NPV 与 IRR：练习题及分步解答

免费的NPV 与 IRR练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：等额现金流, 不等额现金流, 内部收益率。

免费练习题简单
年0123−20 0009 0009 0009 000

某项目今天投入 €20 000，在 3 年内每年年末回收 €9 000。要求回报率为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000
€
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练习内容

  1. 简单等额现金流
  2. 中等不等额现金流
  3. 困难内部收益率

如何求解NPV 与 IRR问题

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

常见错误

  • 对第 0 年的现金流进行了折现。
  • 忘记初始投资。
  • 不折现就把现金流相加。

关键公式

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

从零开始学习NPV 与 IRR

学习本课之前： 货币的时间价值

1为什么现在的钱更值钱

你愿意现在拿 €100，还是一年后拿 €100？现在：你可以把它存进银行，一年后就会多于 €100。

所以将来的一欧元不如现在的一欧元值钱。企业用这个思路来决定一项投资是否值得。

净现值（NPV）回答一个问题：扣除投入之后，一个项目所有的资金流在今天值多少钱？

  • NPV 大于零：项目的收益高于要求的回报率。接受它。
  • NPV 小于零：这笔钱放在别处会更好。否决它。
自测 某项目的 NPV 为 +€500。这意味着什么？
  1. 它亏损 €500
  2. 它恰好达到要求的回报率
  3. 它的收益高于要求的回报率
  4. 它的现金流加起来是 €500

答案: 它的收益高于要求的回报率. 正的 NPV 表示项目在要求的回报之外还增加了价值。NPV 恰好为零则表示它刚好赚到要求的回报率。

2对一笔金额折现

把未来的一笔金额折回到今天叫作折现。年利率为 r 时，t 年后收到的金额今天值：

PV = CFt / (1 + r)t

例：一年后的 €1100，按 10% 计算，今天值 1100/1.10 = €1000。检验：把 €1000 以 10% 存入银行，一年后增长到 €1100。

钱离现在越远，指数越大，它今天的价值就越小。

利率一定要写成小数：8% 是 0.08，所以要除以 1.08。

自测 2 年后收到的 €121，按每年 10% 计算，今天值多少？
  1. €100
  2. €110
  3. €146.41
  4. €96.80

答案: €100. 121/1.10² = 121/1.21 = €100。只除以一次 1.10 得到 €110，忘了第二年。

3一步一步求 NPV

NPV 是所有折现现金流之和。第 0 年的投资为负，不需要折现，因为它本来就在今天。

NPV = −I0 + CF1/(1 + r) + CF2/(1 + r)² + … + CFn/(1 + r)n
  1. 画出时间线，把每笔现金流放在它所在的年份。支出为负，收入为正。
  2. 用各自的 (1 + r) 的幂次对每一笔未来现金流折现。
  3. 把所有现值相加，包括第 0 年的 −I0。
  4. 决策：NPV 为正则接受。

当每年的现金流相同时，年金系数可以一次完成所有的折现：

PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一台机器今天花费 €9000，在之后 3 年的每年年末节省 €3600。要求的回报率为 8%。求 NPV。公司应该购买它吗？

1

画出时间线

0123−9000+3600+3600+3600t

现在支出一笔，在第 1、2、3 年年末各收入一笔相等的金额。

2

对每笔现金流折现

3600 / 1.08 = 3333.33
3600 / 1.08² = 3600 / 1.1664 = 3086.42
3600 / 1.08³ = 3600 / 1.259712 = 2857.80
3

相加

这些节省额今天值 3333.33 + 3086.42 + 2857.80 = €9277.55。

NPV = −9000 + 9277.55 = €277.55
4

用年金系数检验

[1 − 1.08−3] / 0.08 = 2.5771
3600 · 2.5771 = 9277.55

结果相同，只要一行。只要现金流相等，就用这个捷径。

5

决策

NPV 为正，所以这台机器的收益每年高于 8%。公司应该购买。

答案

NPV ≈ €277.55，为正，所以接受这项投资。

5内部收益率

内部收益率（IRR）是使 NPV 恰好为零的利率。它是项目自身的年回报率。

它没有简单的公式。你要试不同的利率，直到 NPV 变号，然后在这两个利率之间插值。

在这个例子中，8% 时 NPV 为 +277.55。10% 时是 3600 · 2.4869 − 9000 = −47.33。所以 IRR 在 8% 和 10% 之间。

IRR ≈ 8% + 2% · 277.55 / (277.55 + 47.33) ≈ 9.7%

决策规则：当 IRR 高于要求的回报率时接受。这里 9.7% 高于 8%，与 NPV 给出的结论相同。

自测 某项目的 NPV 在 8% 时为正，在 12% 时为负。它的 IRR 在哪里？
  1. 低于 8%
  2. 在 8% 和 12% 之间
  3. 恰好是 10%
  4. 高于 12%

答案: 在 8% 和 12% 之间. IRR 是 NPV 穿过零的地方，所以它位于符号发生变化的两个利率之间。插值能给出很好的估计，但它不一定恰好是中点。

6常见错误

  • 对第 0 年的投资进行折现。它本来就是今天的钱。
  • 完全忘了投资，只报告流入的现值。
  • 没有先折现就把现金流相加。
  • 使用百分数而不是小数：除以 1.8，而不是 1.08。
  • 用错了指数：第 3 年的现金流要除以 (1 + r)³，而不是 (1 + r)。
自测 一个项目花费 €5000，一年后回报 €5500。要求的利率为 12%。NPV 是多少？
  1. +€4910.71
  2. +€500
  3. −€500
  4. −€89.29

答案: −€89.29. 5500/1.12 = 4910.71，而 4910.71 − 5000 = −€89.29。€500 的利润不足以达到 12% 的回报率，所以应否决。

7考试题是什么样的

  • 简单：一笔投资和每年相等的现金流。用年金系数。
  • 中等：不均匀的现金流。每一年单独折现，然后相加。
  • 困难：求 IRR。试两个利率，找到 NPV 变号的位置，然后插值。

一定要用文字写出决策：接受还是否决，以及原因。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
年012345−80 00030 00020 00025 50031 00030 500

一个项目今天需投入 €80 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500。假设现金流在每年内均匀流入。求回收期 PB，以年表示。

CF0 = −80 000CF1 = 30 000CF2 = 20 000CF3 = 25 500CF4 = 31 000CF5 = 30 500

求： PB (年)

显示提示
  1. 逐年累加现金流，直到总额达到初始成本。
  2. 在最后一年只需要部分现金流：取仍缺少的那一部分。
  3. 截至年份 3: €75 500.
显示答案和分步解答

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

累计现金流

年份 1: €30 000
年份 2: €50 000
年份 3: €75 500
年份 4: €106 500

最后一年的分数

仍需金额，截至年份 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3.145

答案

PB = 3.145 年
例题 2中等
年01234−45 00011 00010 00013 00014 000

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€11 000, €10 000, €13 000, €14 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 10 000CF3 = 13 000CF4 = 14 000

求： NPV (€)

显示提示
  1. 把每笔现金流除以 (1 + r)ᵗ，折回第 0 年。
  2. 初始投资已经在第 0 年，记为负数。
  3. CF1/(1 + r) = 9 821.43.
显示答案和分步解答

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 11 000/1.12 = 9 821.43
CF2/(1 + 0.12)2 = 10 000/1.254 = 7 971.94
CF3/(1 + 0.12)3 = 13 000/1.405 = 9 253.14
CF4/(1 + 0.12)4 = 14 000/1.574 = 8 897.25

相加

NPV = €−9 056.24

答案

NPV = €−9 056.24

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

例题 3困难
年0123−40 00015 50016 00027 500

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €15 500, €16 000, €27 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500

求： IRR (%)

显示提示
  1. IRR 是使 NPV 恰好为零的折现率。
  2. 试两个利率，一个使 NPV > 0，一个使 NPV < 0，然后逐步缩小范围（或在两者间插值）。
  3. NPV(15%) = 3 658.26, NPV(20%) = −57.87.
显示答案和分步解答

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 3 658.26
NPV(20%) = −57.87

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·3 658.26/(3 658.26 − (−57.87)) = 19.92%
精确: NPV(19.92%) = 0 → IRR = 19.92%

答案

IRR = 19.92%

问与答

什么是NPV 与 IRR？

你愿意现在拿 €100，还是一年后拿 €100？现在：你可以把它存进银行，一年后就会多于 €100。

所以将来的一欧元不如现在的一欧元值钱。企业用这个思路来决定一项投资是否值得。

NPV 与 IRR题目如何一步步求解？
  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
NPV 与 IRR有哪些常见错误？
  • 对第 0 年的现金流进行了折现。
  • 忘记初始投资。
  • 不折现就把现金流相加。
NPV 与 IRR练习包括哪些内容？
  • 简单: 等额现金流
  • 中等: 不等额现金流
  • 困难: 内部收益率

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
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