貨幣の時間価値：ステップごとの解答つき練習問題

1お金が時間とともに増える理由

年利 5% の預金口座に 1000 € を預けると、1 年後には 1050 € になります。増えた 50 € が利息です。

2 年目には、1000 € ではなく 1050 € に対して 5% の利息がつきます。したがって利息は 52.50 € で、残高は 1102.50 € になります。

以前の利息にさらに利息がつくことを複利といいます。単利では、最初の 1000 € に対する 5% しか利息がつきません。

お金がこのように増えるので、今日の 1000 € は 3 年後の 1000 € より価値があります。これを貨幣の時間価値といいます。

すべての貯蓄計画、ローン、住宅ローンは、この考え方で計算されます。

2将来価値と現在価値

期ごとに、残高に (1 + i) が掛かります。i は 1 期あたりの利率（小数）です。n 期後には：

PV（現在価値）は今日の金額です。FV（将来価値）は n 期後の金額です。

逆向きの計算を割引といいます。後で目標額に達するために、今日いくら必要かがわかります：

例：年率 5% で 2 年後に 1102.50 € にするには、今日 1102.50 / 1.05² = 1000 € が必要です。

銀行はよく年間の名目利率 r を示しますが、利息は年に m 回加えられます（四半期ごとなら m = 4、毎月なら m = 12）。その場合は期ごとに計算します：

3年金：等額の支払い

年金（annuity）とは、各期末に等しい金額 A を支払う（受け取る）一連の支払いです。たとえば毎月 250 € を積み立てる、毎月ローンを返済する、といったものです。

各支払いを個別に複利計算または割引して足すこともできますが、年金の公式を使えばこの和を 1 回で計算できます。

各期に A を積み立てたときの、最終的な金額：

すべての支払いの今日の価値：

ローンは年金で返済します：借りた金額 P は、支払いの現在価値に等しくなります。これを支払額について解くと：

例：年率 6%、毎月複利、3 年間で 10 000 € を借りた場合。i = 0.005、N = 36 なので、A = 10 000 · 0.005 / (1 − 0.8356) = 月 304.22 € です。

4ステップごとの方法

1. 時間軸を描きます。わかっているもの（今日の金額、後の目標、等額の支払い）と、求めるものに印をつけます。
2. 1 期あたりの利率 i = r/m と期数 N = m · n を求めます。利率は小数で書きます。
3. 公式を選びます：1 つの金額（FV または PV）か、等額の支払いの列（年金）か。
4. 計算します。まずべき乗 (1 + i)^N を計算し、少なくとも小数点以下 4 桁は残します。
5. 答えの大きさを確認します：将来価値は預けた金額より大きく、現在価値は目標額より小さくなります。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 毎月または四半期ごとの期間に、年利をそのまま使う。利率を m で割り、年数に m を掛けましょう。
• 複利 PV · (1 + i)ⁿ ではなく、単利 PV · (1 + i · n) を使う。
• 期数を間違えて数える。たとえば、3 年間の毎月の支払いを 36 ではなく 3 とする。
• 利率をパーセントのまま書く：1.04¹² ではなく 1.4¹² としてしまう。
• 積立計画で、預けた金額だけを足してしまう。各預入金にも利息がつきます。

7試験問題の例

• やさしい：将来価値。1 回の預入れと年複利：FV = PV · (1 + i)ⁿ。
• ふつう：複利と割引。四半期複利または毎月複利で、将来価値、または今日必要な預入額を求めます。
• むずかしい：年金とローン。毎月の積立計画の最終的な金額、またはローンの毎月の支払額を求めます。

数が何を意味するかを必ず述べましょう：「3 年後には 2253.65 € になる」のように。