Valore temporale del denaro: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: capitalizzazione composta · attualizzazione · valore attuale · matematica finanziaria

Esercizi gratuiti su Valore temporale del denaro con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: valore futuro, capitalizzazione e attualizzazione, rendite e prestiti.

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anni012n = ?€2 500€7 500

Versi €2 500 al 5% di interesse annuo, capitalizzato annualmente (gli interessi vengono aggiunti alla fine di ogni anno). Dopo quanti anni interi n il saldo raggiunge per la prima volta almeno €7 500?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%
anni

Un numero intero di anni.

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Su cosa ti eserciti

  1. Facilevalore futuro
  2. Mediacapitalizzazione e attualizzazione
  3. Difficilerendite e prestiti

Come risolvere gli esercizi di Valore temporale del denaro

  1. Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
  2. Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
  3. Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
  4. Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Errori comuni

  • Usare il tasso annuo con periodi mensili.
  • Usare l’interesse semplice invece di quello composto.
  • Contare male il numero di periodi.

Formule chiave

Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Impara Valore temporale del denaro da zero

1Perché il denaro cresce nel tempo

Se metti €1000 in un conto di risparmio che paga il 5% di interesse all’anno, dopo un anno hai €1050. I €50 in più sono l’interesse.

Nel secondo anno guadagni il 5% su €1050, non su €1000. Quindi l’interesse è €52,50 e il saldo diventa €1102,50.

Guadagnare interessi sugli interessi precedenti si chiama interesse composto. Con l’interesse semplice guadagneresti sempre solo il 5% dei primi €1000.

0123€1000€1050€1102,50FV

Poiché il denaro può crescere in questo modo, €1000 oggi valgono più di €1000 fra tre anni. Questo è il valore temporale del denaro.

Ogni piano di risparmio, prestito e mutuo si calcola con questa idea.

Autoverifica Depositi €100 al 10% annuo, con capitalizzazione annuale. Quanto c’è nel conto dopo 2 anni?
  1. €110
  2. €120
  3. €121
  4. €200

Risposta: €121. Anno 1: 100 · 1,10 = 110. Anno 2: 110 · 1,10 = 121. €120 è l’interesse semplice: dimentica l’interesse guadagnato sui primi €10 di interesse.

2Valore futuro e valore attuale

A ogni periodo il saldo viene moltiplicato per (1 + i), dove i è il tasso di interesse per periodo come decimale. Dopo n periodi:

FV = PV · (1 + i)n

PV (valore attuale) è l’importo oggi. FV (valore futuro) è l’importo dopo n periodi.

Procedere a ritroso si chiama attualizzazione. Ti dice quanto serve oggi per raggiungere un obiettivo in seguito:

PV = FV / (1 + i)n

Esempio: per avere €1102,50 fra 2 anni al 5%, servono oggi 1102,50 / 1,05² = €1000.

Le banche spesso indicano un tasso nominale annuo r ma accreditano gli interessi m volte all’anno: m = 4 per trimestrale, m = 12 per mensile. Allora si lavora per periodo:

i = r / m N = m · n
Autoverifica Un tasso del 6% annuo è capitalizzato mensilmente per 3 anni. Quali sono i e N?
  1. i = 0,005 e N = 36
  2. i = 0,005 e N = 3
  3. i = 0,06 e N = 36
  4. i = 0,5 e N = 36

Risposta: i = 0,005 e N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 al mese e N = 12 · 3 = 36 mesi. Usare 0,06 annuo con 36 mesi è l’errore più comune: conta il 6% ogni mese.

3Rendite: pagamenti uguali

Una rendita (annuità) è una serie di pagamenti uguali A alla fine di ogni periodo, per esempio €250 risparmiati ogni mese o una rata mensile di un prestito.

0123…NAAAAPV

Potresti capitalizzare o attualizzare ogni pagamento da solo e sommare. Le formule delle rendite eseguono questa somma in un solo passaggio.

Quanto hai alla fine se risparmi A a ogni periodo:

FV = A · [(1 + i)N − 1] / i

Quanto valgono oggi tutti i pagamenti:

PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i

Un prestito si restituisce con una rendita: l’importo preso in prestito P è uguale al valore attuale dei pagamenti. Risolvi per il pagamento:

A = P · i / [1 − (1 + i)−N]

Esempio: €10 000 presi in prestito al 6% annuo, capitalizzato mensilmente, per 3 anni. i = 0,005 e N = 36, quindi A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = €304,22 al mese.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Disegna una linea del tempo. Segna ciò che è noto (un importo oggi, un obiettivo in seguito, pagamenti uguali) e ciò che devi trovare.
  2. Trova il tasso per periodo i = r/m e il numero di periodi N = m · n. Scrivi il tasso come decimale.
  3. Scegli la formula: un solo importo (FV o PV) o una serie di pagamenti uguali (rendita).
  4. Calcola. Svolgi prima la potenza (1 + i)N e mantieni almeno 4 decimali.
  5. Controlla l’ordine di grandezza della risposta: un valore futuro è maggiore del deposito, e un valore attuale è minore dell’obiettivo.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Investi €2000 a un tasso nominale del 4% annuo, con capitalizzazione trimestrale. Trova il valore FV dell’investimento dopo 3 anni.

1

Disegna la linea del tempo

012…12€2000FV = ?

Un solo importo viene versato oggi. Vuoi il suo valore dopo 3 anni, cioè 12 trimestri.

2

Tasso e numero di periodi

Gli interessi vengono accreditati 4 volte all’anno, quindi lavora in trimestri.

i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3

Fattore di capitalizzazione

Ogni trimestre il saldo viene moltiplicato per 1,01.

(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4

Valore futuro

FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5

Controlla il risultato

Con capitalizzazione annuale otterresti 2000 · 1,04³ = €2249,73. La capitalizzazione trimestrale dà un po’ di più, perché gli interessi cominciano a produrre interessi prima. €2253,65 è coerente.

Risposta

FV ≈ €2253,65 dopo 3 anni.

6Errori comuni

  • Usare il tasso annuo con periodi mensili o trimestrali. Dividi il tasso per m e moltiplica gli anni per m.
  • Usare l’interesse semplice, PV · (1 + i · n), invece dell’interesse composto, PV · (1 + i)n.
  • Contare male il numero di periodi, per esempio 3 invece di 36 per tre anni di pagamenti mensili.
  • Scrivere il tasso come percentuale: 1,412 invece di 1,0412.
  • In un piano di risparmio, sommare solo i versamenti. Anche ogni versamento produce interessi.
Autoverifica Investi €1000 al 6% annuo, con capitalizzazione mensile, per 3 anni. Quale calcolo è corretto?
  1. 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
  2. 1000 · 1,00536 = €1196,68
  3. 1000 · 1,0636 = €8147,25
  4. 1000 · 1,063 = €1191,02

Risposta: 1000 · 1,00536 = €1196,68. Capitalizzazione mensile: i = 0,06/12 = 0,005 e N = 36. Usare 1,06 per 36 periodi addebita il 6% ogni mese. 1,06³ ignora la capitalizzazione mensile, e 1180 è l’interesse semplice.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: valore futuro. Un solo deposito con capitalizzazione annuale: FV = PV · (1 + i)n.
  • Medio: capitalizzazione e attualizzazione. Capitalizzazione trimestrale o mensile, con richiesta di un valore futuro o del deposito necessario oggi.
  • Difficile: rendite e prestiti. Il montante finale di un piano di risparmio mensile, oppure la rata mensile di un prestito.

Di’ sempre che cosa significa il numero: “dopo 3 anni hai €2253,65”.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
anni012n = ?€1 000€2 500

Versi €1 000 al 8% di interesse annuo, capitalizzato annualmente (gli interessi vengono aggiunti alla fine di ogni anno). Dopo quanti anni interi n il saldo raggiunge per la prima volta almeno €2 500?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

Calcola n (anni)

Mostra i suggerimenti
  1. Scrivi FV = PV·(1 + i)ⁿ e ricava l’esponente n.
  2. Prendi il logaritmo naturale di entrambi i membri: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i).
  3. FV/PV = 2,5, ln(2,5) = 0,9163.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Imposta l’equazione

1 000·(1 + 0,08)n = 2 500 → (1,08)n = 2,5

Risolvi con i logaritmi

n = ln(2,5)/ln(1,08) = 0,9163/0,07696 = 11,91

Arrotonda ad anni interi

Gli interessi vengono aggiunti solo alla fine di ogni anno, quindi dopo 11 anni il saldo è ancora al di sotto dell’obiettivo.

1 000·1,0811 = €2 331,64 < €2 500
1 000·1,0812 = €2 518,17 ≥ €2 500
n = 12

Risposta

n = 12 anni
Esempio 2Media
periodi0123411 + EAR = ?22% / 4

Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.

r = 22%m = 4

Calcola EAR (%)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima il tasso per periodo r/m.
  2. EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1.
  3. r/m = 0,055.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso per periodo

r/m = 0,22/4 = 0,055

Capitalizza su un anno

EAR = (1 + 0,055)4 − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Risposta

EAR = 23,88%

Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.

Esempio 3Difficile
mesi01…96…240€250 000AB = ?A3% / 12

Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 8? Trova il debito residuo B.

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

Calcola B (€)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la rata mensile A con la formula della rendita.
  2. Il debito residuo è uguale al valore attuale delle rate ancora da pagare.
  3. A = €1 386,49, rate rimanenti: 144.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rata mensile

i = 0,0025, N = 240
A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−240) = €1 386,49

Valore attuale delle rate rimanenti

Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.

N − k = 240 − 96 = 144
B = 1386·(1 − (1 + 0,0025)−144)/0,0025 = €167 494,12

Risposta

B = €167 494,12

Domande e risposte

Valore temporale del denaro: di cosa si tratta?

Se metti €1000 in un conto di risparmio che paga il 5% di interesse all’anno, dopo un anno hai €1050. I €50 in più sono l’interesse.

Nel secondo anno guadagni il 5% su €1050, non su €1000. Quindi l’interesse è €52,50 e il saldo diventa €1102,50.

Valore temporale del denaro: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
  1. Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
  2. Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
  3. Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
  4. Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Valore temporale del denaro: quali sono gli errori più comuni?
  • Usare il tasso annuo con periodi mensili.
  • Usare l’interesse semplice invece di quello composto.
  • Contare male il numero di periodi.
Valore temporale del denaro: che cosa si esercita?
  • Facile: valore futuro
  • Media: capitalizzazione e attualizzazione
  • Difficile: rendite e prestiti

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Come funziona l’esercitazione

  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
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  • I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.

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