Ціна й дохідність облігацій: задачі з покроковими розв’язками
Безкоштовні задачі з теми Ціна й дохідність облігацій з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: щорічні купони, піврічні купони, дохідність до погашення.
Безкоштовна задачаЛегка
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 2,5%. Знайдіть ціну облігації P.
Облігація — це позика, яку можна купувати й продавати. Компанія чи уряд позичає гроші й обіцяє натомість фіксовані платежі.
На типовій облігації надруковано три числа:
Номінальна вартість F, зазвичай €1000. Її повертають в останній день — на погашення.
Купонна ставка. Щороку облігація виплачує цей відсоток від номіналу як відсотки — купон C. Купон 5% на €1000 — це €50 на рік.
Строк погашення n: через скільки років повертають номінал.
Купони й номінал фіксовані. Змінюється ціна P, яку інвестори платять сьогодні. Ця ціна залежить від дохідності, якої інвестори хочуть зараз.
Самоперевірка Облігація має номінал €1000 і купонну ставку 6%, що виплачується раз на рік. Чому дорівнює купон C?
€1060
€600
€60
€6
Відповідь: €60. C = 6% від номіналу = 0,06 · 1000 = €60 на рік. €1060 — це останній платіж (купон плюс номінал), а не купон.
2Ціна й дохідність до погашення
Дохідність до погашення (YTM, позначається y) — це річна дохідність, яку ринок вимагає від облігації. Це ставка дисконтування для всіх її платежів.
Ціна — це приведена вартість усього, що виплачує облігація: купони утворюють ануїтет, а номінал — одну суму наприкінці.
P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n
Порівняйте дохідність із купонною ставкою. Це підкаже відповідь ще до обчислення:
Дохідність дорівнює купонній ставці: ціна точно дорівнює номіналу, €1000 (за номіналом).
Дохідність вища за купонну ставку: ціна нижча за номінал (дисконт).
Дохідність нижча за купонну ставку: ціна вища за номінал (премія).
Отже, ціни облігацій і дохідності завжди рухаються в протилежних напрямах. Коли дохідність зростає, ціни падають.
Самоперевірка Облігація має купон 4%. Ринкова дохідність — 6%. Де буде її ціна?
Вище за номінал
На рівні номіналу плюс один купон
Нижче за номінал
Точно на рівні номіналу
Відповідь: Нижче за номінал. Облігація виплачує лише 4%, тоді як інвестори хочуть 6%. Вони куплять її лише за нижчою ціною, тож вона продається з дисконтом.
3Метод крок за кроком
Знайдіть купон за період C, дохідність за період y і кількість періодів n.
Для піврічних (напіврічних) купонів: беріть половину купона, половину дохідності та подвійну кількість років.
Приведена вартість купонів: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
Приведена вартість номіналу: F / (1 + y)n.
Додайте обидві. Порівняйте результат із купонною ставкою: дисконт чи премія?
Приклад кроку 2: купон 6%, що виплачується двічі на рік протягом 5 років, за дохідності 5% дає C = €30, y = 0,025 і n = 10.
4Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Облігація з номіналом €1000 виплачує щорічний купон 5% і погашається через 3 роки. Дохідність до погашення — 6%. Знайдіть ціну P облігації.
1
Накресліть грошові потоки
Купон дорівнює 0,05 · 1000 = €50 на рік. На 3-му році облігація також повертає €1000.
Не плутайте YTM із поточною дохідністю, C/P = 40/960 = 4,17%. Поточна дохідність ігнорує приріст €40 від €960 до €1000, які повертають на погашення.
Самоперевірка Облігація продається за €1050. Її купонна ставка — 5%. Що ви знаєте про її дохідність до погашення?
Вона вища за 5%
Вона дорівнює 50/1050 = 4,76%
Вона нижча за 5%
Вона точно 5%
Відповідь: Вона нижча за 5%. Ціна вища за номінал (премія), тож дохідність нижча за купонну ставку. 4,76% — це поточна дохідність, яка ігнорує втрату €50 на погашення.
6Типові помилки
Дисконтувати за купонною ставкою замість дохідності. Купонна ставка лише задає розмір купона.
Забути номінал на погашення або забути купони.
Додавати платежі без дисконтування.
Плутати річні й піврічні періоди: за піврічних купонів ділять C і y навпіл, а n подвоюють.
Самоперевірка 2-річна облігація має номінал €1000, річний купон 5% і дохідність 6%. Яка її ціна?
€1000
€1100
€981,67
€990,00
Відповідь: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = €981,67. €1000 виходить при дисконтуванні за купонною ставкою, €1100 — при додаванні без дисконтування, а €990,00 — коли купони не дисконтують.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкі: річні купони. Знайдіть ціну за номіналом, купонною ставкою, строком погашення й дохідністю.
Середні: піврічні купони. Те саме, з половиною купона, половиною дохідності й подвійною кількістю періодів.
Складні: дохідність до погашення. Ціна задана. Спробуйте дві ставки, потім проінтерполюйте або скористайтеся калькулятором.
Завжди спершу порівнюйте дохідність із купонною ставкою. Це підкаже, чи ціна має бути вищою, чи нижчою за €1000.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 7%. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 7%n = 10
Знайти: P(€)
Показати підказки
Ціна дорівнює теперішній вартості купонів плюс теперішня вартість номіналу.
Купон за рік: €80,00. Дисконтуйте за YTM.
(1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €80,00, i = 0,07, N = 10
Теперішня вартість купонів
€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5083 = €508,35
Ціна
P = €1 070,24
Відповідь
P = €1 070,24
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
Приклад 2Середня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 15 років. Її дохідність до погашення змінюється з 4% до 3%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%
Знайти: ΔP(€)
Показати підказки
Оцініть облігацію за старої дохідності й за нової дохідності.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P1 = €1 333,55.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Облігація торгується за €930 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 9,5 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 150 базисних пунктів.
P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp
Знайти: P(€)
Показати підказки
Модифікована дюрація: D mod = D/(1 + y).
Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 9,5/1,07 = 8,879
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86
Відповідь
P = €1 053,86
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
Запитання й відповіді
Ціна й дохідність облігацій: що це?
На типовій облігації надруковано три числа:
Купони й номінал фіксовані. Змінюється ціна P, яку інвестори платять сьогодні. Ця ціна залежить від дохідності, якої інвестори хочуть зараз.
Ціна й дохідність облігацій: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
Ціна й дохідність облігацій: які помилки найпоширеніші?
Дисконтують за купонною ставкою замість дохідності.
Забувають номінал при погашенні.
Плутають річні й піврічні періоди.
Ціна й дохідність облігацій: що ви тренуєте?
Легка: щорічні купони
Середня: піврічні купони
Складна: дохідність до погашення
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.