货币的时间价值：练习题及分步解答

1为什么钱会随时间增长

如果你把 €1000 存入年利率 5% 的储蓄账户，一年后你有 €1050。多出的 €50 是利息。

第二年你是对 €1050 而不是 €1000 赚 5%。所以利息是 €52.50，余额变成 €1102.50。

对之前的利息再赚取利息，称为复利。若是单利，你始终只能赚最初 €1000 的 5%。

因为钱可以这样增长，今天的 €1000 比三年后的 €1000 更值钱。这就是货币的时间价值。

每一个储蓄计划、贷款和按揭都是用这个思路计算的。

2终值和现值

每个计息期余额都乘以 (1 + i)，其中 i 是以小数表示的每期利率。经过 n 期后：

PV（现值）是今天的金额。FV（终值）是 n 期之后的金额。

倒推称为折现。它告诉你，要在以后达到目标，今天需要多少钱：

例：要在 2 年后按 5% 得到 €1102.50，你今天需要 1102.50 / 1.05² = €1000。

银行常常给出年名义利率 r，但每年计息 m 次：季度为 m = 4，月度为 m = 12。这时要按每期来计算：

3年金：等额支付

年金是在每期期末的一系列等额支付 A，例如每月存 €250 或每月的贷款还款。

你可以把每笔付款分别复利或折现，然后相加。年金公式一步就完成了这个求和。

如果每期存 A，期末你拥有的金额：

所有付款在今天的价值：

贷款用年金偿还：借入金额 P 等于各期付款的现值。由此解出付款额：

例：借 €10 000，年利率 6%，按月复利，期限 3 年。i = 0.005，N = 36，所以 A = 10 000 · 0.005 / (1 − 0.8356) = 每月 €304.22。

4分步方法

1. 画一条时间线。标出已知的（今天的金额、以后的目标、等额付款）和你要求的量。
2. 求出每期利率 i = r/m 和期数 N = m · n。利率要写成小数。
3. 选择公式：单笔金额（FV 或 PV），还是一系列等额付款（年金）。
4. 计算。先算出幂 (1 + i)^N，并至少保留 4 位小数。
5. 检查答案的大小：终值大于存款，现值小于目标。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 在按月或按季度计息时使用年利率。要把利率除以 m，并把年数乘以 m。
• 使用单利 PV · (1 + i · n)，而不是复利 PV · (1 + i)ⁿ。
• 期数数错了，例如三年按月付款应是 36，却写成 3。
• 把利率写成百分数：写成 1.4¹² 而不是 1.04¹²。
• 对储蓄计划，只把存款相加。每笔存款也会生息。

7考试题是什么样的

• 简单：终值。一笔存款按年复利：FV = PV · (1 + i)ⁿ。
• 中等：复利和折现。按季度或按月复利，求终值或今天所需的存款。
• 困难：年金和贷款。按月储蓄计划的期末价值，或贷款的月供。

一定要说明这个数的含义：“3 年后你有 €2253.65”。