Інші назви: чиста приведена вартість · внутрішня норма дохідності
Безкоштовні задачі з теми NPV і IRR з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: рівні грошові потоки, нерівні грошові потоки, внутрішня норма дохідності.
Безкоштовна задачаЛегка
Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €9 000 наприкінці кожного року протягом 3 років. Необхідна дохідність — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Ви хотіли б отримати €100 сьогодні чи €100 через рік? Сьогодні: можна покласти їх у банк і через рік мати більше за €100.
Отже, євро в майбутньому коштує менше, ніж євро зараз. Підприємства користуються цією ідеєю, щоб вирішити, чи варто інвестувати.
Чиста приведена вартість (NPV) відповідає на одне запитання: скільки сьогодні варті всі грошові потоки проєкту після того, як за нього заплачено?
NPV більша за нуль: проєкт приносить більше за необхідну дохідність. Приймайте його.
NPV менша за нуль: гроші краще працюватимуть деінде. Відхиліть його.
Самоперевірка Проєкт має NPV +€500. Що це означає?
Він дає збиток €500
Він дає рівно необхідну норму
Він приносить більше за необхідну норму дохідності
Його грошові потоки в сумі дають €500
Відповідь: Він приносить більше за необхідну норму дохідності. Додатна NPV означає, що проєкт додає вартість понад необхідну дохідність. NPV, що дорівнює нулю, означала б, що він приносить лише необхідну норму.
2Дисконтування однієї суми
Приведення майбутньої суми до сьогодення називають дисконтуванням. За ставки r на рік сума, отримана через t років, коштує:
PV = CFt / (1 + r)t
Приклад: €1100 через рік за 10% варті 1100/1,10 = €1000 сьогодні. Перевірка: €1000 у банку під 10% виростуть до €1100 за рік.
Чим далі гроші, тим більший степінь і менша їхня вартість сьогодні.
Завжди записуйте ставку десятковим дробом: 8% — це 0,08, тож ділите на 1,08.
Самоперевірка Скільки сьогодні коштують €121, отримані через 2 роки, за 10% на рік?
€100
€110
€146,41
€96,80
Відповідь: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = €100. Якщо поділити на 1,10 лише раз, вийде €110: другий рік забуто.
3NPV крок за кроком
NPV — це сума всіх дисконтованих грошових потоків. Інвестиція в році 0 від’ємна й не дисконтується, бо вона вже сьогодні.
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком у його році. Гроші з витрат — від’ємні, надходження — додатні.
Дисконтуйте кожен майбутній грошовий потік його власним степенем (1 + r).
Додайте всі приведені вартості, зокрема −I0 у році 0.
Вирішіть: приймайте, якщо NPV додатна.
Коли грошовий потік щороку однаковий, коефіцієнт ануїтету виконує все дисконтування за один раз:
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Верстат коштує €9000 сьогодні й економить €3600 наприкінці кожного року протягом 3 років. Необхідна норма дохідності — 8%. Знайдіть NPV. Чи варто компанії його купувати?
1
Накресліть часову шкалу
Один платіж зараз, три рівні надходження наприкінці років 1, 2 і 3.
Той самий результат, в один рядок. Користуйтеся цим скороченням, коли грошові потоки рівні.
5
Вирішіть
NPV додатна, тож верстат приносить понад 8% на рік. Компанії варто його купити.
Відповідь
NPV ≈ €277,55, що додатно, тож інвестицію приймаємо.
5Внутрішня норма дохідності
Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV дорівнює нулю. Це власна річна дохідність проєкту.
Простої формули для неї немає. Ви пробуєте ставки, доки NPV не змінить знак, потім інтерполюєте між двома.
У прикладі NPV дорівнює +277,55 за 8%. За 10% вона становить 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Отже, IRR лежить між 8% і 10%.
IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Правило рішення: приймайте, коли IRR вища за необхідну ставку. Тут 9,7% вище за 8%, така сама відповідь, як дала NPV.
Самоперевірка NPV проєкту додатна за 8% і від’ємна за 12%. Де лежить його IRR?
Вище за 12%
Між 8% і 12%
Нижче за 8%
Рівно 10%
Відповідь: Між 8% і 12%. IRR — це точка, де NPV перетинає нуль, тож вона лежить між двома ставками, де змінюється знак. Інтерполяція дає добру оцінку, але це не обов’язково середина.
6Типові помилки
Дисконтувати інвестицію в році 0. Вона вже виражена в сьогоднішніх грошах.
Взагалі забути про інвестицію й назвати лише приведену вартість надходжень.
Додавати грошові потоки, не дисконтувавши їх.
Використовувати відсоток замість десяткового дробу: ділити на 1,8 замість 1,08.
Брати хибний степінь: грошовий потік у році 3 ділять на (1 + r)³, а не на (1 + r).
Самоперевірка Проєкт коштує €5000 і через рік повертає €5500. Необхідна ставка — 12%. Яка NPV?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Відповідь: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, а 4910,71 − 5000 = −€89,29. Прибутку €500 недостатньо для дохідності 12%, тож відхиліть.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкі: інвестиція й рівні річні грошові потоки. Скористайтеся коефіцієнтом ануїтету.
Середні: нерівні грошові потоки. Дисконтуйте кожен рік окремо й додайте.
Складні: знайдіть IRR. Спробуйте дві ставки, знайдіть, де NPV змінює знак, й інтерполюйте.
Завжди формулюйте рішення словами: прийняти чи відхилити й чому.
Проєкт коштує сьогодні €80 000 і приносить €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 наприкінці років з 1 по 5. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть строк окупності PB у роках.
Додавайте грошові потоки рік за роком, доки сума не досягне початкових витрат.
В останньому році потрібна лише частина грошового потоку: візьміть частку, якої ще бракує.
після року 3: €75 500.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Накопичені грошові потоки
рік 1: €30 000
рік 2: €50 000
рік 3: €75 500
рік 4: €106 500
Частка останнього року
ще потрібно після року 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Відповідь
PB = 3,145 роки
Приклад 2Середня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Приведіть кожен грошовий потік до року 0, поділивши на (1 + r)ᵗ.
Початкові витрати вже в році 0 і враховуються зі знаком мінус.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Додайте
NPV = €−9 056,24
Відповідь
NPV = €−9 056,24
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
Приклад 3Складна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €15 500, €16 000, €27 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Знайти: IRR(%)
Показати підказки
IRR — це ставка дисконтування, за якої NPV дорівнює точно нулю.
Спробуйте дві ставки, одну з NPV > 0 та одну з NPV < 0, і звужуйте проміжок (або інтерполюйте між ними).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ви хотіли б отримати €100 сьогодні чи €100 через рік? Сьогодні: можна покласти їх у банк і через рік мати більше за €100.
Отже, євро в майбутньому коштує менше, ніж євро зараз. Підприємства користуються цією ідеєю, щоб вирішити, чи варто інвестувати.
NPV і IRR: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
NPV і IRR: які помилки найпоширеніші?
Дисконтують грошовий потік року 0.
Забувають початкову інвестицію.
Додають грошові потоки без дисконтування.
NPV і IRR: що ви тренуєте?
Легка: рівні грошові потоки
Середня: нерівні грошові потоки
Складна: внутрішня норма дохідності
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.