債券の価格と利回り：ステップごとの解答つき練習問題

1債券とは

債券は、売買できる借用証書のようなものです。企業や政府がお金を借り、その見返りに決まった支払いを約束します。

典型的な債券には、3 つの数が印刷されています：

• 額面 F：通常は 1000 €。最終日の満期に返済されます。
• クーポン利率：毎年、額面のこの割合が利息として支払われます。それがクーポン C です。1000 € に対する 5% のクーポンは、年 50 € です。
• 満期 n：額面が返済されるまでの年数。

クーポンと額面は固定です。変わるのは、投資家が今日支払う価格 P です。この価格は、投資家が今求めている収益率に依存します。

2価格と最終利回り

最終利回り（YTM、記号 y）は、その債券に対して市場が要求する年間の収益率です。すべての支払いに対する割引率になります。

価格は、債券が支払うすべてのものの現在価値です：クーポンは年金を、額面は最後の 1 つの金額を構成します。

利回りとクーポン利率を比べましょう。計算する前に答えがわかります：

• 利回りがクーポン利率に等しい：価格はちょうど額面の 1000 € です（平価、at par）。
• 利回りがクーポン利率より高い：価格は額面より低くなります（ディスカウント）。
• 利回りがクーポン利率より低い：価格は額面より高くなります（プレミアム）。

したがって、債券価格と利回りは常に逆向きに動きます。利回りが上がると、価格は下がります。

3ステップごとの方法

1. 1 期あたりのクーポン C、1 期あたりの利回り y、期数 n を求めます。
2. 半年ごと（年 2 回）のクーポンの場合：クーポンは半分、利回りは半分、年数は 2 倍にします。
3. クーポンの現在価値：C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y。
4. 額面の現在価値：F / (1 + y)ⁿ。
5. 2 つを足します。結果をクーポン利率と照らして確認します：ディスカウントか、プレミアムか。

手順 2 の例：年 2 回支払われる 6% のクーポンで 5 年間、利回り 5% の場合は、C = 30 €、y = 0.025、n = 10 になります。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

5最終利回りを求める

価格が与えられて、利回りを求めなければならないこともあります。y の公式はないので、いろいろな利率を試します。

クーポン 4%、残り 3 年の債券が 960 € で売られている。1000 € を下回っているので、利回りは 4% より高くなります。

1. 5% を試します：価格の式から 972.77 € になります。まだ 960 € より高いので、利回りはもっと高いはずです。
2. 6% を試します：価格は 946.54 € です。今度は 960 € より低いので、利回りは 5% と 6% の間にあります。
3. 2 つの利率の間を補間します。

YTM と直接利回り C/P = 40/960 = 4.17% を混同しないでください。直接利回りは、960 € から満期に返済される 1000 € までの 40 € の値上がり益を無視しています。

6よくある間違い

• 利回りではなく、クーポン利率で割り引く。クーポン利率は、クーポンの大きさを決めるだけです。
• 満期の額面を忘れる、あるいはクーポンを忘れる。
• 支払いを割り引かずに足してしまう。
• 年 1 回と年 2 回の期間を混同する：半年ごとのクーポンでは、C と y を半分にし、n を 2 倍にします。

7試験問題の例

• やさしい：年 1 回のクーポン。額面、クーポン利率、満期、利回りから価格を求めます。
• ふつう：年 2 回のクーポン。同じ計算ですが、クーポンと利回りは半分、期数は 2 倍にします。
• むずかしい：最終利回り。価格が与えられます。2 つの利率を試し、補間するか電卓を使います。

必ず最初に、利回りとクーポン利率を比べましょう。価格が 1000 € より高くなるか低くなるかがわかります。