Prezzo e rendimento delle obbligazioni: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Prezzo e rendimento delle obbligazioni con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: cedole annuali, cedole semestrali, rendimento a scadenza.

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anni0123…9€40€40€40 + €1 000P = ?

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 4%YTM = 2,5%n = 9
€
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilecedole annuali
  2. Mediacedole semestrali
  3. Difficilerendimento a scadenza

Come risolvere gli esercizi di Prezzo e rendimento delle obbligazioni

  1. Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
  2. Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
  3. Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
  4. Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

Errori comuni

  • Scontare al tasso cedolare invece che al rendimento.
  • Dimenticare il valore nominale alla scadenza.
  • Mescolare periodi annuali e semestrali.

Formule chiave

Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù

Impara Prezzo e rendimento delle obbligazioni da zero

Prima di questo: Valore temporale del denaro

1Che cos’è un’obbligazione

Un’obbligazione è un prestito che puoi comprare e vendere. Un’azienda o uno Stato prende in prestito denaro e in cambio promette pagamenti fissi.

Un’obbligazione tipica ha tre numeri stampati sopra:

  • Il valore nominale F, di solito €1000. Viene restituito l’ultimo giorno, la scadenza.
  • Il tasso cedolare. Ogni anno l’obbligazione paga questa percentuale del valore nominale come interesse, la cedola C. Una cedola del 5% su €1000 sono €50 all’anno.
  • La scadenza n: quanti anni mancano alla restituzione del valore nominale.
0123CCC + FP

Le cedole e il valore nominale sono fissi. Ciò che cambia è il prezzo P che gli investitori pagano oggi. Quel prezzo dipende dal rendimento che gli investitori vogliono adesso.

Autoverifica Un’obbligazione ha un valore nominale di €1000 e un tasso cedolare del 6%, pagato una volta all’anno. Qual è la cedola C?
  1. €1060
  2. €600
  3. €60
  4. €6

Risposta: €60. C = 6% del valore nominale = 0,06 · 1000 = €60 all’anno. €1060 è l’ultimo pagamento (cedola più valore nominale), non la cedola.

2Prezzo e rendimento a scadenza

Il rendimento a scadenza (YTM, indicato con y) è il rendimento annuo che il mercato richiede all’obbligazione. È il tasso di attualizzazione per tutti i suoi pagamenti.

Il prezzo è il valore attuale di tutto ciò che l’obbligazione paga: le cedole formano una rendita, e il valore nominale è un singolo importo alla fine.

P = C · [1 − (1 + y)−n] / y + F / (1 + y)n

Confronta il rendimento con il tasso cedolare. Questo ti dà la risposta prima ancora di calcolare:

  • Rendimento uguale al tasso cedolare: il prezzo è esattamente il valore nominale, €1000 (alla pari).
  • Rendimento superiore al tasso cedolare: il prezzo è inferiore al valore nominale (sotto la pari).
  • Rendimento inferiore al tasso cedolare: il prezzo è superiore al valore nominale (sopra la pari).

Quindi prezzi e rendimenti delle obbligazioni si muovono sempre in direzioni opposte. Quando i rendimenti salgono, i prezzi scendono.

Autoverifica Un’obbligazione ha una cedola del 4%. Il rendimento di mercato è il 6%. Dove si collocherà il suo prezzo?
  1. Al valore nominale più una cedola
  2. Esattamente al valore nominale
  3. Sopra il valore nominale
  4. Sotto il valore nominale

Risposta: Sotto il valore nominale. L’obbligazione paga solo il 4% mentre gli investitori vogliono il 6%. La compreranno solo a un prezzo più basso, quindi si vende sotto la pari.

3Il metodo passo dopo passo

  1. Trova la cedola per periodo C, il rendimento per periodo y e il numero di periodi n.
  2. Per cedole semestrali: usa metà della cedola, metà del rendimento e il doppio degli anni.
  3. Valore attuale delle cedole: C · [1 − (1 + y)−n] / y.
  4. Valore attuale del valore nominale: F / (1 + y)n.
  5. Somma i due. Confronta il risultato con il tasso cedolare: sotto la pari o sopra la pari?

Esempio del passaggio 2: una cedola del 6% pagata due volte all’anno per 5 anni, con un rendimento del 5%, dà C = €30, y = 0,025 e n = 10.

4Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un’obbligazione con valore nominale di €1000 paga una cedola annua del 5% e scade fra 3 anni. Il rendimento a scadenza è il 6%. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

1

Disegna i flussi di cassa

0123€50€50€50 + €1000P = ?

La cedola è 0,05 · 1000 = €50 all’anno. Nell’anno 3 l’obbligazione rimborsa anche i €1000.

2

Valori per periodo

Le cedole sono annuali, quindi un periodo è un anno.

C = 50 y = 0,06 n = 3
(1,06)−3 = 0,839619
3

Valore attuale delle cedole

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65
4

Valore attuale del valore nominale

1000 · 0,839619 = 839,62
5

Sommali

P = 133,65 + 839,62 = 973,27
6

Controlla il risultato

Attualizza ogni pagamento separatamente: 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = €973,27.

Il rendimento (6%) è superiore al tasso cedolare (5%), quindi un prezzo inferiore a €1000 è ciò che ci si aspetta.

Risposta

P ≈ €973,27, sotto la pari perché il rendimento è superiore al tasso cedolare.

5Trovare il rendimento a scadenza

A volte è dato il prezzo e devi trovare il rendimento. Non esiste una formula per y, quindi si provano dei tassi.

Un’obbligazione con cedola del 4% e 3 anni alla scadenza si vende a €960. Si vende sotto €1000, quindi il rendimento è superiore al 4%.

  1. Prova il 5%: la formula del prezzo dà €972,77. Ancora sopra €960, quindi il rendimento deve essere più alto.
  2. Prova il 6%: il prezzo è €946,54. Ora è sotto €960, quindi il rendimento è compreso tra il 5% e il 6%.
  3. Interpola tra i due tassi.
y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

Non confondere il rendimento a scadenza con il rendimento corrente, C/P = 40/960 = 4,17%. Il rendimento corrente ignora il guadagno di €40 tra €960 e i €1000 rimborsati a scadenza.

Autoverifica Un’obbligazione si vende a €1050. Il suo tasso cedolare è il 5%. Che cosa sai del suo rendimento a scadenza?
  1. È esattamente il 5%
  2. È inferiore al 5%
  3. È superiore al 5%
  4. È uguale a 50/1050 = 4,76%

Risposta: È inferiore al 5%. Il prezzo è superiore al valore nominale (sopra la pari), quindi il rendimento è inferiore al tasso cedolare. 4,76% è il rendimento corrente, che ignora la perdita di €50 a scadenza.

6Errori comuni

  • Attualizzare al tasso cedolare invece che al rendimento. Il tasso cedolare stabilisce solo l’entità della cedola.
  • Dimenticare il valore nominale a scadenza, oppure dimenticare le cedole.
  • Sommare i pagamenti senza attualizzarli.
  • Confondere periodi annuali e semestrali: con cedole semestrali dimezza C e y e raddoppia n.
Autoverifica Un’obbligazione biennale ha un valore nominale di €1000, una cedola annua del 5% e un rendimento del 6%. Qual è il suo prezzo?
  1. €1000
  2. €1100
  3. €981,67
  4. €990,00

Risposta: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = €981,67. €1000 deriva dall’attualizzare al tasso cedolare, €1100 dal sommare senza attualizzare e €990,00 dal non attualizzare le cedole.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: cedole annuali. Trova il prezzo dal valore nominale, dal tasso cedolare, dalla scadenza e dal rendimento.
  • Medio: cedole semestrali. Lo stesso, con metà della cedola, metà del rendimento e il doppio dei periodi.
  • Difficile: rendimento a scadenza. Il prezzo è dato. Prova due tassi, poi interpola oppure usa una calcolatrice.

Confronta sempre prima il rendimento con il tasso cedolare. Ti dice se il prezzo deve essere sopra o sotto €1000.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
anni0123…10€80€80€80 + €1 000P = ?

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% e scade tra 10 anni. Il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 8%YTM = 7%n = 10

Calcola P (€)

Mostra i suggerimenti
  1. Il prezzo è il valore attuale delle cedole più il valore attuale del valore nominale.
  2. Cedola annua: €80,00. Sconta al YTM.
  3. (1 + 0,07)−10 = 0,5083.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Valore attuale delle cedole

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,5083 = €508,35

Prezzo

P = €1 070,24

Risposta

P = €1 070,24

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

Esempio 2Media
anni0123…15P€70€70€70 + €1 000

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 15 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 4% al 3%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?

F = €1 000cedola = 7%n = 15y1 = 4%y2 = 3%

Calcola ΔP (€)

Mostra i suggerimenti
  1. Calcola il prezzo dell’obbligazione al vecchio rendimento e al nuovo rendimento.
  2. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
  3. P1 = €1 333,55.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo al vecchio rendimento

C = €70,00, i = 0,04, N = 15
€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Prezzo al nuovo rendimento

C = €70,00, i = 0,03, N = 15
€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Variazione

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Risposta

ΔP = €143,97
Esempio 3Difficile

Un’obbligazione è quotata €930 con un rendimento a scadenza del 7% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 9,5 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 150 punti base.

P0 = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Calcola P (€)

Mostra i suggerimenti
  1. Duration modificata: D mod = D/(1 + y).
  2. Dmod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
  3. %ΔP ≈ −D mod·Δy.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

Duration modificata

Dmod = 9,5/1,07 = 8,879

Variazione stimata del prezzo

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%
P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Risposta

P = €1 053,86

La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.

Domande e risposte

Prezzo e rendimento delle obbligazioni: di cosa si tratta?

Un’obbligazione è un prestito che puoi comprare e vendere. Un’azienda o uno Stato prende in prestito denaro e in cambio promette pagamenti fissi.

Un’obbligazione tipica ha tre numeri stampati sopra:

Prezzo e rendimento delle obbligazioni: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
  2. Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
  3. Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
  4. Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni: quali sono gli errori più comuni?
  • Scontare al tasso cedolare invece che al rendimento.
  • Dimenticare il valore nominale alla scadenza.
  • Mescolare periodi annuali e semestrali.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni: che cosa si esercita?
  • Facile: cedole annuali
  • Media: cedole semestrali
  • Difficile: rendimento a scadenza

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  • I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.

Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Valore temporale del denaro

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