor futuro
Médiacapitalização e desconto
Difícilrendas e empréstimos

Como resolver exercícios de Valor temporal do dinheiro

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Erros comuns

Usar a taxa anual com períodos mensais.
Usar juros simples em vez de compostos.
Contar errado o número de períodos.

Fórmulas principais

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Aprenda Valor temporal do dinheiro do zero

1Por que o dinheiro cresce com o tempo

Se você aplica €1000 em uma poupança que paga 5% de juros ao ano, tem €1050 depois de um ano. Os €50 a mais são os juros.

No segundo ano você ganha 5% sobre €1050, não sobre €1000. Então os juros são €52,50 e o saldo passa a ser €1102,50.

Ganhar juros sobre juros anteriores chama-se juros compostos. Com juros simples você ganharia sempre apenas 5% dos primeiros €1000.

Como o dinheiro pode crescer assim, €1000 hoje valem mais que €1000 daqui a três anos. Isso é o valor do dinheiro no tempo.

Todo plano de poupança, empréstimo e financiamento é calculado com essa ideia.

Autoavaliação Você deposita €100 a 10% ao ano, com capitalização anual. Quanto há na conta depois de 2 anos?

€110
€120
€121
€200

Resposta: €121. Ano 1: 100 · 1,10 = 110. Ano 2: 110 · 1,10 = 121. €120 seria juros simples: esquece os juros ganhos sobre os primeiros €10 de juros.

2Valor futuro e valor presente

A cada período o saldo é multiplicado por (1 + i), em que i é a taxa de juros por período em forma decimal. Depois de n períodos:

FV = PV · (1 + i)ⁿ

PV (valor presente) é o valor hoje. FV (valor futuro) é o valor depois de n períodos.

Fazer o caminho inverso chama-se desconto. Ele diz quanto você precisa ter hoje para atingir uma meta mais tarde:

PV = FV / (1 + i)ⁿ

Exemplo: para ter €1102,50 em 2 anos a 5%, você precisa de 1102,50 / 1,05² = €1000 hoje.

Os bancos costumam informar uma taxa nominal anual r, mas somam os juros m vezes por ano: m = 4 para trimestral, m = 12 para mensal. Então você trabalha por período:

i = r / m N = m · n

Autoavaliação Uma taxa de 6% ao ano é capitalizada mensalmente por 3 anos. Quais são i e N?

i = 0,005 e N = 36
i = 0,005 e N = 3
i = 0,06 e N = 36
i = 0,5 e N = 36

Resposta: i = 0,005 e N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 por mês e N = 12 · 3 = 36 meses. Usar o 0,06 anual com 36 meses é o erro mais comum: conta 6% todo mês.

3Anuidades: pagamentos iguais

Uma anuidade é uma série de pagamentos iguais A no fim de cada período, por exemplo €250 poupados por mês ou a prestação mensal de um empréstimo.

Você poderia capitalizar ou descontar cada pagamento separadamente e somar tudo. As fórmulas de anuidade fazem essa soma de uma só vez.

O que você tem no fim se poupar A a cada período:

FV = A · [(1 + i)^N − 1] / i

Quanto valem hoje todos os pagamentos:

PV = A · [1 − (1 + i)^−N] / i

Um empréstimo é pago com uma anuidade: o valor emprestado P é igual ao valor presente dos pagamentos. Resolva isso para o pagamento:

A = P · i / [1 − (1 + i)^−N]

Exemplo: €10 000 emprestados a 6% ao ano, capitalizados mensalmente, ao longo de 3 anos. i = 0,005 e N = 36, então A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = €304,22 por mês.

4O método passo a passo

Desenhe uma linha do tempo. Marque o que é conhecido (um valor hoje, uma meta mais tarde, pagamentos iguais) e o que você deve encontrar.
Encontre a taxa por período i = r/m e o número de períodos N = m · n. Escreva a taxa em forma decimal.
Escolha a fórmula: um único valor (FV ou PV) ou uma série de pagamentos iguais (anuidade).
Calcule. Resolva primeiro a potência (1 + i)^N e mantenha pelo menos 4 casas decimais.
Verifique a ordem de grandeza da resposta: um valor futuro é maior que o depósito, e um valor presente é menor que a meta.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Você investe €2000 a uma taxa nominal de 4% ao ano, capitalizada trimestralmente. Encontre o valor FV do investimento depois de 3 anos.

Desenhe a linha do tempo

Um valor entra hoje. Você quer o seu valor depois de 3 anos, que são 12 trimestres.

Taxa e número de períodos

Os juros são somados 4 vezes por ano, então trabalhe em trimestres.

i = 0,04 / 4 = 0,01

N = 4 · 3 = 12

Fator de capitalização

A cada trimestre o saldo é multiplicado por 1,01.

(1 + i)^N = 1,01¹² = 1,126825

Valor futuro

FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65

Verifique a resposta

Com capitalização anual você obteria 2000 · 1,04³ = €2249,73. A capitalização trimestral dá um pouco mais, porque os juros começam a render juros mais cedo. €2253,65 é coerente.

Resposta

FV ≈ €2253,65 depois de 3 anos.

6Erros comuns

Usar a taxa anual com períodos mensais ou trimestrais. Divida a taxa por m e multiplique os anos por m.
Usar juros simples, PV · (1 + i · n), em vez de juros compostos, PV · (1 + i)ⁿ.
Contar errado o número de períodos, por exemplo 3 em vez de 36 para três anos de pagamentos mensais.
Escrever a taxa como porcentagem: 1,4¹² em vez de 1,04¹².
Em um plano de poupança, somar apenas os depósitos. Cada depósito também rende juros.

Autoavaliação Você investe €1000 a 6% ao ano, capitalizados mensalmente, por 3 anos. Qual cálculo está correto?

1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
1000 · 1,005³⁶ = €1196,68
1000 · 1,06³⁶ = €8147,25
1000 · 1,06³ = €1191,02

Resposta: 1000 · 1,005³⁶ = €1196,68. Capitalização mensal: i = 0,06/12 = 0,005 e N = 36. Usar 1,06 para 36 períodos cobra 6% todo mês. 1,06³ ignora a capitalização mensal, e 1180 é juros simples.

7Como são as questões de prova

Fácil: valor futuro. Um depósito com capitalização anual: FV = PV · (1 + i)ⁿ.
Médio: capitalização e desconto. Capitalização trimestral ou mensal, pedindo um valor futuro ou o depósito necessário hoje.
Difícil: anuidades e empréstimos. O valor final de um plano de poupança mensal, ou a prestação mensal de um empréstimo.

Diga sempre o que o número significa: “depois de 3 anos você tem €2253,65”.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil

Você deposita €1 000 a 8% de juros ao ano, capitalizados anualmente (os juros são creditados no final de cada ano). Depois de quantos anos inteiros n o saldo atinge pela primeira vez pelo menos €2 500?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

Calcule n (anos)

Mostrar dicas

Escreva FV = PV·(1 + i)ⁿ e resolva para o expoente n.
Tome o logaritmo natural dos dois lados: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i).
FV/PV = 2,5, ln(2,5) = 0,9163.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Montar a equação

1 000·(1 + 0,08)ⁿ = 2 500 → (1,08)ⁿ = 2,5

Resolver com logaritmos

n = ln(2,5)/ln(1,08) = 0,9163/0,07696 = 11,91

Arredonde para cima até anos inteiros

Os juros só são creditados no final de cada ano, então após 11 anos o saldo ainda está abaixo da meta.

1 000·1,08¹¹ = €2 331,64 < €2 500

1 000·1,08¹² = €2 518,17 ≥ €2 500

n = 12

Resposta

n = 12 anos

Exemplo 2Média

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 22% ao ano, capitalizada trimestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 22%m = 4

Calcule EAR (%)

Mostrar dicas

Primeiro encontre a taxa por período r/m.
EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1.
r/m = 0,055.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Taxa por período

r/m = 0,22/4 = 0,055

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,055)⁴ − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Resposta

EAR = 23,88%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

Exemplo 3Difícil

Um financiamento imobiliário de €250 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 8? Encontre o saldo devedor B.

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

Calcule B (€)

Mostrar dicas

Primeiro encontre a prestação mensal A com a fórmula da anuidade.
O saldo é igual ao valor presente das prestações que ainda faltam.
A = €1 386,49, prestações restantes: 144.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Prestação mensal

i = 0,0025, N = 240

A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €1 386,49

Valor presente das prestações restantes

O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.

N − k = 240 − 96 = 144

B = 1386·(1 − (1 + 0,0025)⁻¹⁴⁴)/0,0025 = €167 494,12

Resposta

B = €167 494,12

Perguntas e respostas

Valor temporal do dinheiro: o que é?

Se você aplica €1000 em uma poupança que paga 5% de juros ao ano, tem €1050 depois de um ano. Os €50 a mais são os juros.

No segundo ano você ganha 5% sobre €1050, não sobre €1000. Então os juros são €52,50 e o saldo passa a ser €1102,50.

Valor temporal do dinheiro: como resolver os exercícios passo a passo?

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Valor temporal do dinheiro: quais são os erros mais comuns?

Usar a taxa anual com períodos mensais.
Usar juros simples em vez de compostos.
Contar errado o número de períodos.

Valor temporal do dinheiro: o que se pratica?

Fácil: valor futuro
Média: capitalização e desconto
Difícil: rendas e empréstimos

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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