Detto anche: valore attuale netto · tasso interno di rendimento
Esercizi gratuiti su VAN e TIR con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: flussi uguali, flussi diversi, tasso interno di rendimento.
Esercizio gratuitoFacile
Un progetto costa €20 000 oggi e restituisce €9 000 alla fine di ogni anno per 3 anni. Il rendimento richiesto è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Preferisci avere €100 oggi o €100 tra un anno? Oggi: potresti metterli in banca e tra un anno avere più di €100.
Quindi un euro futuro vale meno di un euro adesso. Le imprese usano questa idea per decidere se vale la pena fare un investimento.
Il valore attuale netto (VAN) risponde a una domanda: quanto valgono oggi tutti i flussi di denaro di un progetto, dopo averlo pagato?
VAN maggiore di zero: il progetto rende più del rendimento richiesto. Accettalo.
VAN minore di zero: il denaro renderebbe di più altrove. Rifiutalo.
Autoverifica Un progetto ha un VAN di +€500. Che cosa significa?
I suoi flussi di cassa sommano a €500
Produce una perdita di €500
Rende esattamente il tasso richiesto
Rende più del tasso di rendimento richiesto
Risposta: Rende più del tasso di rendimento richiesto. Un VAN positivo significa che il progetto aggiunge valore oltre al rendimento richiesto. Un VAN esattamente nullo significherebbe che rende proprio il tasso richiesto.
2Attualizzare un importo
Riportare un importo futuro a oggi si chiama attualizzazione. Con un tasso r annuo, un importo ricevuto dopo t anni vale:
PV = CFt / (1 + r)t
Esempio: €1100 tra un anno al 10% valgono 1100/1,10 = €1000 oggi. Controllo: €1000 in banca al 10% diventano €1100 in un anno.
Più il denaro è lontano nel tempo, più l’esponente è grande e più il suo valore oggi è piccolo.
Scrivi sempre il tasso come decimale: 8% è 0,08, quindi dividi per 1,08.
Autoverifica Quanto valgono oggi €121, ricevuti tra 2 anni, al 10% annuo?
€100
€110
€146,41
€96,80
Risposta: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = €100. Dividere per 1,10 una sola volta dà €110, dimenticando il secondo anno.
3VAN passo dopo passo
Il VAN è la somma di tutti i flussi di cassa attualizzati. L’investimento all’anno 0 è negativo e non si attualizza, perché è già oggi.
Disegna una linea del tempo con ogni flusso di cassa nel suo anno. Il denaro in uscita è negativo, il denaro in entrata è positivo.
Attualizza ogni flusso di cassa futuro con la sua potenza di (1 + r).
Somma tutti i valori attuali, compreso il −I0 all’anno 0.
Decidi: accetta se il VAN è positivo.
Quando il flusso di cassa è uguale ogni anno, un fattore di annualità fa tutta l’attualizzazione in un colpo solo:
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Una macchina costa €9000 oggi e fa risparmiare €3600 alla fine di ogni anno per 3 anni. Il tasso di rendimento richiesto è l’8%. Trova il VAN. L’azienda dovrebbe comprarla?
1
Disegna la linea del tempo
Un pagamento in uscita adesso, tre importi uguali in entrata alla fine degli anni 1, 2 e 3.
Stesso risultato, in una riga. Usa questa scorciatoia ogni volta che i flussi di cassa sono uguali.
5
Decidi
Il VAN è positivo, quindi la macchina rende più dell’8% all’anno. L’azienda dovrebbe comprarla.
Risposta
VAN ≈ €277,55, che è positivo, quindi accetta l’investimento.
5Il tasso interno di rendimento
Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui il VAN è esattamente zero. È il rendimento annuo proprio del progetto.
Non esiste una formula semplice per calcolarlo. Provi dei tassi finché il VAN cambia segno, poi interpoli tra i due.
Nell’esempio, il VAN è +277,55 all’8%. Al 10% è 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Quindi il TIR è compreso tra l’8% e il 10%.
IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Regola decisionale: accetta quando il TIR è maggiore del tasso richiesto. Qui il 9,7% è sopra l’8%, la stessa risposta data dal VAN.
Autoverifica Il VAN di un progetto è positivo all’8% e negativo al 12%. Dove si trova il suo TIR?
Esattamente il 10%
Sopra il 12%
Sotto l’8%
Tra l’8% e il 12%
Risposta: Tra l’8% e il 12%. Il TIR è dove il VAN attraversa lo zero, quindi si trova tra i due tassi in cui cambia il segno. L’interpolazione fornisce una buona stima, ma non è automaticamente il punto medio.
6Errori comuni
Attualizzare l’investimento all’anno 0. È già in denaro di oggi.
Dimenticare del tutto l’investimento e riportare solo il valore attuale delle entrate.
Sommare i flussi di cassa senza prima attualizzarli.
Usare la percentuale invece del decimale: dividere per 1,8 invece che per 1,08.
Usare la potenza sbagliata: un flusso di cassa all’anno 3 si divide per (1 + r)³, non per (1 + r).
Autoverifica Un progetto costa €5000 e rende €5500 dopo un anno. Il tasso richiesto è il 12%. Qual è il VAN?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Risposta: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, e 4910,71 − 5000 = −€89,29. Il profitto di €500 non basta a raggiungere un rendimento del 12%, quindi rifiuta.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: un investimento e flussi di cassa annui uguali. Usa il fattore di annualità.
Medio: flussi di cassa disuguali. Attualizza ogni anno separatamente e somma.
Difficile: trova il TIR. Prova due tassi, trova dove il VAN cambia segno e interpola.
Indica sempre la decisione a parole: accettare o rifiutare, e perché.
Un progetto costa €80 000 oggi e rende €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 alla fine degli anni da 1 a 5. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero PB in anni.
Somma i flussi di cassa anno per anno finché il totale raggiunge il costo iniziale.
Nell’ultimo anno serve solo una parte del flusso di cassa: prendi la frazione che manca ancora.
dopo l’anno 3: €75 500.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa cumulati
anno 1: €30 000
anno 2: €50 000
anno 3: €75 500
anno 4: €106 500
Frazione dell’ultimo anno
ancora necessario dopo l’anno 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Risposta
PB = 3,145 anni
Esempio 2Media
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Riporta ogni flusso all'anno 0 dividendo per (1 + r)ᵗ.
Il costo iniziale è già all'anno 0 e conta come negativo.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Sommali
NPV = €−9 056,24
Risposta
NPV = €−9 056,24
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
Esempio 3Difficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €15 500, €16 000, €27 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Calcola IRR(%)
Mostra i suggerimenti
Il TIR è il tasso di sconto che rende il VAN esattamente zero.
Prova due tassi, uno con NPV > 0 e uno con NPV < 0, poi restringi (o interpola tra i due).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Preferisci avere €100 oggi o €100 tra un anno? Oggi: potresti metterli in banca e tra un anno avere più di €100.
Quindi un euro futuro vale meno di un euro adesso. Le imprese usano questa idea per decidere se vale la pena fare un investimento.
VAN e TIR: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
VAN e TIR: quali sono gli errori più comuni?
Scontare il flusso di cassa dell’anno 0.
Dimenticare l’investimento iniziale.
Sommare i flussi di cassa senza scontarli.
VAN e TIR: che cosa si esercita?
Facile: flussi uguali
Media: flussi diversi
Difficile: tasso interno di rendimento
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.