Вартість грошей у часі: задачі з покроковими розв’язками

Q: Вартість грошей у часі: що ви тренуєте?

Легка: майбутня вартість Середня: нарощення і дисконтування Складна: ануїтети і кредити Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: дисконтування · складні відсотки · теперішня вартість · майбутня вартість

Безкоштовні задачі з теми Вартість грошей у часі з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: майбутня вартість, нарощення і дисконтування, ануїтети і кредити.

Безкоштовна задачаЛегка

Ви вносите €2 500 під 5 % річних із щорічною капіталізацією (відсотки нараховуються наприкінці кожного року). Через скільки повних років n залишок уперше досягне щонайменше €7 500?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%

Ціла кількість років.

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Вартість грошей у часі Тренуйтеся зараз: Вартість грошей у часіБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкамайбутня вартість
Середнянарощення і дисконтування
Складнаануїтети і кредити

Як розв’язувати задачі на тему «Вартість грошей у часі»

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Типові помилки

Використовують річну ставку з місячними періодами.
Використовують прості відсотки замість складних.
Неправильно рахують кількість періодів.

Основні формули

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Вивчайте тему «Вартість грошей у часі» з нуля

1Чому гроші зростають з часом

Якщо покласти €1000 на ощадний рахунок із 5% річних, через рік буде €1050. Додаткові €50 — це відсотки.

На другий рік ви заробляєте 5% на €1050, а не на €1000. Тож відсотки становлять €52,50, а залишок — €1102,50.

Отримання відсотків на попередні відсотки називають складними відсотками. За простих відсотків ви завжди заробляли б лише 5% від перших €1000.

Оскільки гроші можуть так зростати, €1000 сьогодні вартують більше, ніж €1000 через три роки. Це часова вартість грошей.

Кожен план заощаджень, кредит та іпотеку розраховують за цією ідеєю.

Самоперевірка Ви вносите €100 під 10% річних зі щорічною капіталізацією. Скільки буде на рахунку через 2 роки?

€110
€120
€121
€200

Відповідь: €121. Рік 1: 100 · 1,10 = 110. Рік 2: 110 · 1,10 = 121. €120 — це прості відсотки: вони не враховують відсотки, нараховані на перші €10 відсотків.

2Майбутня й приведена вартість

Кожного періоду залишок множиться на (1 + i), де i — відсоткова ставка за період у вигляді десяткового дробу. Через n періодів:

FV = PV · (1 + i)ⁿ

PV (приведена вартість) — це сума сьогодні. FV (майбутня вартість) — це сума через n періодів.

Рух у зворотний бік називають дисконтуванням. Він показує, скільки потрібно сьогодні, щоб досягти цілі згодом:

PV = FV / (1 + i)ⁿ

Приклад: щоб мати €1102,50 через 2 роки за 5%, потрібно сьогодні 1102,50 / 1,05² = €1000.

Банки часто вказують річну номінальну ставку r, але нараховують відсотки m разів на рік: m = 4 для щоквартального і m = 12 для щомісячного. Тоді рахуйте за періодами:

i = r / m N = m · n

Самоперевірка Ставку 6% річних капіталізують щомісяця протягом 3 років. Чому дорівнюють i та N?

i = 0,005 і N = 36
i = 0,005 і N = 3
i = 0,06 і N = 36
i = 0,5 і N = 36

Відповідь: i = 0,005 і N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 за місяць і N = 12 · 3 = 36 місяців. Найчастіша помилка — взяти річні 0,06 із 36 місяцями: це нараховує 6% щомісяця.

3Ануїтети: рівні платежі

Ануїтет — це ряд рівних платежів A наприкінці кожного періоду, наприклад €250, що відкладаються щомісяця, або щомісячний платіж за кредитом.

Можна було б окремо капіталізувати чи дисконтувати кожен платіж і додати їх. Формули ануїтету виконують цю суму одним кроком.

Що ви матимете наприкінці, якщо відкладаєте A кожного періоду:

FV = A · [(1 + i)^N − 1] / i

Скільки сьогодні варті всі платежі:

PV = A · [1 − (1 + i)^−N] / i

Кредит погашають ануїтетом: позичена сума P дорівнює приведеній вартості платежів. Розв’яжіть це відносно платежу:

A = P · i / [1 − (1 + i)^−N]

Приклад: €10 000 позичено під 6% річних зі щомісячною капіталізацією на 3 роки. i = 0,005 і N = 36, тож A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = €304,22 на місяць.

4Метод крок за кроком

Накресліть часову шкалу. Позначте, що відомо (сума сьогодні, ціль згодом, рівні платежі) і що треба знайти.
Знайдіть ставку за період i = r/m і кількість періодів N = m · n. Запишіть ставку десятковим дробом.
Виберіть формулу: одна сума (FV або PV) чи ряд рівних платежів (ануїтет).
Обчисліть. Спершу знайдіть степінь (1 + i)^N і залиште щонайменше 4 знаки після коми.
Перевірте порядок відповіді: майбутня вартість більша за внесок, а приведена вартість менша за ціль.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Ви інвестуєте €2000 під номінальну ставку 4% річних зі щоквартальною капіталізацією. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 роки.

Накресліть часову шкалу

Одна сума вкладається сьогодні. Потрібна її вартість через 3 роки, тобто 12 кварталів.

Ставка і кількість періодів

Відсотки нараховують 4 рази на рік, тож рахуйте кварталами.

i = 0,04 / 4 = 0,01

N = 4 · 3 = 12

Коефіцієнт нарощення

Щокварталу залишок множиться на 1,01.

(1 + i)^N = 1,01¹² = 1,126825

Майбутня вартість

FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65

Перевірте відповідь

З річною капіталізацією ви отримали б 2000 · 1,04³ = €2249,73. Щоквартальна капіталізація дає трохи більше, бо відсотки починають приносити відсотки раніше. €2253,65 підходить.

Відповідь

FV ≈ €2253,65 через 3 роки.

6Типові помилки

Використовувати річну ставку з місячними чи квартальними періодами. Поділіть ставку на m і помножте роки на m.
Використовувати прості відсотки, PV · (1 + i · n), замість складних, PV · (1 + i)ⁿ.
Неправильно рахувати кількість періодів, наприклад 3 замість 36 для трьох років щомісячних платежів.
Записувати ставку у відсотках: 1,4¹² замість 1,04¹².
Для плану заощаджень просто додавати внески. Кожен внесок теж приносить відсотки.

Самоперевірка Ви інвестуєте €1000 під 6% річних зі щомісячною капіталізацією на 3 роки. Який розрахунок правильний?

1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
1000 · 1,005³⁶ = €1196,68
1000 · 1,06³⁶ = €8147,25
1000 · 1,06³ = €1191,02

Відповідь: 1000 · 1,005³⁶ = €1196,68. Щомісячна капіталізація: i = 0,06/12 = 0,005 і N = 36. Використання 1,06 для 36 періодів нараховує 6% щомісяця. 1,06³ ігнорує щомісячну капіталізацію, а 1180 — це прості відсотки.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легкі: майбутня вартість. Один внесок із річною капіталізацією: FV = PV · (1 + i)ⁿ.
Середні: капіталізація й дисконтування. Щоквартальна чи щомісячна капіталізація, потрібно знайти майбутню вартість або внесок, потрібний сьогодні.
Складні: ануїтети й кредити. Кінцева вартість щомісячного плану заощаджень або щомісячний платіж за кредитом.

Завжди кажіть, що означає число: «через 3 роки ви матимете €2253,65».

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Ви вносите €1 000 під 8 % річних із щорічною капіталізацією (відсотки нараховуються наприкінці кожного року). Через скільки повних років n залишок уперше досягне щонайменше €2 500?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

Знайти: n (роки)

Показати підказки

Запишіть FV = PV·(1 + i)ⁿ і знайдіть показник степеня n.
Візьміть натуральний логарифм обох частин: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i).
FV/PV = 2,5, ln(2,5) = 0,9163.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Складіть рівняння

1 000·(1 + 0,08)ⁿ = 2 500 → (1,08)ⁿ = 2,5

Розв’язання за допомогою логарифмів

n = ln(2,5)/ln(1,08) = 0,9163/0,07696 = 11,91

Округлення вгору до повних років

Відсотки нараховуються лише наприкінці кожного року, тож через 11 років залишок ще менший за цільову суму.

1 000·1,08¹¹ = €2 331,64 < €2 500

1 000·1,08¹² = €2 518,17 ≥ €2 500

n = 12

Відповідь

n = 12 роки

Приклад 2Середня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 22 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 22%m = 4

Знайти: EAR (%)

Показати підказки

Спочатку знайдіть ставку за період r/m.
EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1.
r/m = 0,055.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Ставка за період

r/m = 0,22/4 = 0,055

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,055)⁴ − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Відповідь

EAR = 23,88%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

Приклад 3Складна

Іпотечний кредит €250 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 8? Знайдіть залишок боргу B.

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

Знайти: B (€)

Показати підказки

Спочатку знайдіть щомісячний платіж A за формулою ануїтету.
Залишок боргу дорівнює теперішній вартості платежів, які ще належить сплатити.
A = €1 386,49, залишилося платежів: 144.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Щомісячний платіж

i = 0,0025, N = 240

A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €1 386,49

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 240 − 96 = 144

B = 1386·(1 − (1 + 0,0025)⁻¹⁴⁴)/0,0025 = €167 494,12

Відповідь

B = €167 494,12

Запитання й відповіді

Вартість грошей у часі: що це?

Якщо покласти €1000 на ощадний рахунок із 5% річних, через рік буде €1050. Додаткові €50 — це відсотки.

На другий рік ви заробляєте 5% на €1050, а не на €1000. Тож відсотки становлять €52,50, а залишок — €1102,50.

Вартість грошей у часі: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Вартість грошей у часі: які помилки найпоширеніші?

Використовують річну ставку з місячними періодами.
Використовують прості відсотки замість складних.
Неправильно рахують кількість періодів.

Вартість грошей у часі: що ви тренуєте?

Легка: майбутня вартість
Середня: нарощення і дисконтування
Складна: ануїтети і кредити

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Ціна й дохідність облігацій NPV і IRR

Калькулятори

Калькулятор складних відсотків Калькулятор платежу за кредитом

Курси з цією темою

Фінанси підприємств Інвестиції та оцінка вартості Підготовка до іспиту FE Civil Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I

Інші теми: Бізнес та економіка

NPV і IRR Ціна й дохідність облігацій CAPM і WACC Цінова еластичність попиту Економічні поняття Аналіз беззбитковості Фінансовий облік Амортизація Основи маркетингу

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Вартість грошей у часі» з відповідями