मुद्रा का समय मूल्य: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

Q: मुद्रा का समय मूल्य के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: भविष्य मूल्य मध्यम: चक्रवृद्धि और बट्टा कठिन: वार्षिकियाँ और ऋण हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त मुद्रा का समय मूल्य अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: भविष्य मूल्य, चक्रवृद्धि और बट्टा, वार्षिकियाँ और ऋण।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान

आप 5% वार्षिक ब्याज पर, वार्षिक चक्रवृद्धि के साथ (ब्याज हर वर्ष के अंत में जोड़ा जाता है), €2 500 जमा करते हैं। कितने पूरे वर्षों n बाद शेष राशि पहली बार कम से कम €7 500 तक पहुँचती है?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%

वर्षों की एक पूर्ण संख्या।

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मुद्रा का समय मूल्य का मुफ़्त अभ्यास करें अभी मुद्रा का समय मूल्य का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

आसानभविष्य मूल्य
मध्यमचक्रवृद्धि और बट्टा
कठिनवार्षिकियाँ और ऋण

मुद्रा का समय मूल्य के प्रश्न कैसे हल करें

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

सामान्य गलतियाँ

मासिक अवधियों के साथ वार्षिक दर का उपयोग करना।
चक्रवृद्धि ब्याज के बजाय साधारण ब्याज का उपयोग करना।
अवधियों की संख्या गलत गिनना।

मुख्य सूत्र

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

मुद्रा का समय मूल्य शुरू से सीखें

1समय के साथ पैसा क्यों बढ़ता है

यदि आप €1000 एक बचत खाते में रखते हैं जो 5% वार्षिक ब्याज देता है, तो एक वर्ष बाद आपके पास €1050 होते हैं। अतिरिक्त €50 ब्याज है।

दूसरे वर्ष आप €1050 पर 5% कमाते हैं, €1000 पर नहीं। इसलिए ब्याज €52.50 है और शेष राशि €1102.50 हो जाती है।

पहले के ब्याज पर ब्याज कमाना चक्रवृद्धि ब्याज कहलाता है। साधारण ब्याज के साथ आप हमेशा केवल पहले €1000 का 5% कमाते।

चूँकि पैसा इस तरह बढ़ सकता है, आज के €1000 तीन वर्ष बाद के €1000 से अधिक मूल्यवान हैं। यही मुद्रा का समय मूल्य है।

हर बचत योजना, ऋण और गृह ऋण की गणना इसी विचार से होती है।

स्व-जाँच आप 10% प्रति वर्ष, वार्षिक चक्रवृद्धि पर €100 जमा करते हैं। 2 वर्ष बाद खाते में कितना है?

€110
€120
€121
€200

उत्तर: €121. वर्ष 1: 100 · 1.10 = 110। वर्ष 2: 110 · 1.10 = 121। €120 साधारण ब्याज है: यह ब्याज के पहले €10 पर कमाए ब्याज को भूल जाता है।

2भविष्य मूल्य और वर्तमान मूल्य

हर अवधि में शेष राशि (1 + i) से गुणा होती है, जहाँ i दशमलव में प्रति अवधि ब्याज दर है। n अवधियों के बाद:

FV = PV · (1 + i)ⁿ

PV (वर्तमान मूल्य) आज की राशि है। FV (भविष्य मूल्य) n अवधियों के बाद की राशि है।

पीछे की ओर जाना बट्टाकरण कहलाता है। यह बताता है कि बाद में किसी लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आज आपको कितना चाहिए:

PV = FV / (1 + i)ⁿ

उदाहरण: 5% पर 2 वर्षों में €1102.50 पाने के लिए आपको आज 1102.50 / 1.05² = €1000 चाहिए।

बैंक अक्सर वार्षिक नाममात्र दर r बताते हैं पर वर्ष में m बार ब्याज जोड़ते हैं: त्रैमासिक के लिए m = 4, मासिक के लिए m = 12। तब आप प्रति अवधि काम करते हैं:

i = r / m N = m · n

स्व-जाँच 6% प्रति वर्ष की दर 3 वर्षों तक मासिक चक्रवृद्धि होती है। i और N क्या हैं?

i = 0.005 और N = 36
i = 0.005 और N = 3
i = 0.06 और N = 36
i = 0.5 और N = 36

उत्तर: i = 0.005 और N = 36. i = 0.06 / 12 = 0.005 प्रति माह और N = 12 · 3 = 36 महीने। 36 महीनों के साथ वार्षिक 0.06 का उपयोग सबसे सामान्य गलती है: यह हर महीने 6% गिनता है।

3वार्षिकी: समान भुगतान

वार्षिकी हर अवधि के अंत में समान भुगतानों A की एक श्रृंखला है, उदाहरण के लिए हर महीने बचाए गए €250 या मासिक ऋण किस्त।

आप हर भुगतान को अलग से चक्रवृद्धि या बट्टाकृत करके जोड़ सकते हैं। वार्षिकी सूत्र यह योग एक चरण में कर देते हैं।

यदि आप हर अवधि A बचाते हैं तो अंत में आपके पास जो होगा:

FV = A · [(1 + i)^N − 1] / i

सभी भुगतानों का आज का मूल्य:

PV = A · [1 − (1 + i)^−N] / i

ऋण वार्षिकी से चुकाया जाता है: उधार ली गई राशि P भुगतानों के वर्तमान मूल्य के बराबर है। इसे भुगतान के लिए हल करें:

A = P · i / [1 − (1 + i)^−N]

उदाहरण: 6% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर 3 वर्षों के लिए €10 000 उधार। i = 0.005 और N = 36, इसलिए A = 10 000 · 0.005 / (1 − 0.8356) = €304.22 प्रति माह।

4विधि चरण-दर-चरण

एक समय-रेखा बनाएँ। जो ज्ञात है (आज की राशि, बाद का लक्ष्य, समान भुगतान) और जो ज्ञात करना है, उसे चिह्नित करें।
प्रति अवधि दर i = r/m और अवधियों की संख्या N = m · n ज्ञात करें। दर को दशमलव में लिखें।
सूत्र चुनें: एक राशि (FV या PV) या समान भुगतानों की श्रृंखला (वार्षिकी)।
गणना करें। पहले घात (1 + i)^N निकालें और कम से कम 4 दशमलव रखें।
उत्तर का आकार जाँचें: भविष्य मूल्य जमा से बड़ा होता है, और वर्तमान मूल्य लक्ष्य से छोटा।

5एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

आप 4% प्रति वर्ष की नाममात्र दर, त्रैमासिक चक्रवृद्धि पर €2000 निवेश करते हैं। 3 वर्ष बाद निवेश का मूल्य FV ज्ञात कीजिए।

समय-रेखा बनाएँ

आज एक राशि जमा होती है। आप 3 वर्ष, यानी 12 तिमाहियों बाद उसका मूल्य चाहते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

ब्याज वर्ष में 4 बार जोड़ा जाता है, इसलिए तिमाहियों में काम करें।

i = 0.04 / 4 = 0.01

N = 4 · 3 = 12

वृद्धि गुणक

हर तिमाही शेष राशि 1.01 से गुणा होती है।

(1 + i)^N = 1.01¹² = 1.126825

भविष्य मूल्य

FV = 2000 · 1.126825 = 2253.65

उत्तर जाँचें

वार्षिक चक्रवृद्धि के साथ आपको 2000 · 1.04³ = €2249.73 मिलते। त्रैमासिक चक्रवृद्धि थोड़ा अधिक देती है, क्योंकि ब्याज जल्दी ब्याज कमाने लगता है। €2253.65 ठीक बैठता है।

उत्तर

3 वर्ष बाद FV ≈ €2253.65।

6सामान्य गलतियाँ

मासिक या त्रैमासिक अवधियों के साथ वार्षिक दर का उपयोग करना। दर को m से भाग दें और वर्षों को m से गुणा करें।
चक्रवृद्धि ब्याज PV · (1 + i)ⁿ के बजाय साधारण ब्याज PV · (1 + i · n) का उपयोग करना।
अवधियों की संख्या गलत गिनना, उदाहरण के लिए तीन वर्षों के मासिक भुगतानों के लिए 36 के बजाय 3।
दर को प्रतिशत के रूप में लिखना: 1.04¹² के बजाय 1.4¹²।
बचत योजना के लिए केवल जमाओं को जोड़ना। हर जमा ब्याज भी कमाती है।

स्व-जाँच आप 6% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर 3 वर्षों के लिए €1000 निवेश करते हैं। कौन-सी गणना सही है?

1000 · (1 + 0.06 · 3) = €1180
1000 · 1.005³⁶ = €1196.68
1000 · 1.06³⁶ = €8147.25
1000 · 1.06³ = €1191.02

उत्तर: 1000 · 1.005³⁶ = €1196.68. मासिक चक्रवृद्धि: i = 0.06/12 = 0.005 और N = 36। 36 अवधियों के लिए 1.06 का उपयोग हर महीने 6% लगाता है। 1.06³ मासिक चक्रवृद्धि को नज़रअंदाज़ करता है, और 1180 साधारण ब्याज है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

आसान: भविष्य मूल्य। वार्षिक चक्रवृद्धि के साथ एक जमा: FV = PV · (1 + i)ⁿ।
मध्यम: चक्रवृद्धि और बट्टाकरण। त्रैमासिक या मासिक चक्रवृद्धि, जिसमें भविष्य मूल्य या आज आवश्यक जमा पूछी जाती है।
कठिन: वार्षिकी और ऋण। मासिक बचत योजना का अंतिम मूल्य, या ऋण की मासिक किस्त।

हमेशा बताएँ कि संख्या का क्या अर्थ है: “3 वर्ष बाद आपके पास €2253.65 हैं”।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान

आप 8% वार्षिक ब्याज पर, वार्षिक चक्रवृद्धि के साथ (ब्याज हर वर्ष के अंत में जोड़ा जाता है), €1 000 जमा करते हैं। कितने पूरे वर्षों n बाद शेष राशि पहली बार कम से कम €2 500 तक पहुँचती है?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

ज्ञात करें: n (वर्ष)

संकेत दिखाएँ

FV = PV·(1 + i)ⁿ लिखें और घातांक n के लिए हल करें।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i)।
FV/PV = 2.5, ln(2.5) = 0.9163.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

समीकरण बनाएँ

1 000·(1 + 0.08)ⁿ = 2 500 → (1.08)ⁿ = 2.5

लघुगणक से हल करें

n = ln(2.5)/ln(1.08) = 0.9163/0.07696 = 11.91

पूरे वर्षों तक ऊपर पूर्णांकित करें

ब्याज केवल हर वर्ष के अंत में जोड़ा जाता है, इसलिए 11 वर्षों बाद शेष राशि अभी भी लक्ष्य से कम है।

1 000·1.08¹¹ = €2 331.64 < €2 500

1 000·1.08¹² = €2 518.17 ≥ €2 500

n = 12

उत्तर

n = 12 वर्ष

उदाहरण 2मध्यम

एक क्रेडिट कार्ड 22% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर लेता है, त्रैमासिक चक्रवृद्धि। प्रभावी वार्षिक दर EAR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 22%m = 4

ज्ञात करें: EAR (%)

संकेत दिखाएँ

पहले प्रति अवधि दर r/m ज्ञात करें।
EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1।
r/m = 0.055.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

प्रति अवधि दर

r/m = 0.22/4 = 0.055

एक वर्ष में चक्रवृद्धि करें

EAR = (1 + 0.055)⁴ − 1 = 1.239 − 1 = 23.88%

उत्तर

EAR = 23.88%

जब ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होता है तो EAR हमेशा नाममात्र दर से अधिक होती है।

उदाहरण 3कठिन

€250 000 का एक गृह ऋण 3% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर 20 वर्षों में समान मासिक किस्तों से चुकाया जाता है। वर्ष 8 के अंत की किस्त के ठीक बाद कितना बकाया है? बकाया शेष B ज्ञात कीजिए।

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

ज्ञात करें: B (€)

संकेत दिखाएँ

पहले वार्षिकी सूत्र से मासिक किस्त A ज्ञात करें।
शेष राशि अभी आने वाली किस्तों के वर्तमान मूल्य के बराबर है।
A = €1 386.49, शेष किस्तें: 144.

उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

मासिक भुगतान

i = 0.0025, N = 240

A = 250 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁴⁰) = €1 386.49

शेष किस्तों का वर्तमान मूल्य

जो भी अभी बकाया है उसे शेष किस्तों से ठीक-ठीक चुकाना होगा।

N − k = 240 − 96 = 144

B = 1386·(1 − (1 + 0.0025)⁻¹⁴⁴)/0.0025 = €167 494.12

उत्तर

B = €167 494.12

प्रश्न और उत्तर

मुद्रा का समय मूल्य क्या है?

मुद्रा का समय मूल्य के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

मुद्रा का समय मूल्य में आम गलतियाँ क्या हैं?

मासिक अवधियों के साथ वार्षिक दर का उपयोग करना।
चक्रवृद्धि ब्याज के बजाय साधारण ब्याज का उपयोग करना।
अवधियों की संख्या गलत गिनना।

मुद्रा का समय मूल्य के अभ्यास में क्या शामिल है?

आसान: भविष्य मूल्य
मध्यम: चक्रवृद्धि और बट्टा
कठिन: वार्षिकियाँ और ऋण

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

इसके बाद

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल NPV और IRR

कैलकुलेटर

चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर ऋण भुगतान कैलकुलेटर

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NPV और IRR बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल CAPM और WACC माँग की कीमत लोच आर्थिक अवधारणाएँ ब्रेक-ईवन विश्लेषण वित्तीय लेखांकन मूल्यह्रास विपणन के सिद्धांत

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उत्तरों सहित मुद्रा का समय मूल्य वर्कशीट