มูลค่าของเงินตามเวลา: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด มูลค่าของเงินตามเวลา ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: มูลค่าในอนาคต, การทบต้นและการคิดลด, เงินงวดและเงินกู้

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
ปี012n = ?€2 500€7 500

คุณฝาก €2 500 ที่ดอกเบี้ย 5% ต่อปี ทบต้นรายปี (ดอกเบี้ยเพิ่มเมื่อสิ้นปี) หลังจากกี่ปีเต็ม n ยอดคงเหลือจึงถึง €7 500 เป็นครั้งแรก

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%
ปี

จำนวนปีเต็ม

โจทย์ถัดไป →
ฝึก มูลค่าของเงินตามเวลา ฟรีฝึก มูลค่าของเงินตามเวลา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายมูลค่าในอนาคต
  2. ปานกลางการทบต้นและการคิดลด
  3. ยากเงินงวดและเงินกู้

วิธีแก้โจทย์มูลค่าของเงินตามเวลา

  1. วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
  2. จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
  3. ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
  4. ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้อัตรารายปีกับงวดรายเดือน
  • ใช้ดอกเบี้ยแบบง่ายแทนดอกเบี้ยทบต้น
  • นับจำนวนงวดผิด

สูตรสำคัญ

มูลค่าในอนาคต
FV = PV·(1 + i)n
มูลค่าปัจจุบัน
PV = FV/(1 + i)n
หลายงวดต่อปี
i = r/m, N = m·n
เงินงวด มูลค่าปัจจุบัน
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
เงินงวด มูลค่าในอนาคต
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

เรียนรู้ มูลค่าของเงินตามเวลา ตั้งแต่ต้น

1เหตุใดเงินจึงเพิ่มพูนตามเวลา

ถ้าคุณฝากเงิน €1000 ในบัญชีออมทรัพย์ที่จ่ายดอกเบี้ย 5% ต่อปี เมื่อครบหนึ่งปีคุณจะมี €1050 เงิน €50 ที่เพิ่มขึ้นมาคือดอกเบี้ย

ในปีที่สอง คุณได้ดอกเบี้ย 5% จาก €1050 ไม่ใช่จาก €1000 ดอกเบี้ยจึงเป็น €52.50 และยอดเงินกลายเป็น €1102.50

การได้ดอกเบี้ยจากดอกเบี้ยก่อนหน้านี้เรียกว่าดอกเบี้ยทบต้น ส่วนดอกเบี้ยอย่างง่ายจะคิด 5% จากเงินต้น €1000 เท่านั้นตลอดไป

0123€1000€1050€1102.50FV

เนื่องจากเงินเพิ่มพูนได้เช่นนี้ เงิน €1000 ในวันนี้จึงมีค่ามากกว่า €1000 ในอีกสามปีข้างหน้า นี่คือมูลค่าของเงินตามเวลา

แผนการออมเงิน เงินกู้ และสินเชื่อบ้านทุกประเภทคำนวณด้วยแนวคิดนี้

ตรวจสอบตนเอง คุณฝากเงิน €100 ที่ 10% ต่อปี ทบต้นทุกปี หลังจาก 2 ปีจะมีเงินในบัญชีเท่าใด
  1. €110
  2. €120
  3. €121
  4. €200

คำตอบ: €121. ปีที่ 1: 100 · 1.10 = 110 ปีที่ 2: 110 · 1.10 = 121 ส่วน €120 เป็นดอกเบี้ยอย่างง่าย ซึ่งลืมดอกเบี้ยที่เกิดจากดอกเบี้ย €10 ก้อนแรก

2มูลค่าอนาคตและมูลค่าปัจจุบัน

ในแต่ละงวด ยอดเงินจะถูกคูณด้วย (1 + i) โดยที่ i คืออัตราดอกเบี้ยต่องวดในรูปทศนิยม หลังจาก n งวด:

FV = PV · (1 + i)n

PV (มูลค่าปัจจุบัน) คือจำนวนเงินในวันนี้ FV (มูลค่าอนาคต) คือจำนวนเงินหลังจาก n งวด

การคำนวณย้อนกลับเรียกว่าการคิดลด ซึ่งบอกว่าวันนี้ต้องมีเงินเท่าใดจึงจะถึงเป้าหมายในภายหลัง:

PV = FV / (1 + i)n

ตัวอย่าง: ถ้าต้องการมีเงิน €1102.50 ในอีก 2 ปีที่อัตรา 5% วันนี้คุณต้องมี 1102.50 / 1.05² = €1000

ธนาคารมักระบุอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ r ต่อปี แต่คิดดอกเบี้ยปีละ m ครั้ง: m = 4 สำหรับรายไตรมาส m = 12 สำหรับรายเดือน แล้วจึงคำนวณต่องวด:

i = r / m N = m · n
ตรวจสอบตนเอง อัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือนเป็นเวลา 3 ปี i และ N เท่ากับเท่าใด
  1. i = 0.005 และ N = 36
  2. i = 0.005 และ N = 3
  3. i = 0.06 และ N = 36
  4. i = 0.5 และ N = 36

คำตอบ: i = 0.005 และ N = 36. i = 0.06 / 12 = 0.005 ต่อเดือน และ N = 12 · 3 = 36 เดือน การใช้อัตรารายปี 0.06 กับ 36 เดือนเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด เพราะเท่ากับคิด 6% ทุกเดือน

3เงินงวด: การชำระเท่า ๆ กัน

เงินงวด (annuity) คือชุดของการชำระเงินจำนวน A เท่า ๆ กันเมื่อสิ้นงวดทุกงวด เช่น ออมเงิน €250 ทุกเดือน หรือผ่อนชำระเงินกู้รายเดือน

0123…NAAAAPV

คุณอาจทบต้นหรือคิดลดการชำระแต่ละงวดทีละงวดแล้วนำมารวมกันก็ได้ สูตรเงินงวดหาผลรวมนี้ได้ในขั้นตอนเดียว

สิ่งที่คุณมีเมื่อสิ้นสุดแผน ถ้าออมเงิน A ทุกงวด:

FV = A · [(1 + i)N − 1] / i

มูลค่าปัจจุบันของการชำระทั้งหมด:

PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i

เงินกู้ชำระคืนด้วยเงินงวด: จำนวนเงินที่กู้ P เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของการชำระทั้งหมด แก้สมการนั้นเพื่อหาค่างวด:

A = P · i / [1 − (1 + i)−N]

ตัวอย่าง: กู้เงิน €10 000 ที่ 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน เป็นเวลา 3 ปี i = 0.005 และ N = 36 ดังนั้น A = 10 000 · 0.005 / (1 − 0.8356) = €304.22 ต่อเดือน

4วิธีทำทีละขั้น

  1. วาดเส้นเวลา ทำเครื่องหมายสิ่งที่รู้ (จำนวนเงินในวันนี้ เป้าหมายในภายหลัง การชำระเท่า ๆ กัน) และสิ่งที่ต้องหา
  2. หาอัตราดอกเบี้ยต่องวด i = r/m และจำนวนงวด N = m · n เขียนอัตราดอกเบี้ยเป็นทศนิยม
  3. เลือกสูตร: จำนวนเงินก้อนเดียว (FV หรือ PV) หรือชุดการชำระเท่า ๆ กัน (เงินงวด)
  4. คำนวณ หาค่ากำลัง (1 + i)N ก่อน และเก็บทศนิยมอย่างน้อย 4 ตำแหน่ง
  5. ตรวจสอบขนาดของคำตอบ: มูลค่าอนาคตต้องมากกว่าเงินฝาก และมูลค่าปัจจุบันต้องน้อยกว่าเป้าหมาย

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

คุณลงทุน €2000 ที่อัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 4% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส จงหามูลค่า FV ของเงินลงทุนหลังจาก 3 ปี

1

วาดเส้นเวลา

012…12€2000FV = ?

เงินก้อนเดียวถูกลงทุนในวันนี้ ต้องการหามูลค่าหลังจาก 3 ปี ซึ่งเท่ากับ 12 ไตรมาส

2

อัตราและจำนวนงวด

ดอกเบี้ยถูกเพิ่มปีละ 4 ครั้ง จึงคำนวณเป็นรายไตรมาส

i = 0.04 / 4 = 0.01
N = 4 · 3 = 12
3

ตัวคูณการเติบโต

ในแต่ละไตรมาส ยอดเงินจะถูกคูณด้วย 1.01

(1 + i)N = 1.0112 = 1.126825
4

มูลค่าในอนาคต

FV = 2000 · 1.126825 = 2253.65
5

ตรวจสอบคำตอบ

ถ้าทบต้นรายปีจะได้ 2000 · 1.04³ = €2249.73 การทบต้นรายไตรมาสให้ผลมากกว่าเล็กน้อย เพราะดอกเบี้ยเริ่มออกดอกเร็วขึ้น €2253.65 จึงสมเหตุสมผล

คำตอบ

FV ≈ €2253.65 หลังจาก 3 ปี

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้อัตรารายปีกับงวดรายเดือนหรือรายไตรมาส ให้หารอัตราด้วย m และคูณจำนวนปีด้วย m
  • ใช้ดอกเบี้ยอย่างง่าย PV · (1 + i · n) แทนดอกเบี้ยทบต้น PV · (1 + i)n
  • นับจำนวนงวดผิด เช่น ใช้ 3 แทน 36 สำหรับการชำระรายเดือนสามปี
  • เขียนอัตราดอกเบี้ยเป็นเปอร์เซ็นต์: 1.412 แทนที่จะเป็น 1.0412
  • สำหรับแผนการออม รวมเฉพาะเงินฝาก ทั้งที่เงินฝากแต่ละครั้งก็ได้ดอกเบี้ยด้วย
ตรวจสอบตนเอง คุณลงทุน €1000 ที่ 6% ต่อปี ทบต้นรายเดือน เป็นเวลา 3 ปี การคำนวณใดถูกต้อง
  1. 1000 · (1 + 0.06 · 3) = €1180
  2. 1000 · 1.00536 = €1196.68
  3. 1000 · 1.0636 = €8147.25
  4. 1000 · 1.063 = €1191.02

คำตอบ: 1000 · 1.00536 = €1196.68. ทบต้นรายเดือน: i = 0.06/12 = 0.005 และ N = 36 การใช้ 1.06 กับ 36 งวดเท่ากับคิด 6% ทุกเดือน ส่วน 1.06³ ละเลยการทบต้นรายเดือน และ 1180 เป็นดอกเบี้ยอย่างง่าย

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: มูลค่าอนาคต เงินฝากก้อนเดียวทบต้นรายปี: FV = PV · (1 + i)n
  • ปานกลาง: การทบต้นและการคิดลด ทบต้นรายไตรมาสหรือรายเดือน โดยถามหามูลค่าอนาคตหรือเงินฝากที่ต้องมีในวันนี้
  • ยาก: เงินงวดและเงินกู้ มูลค่าสุดท้ายของแผนออมเงินรายเดือน หรือค่างวดรายเดือนของเงินกู้

บอกเสมอว่าตัวเลขนั้นหมายถึงอะไร: “หลังจาก 3 ปี คุณมีเงิน €2253.65”

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
ปี012n = ?€1 000€2 500

คุณฝาก €1 000 ที่ดอกเบี้ย 8% ต่อปี ทบต้นรายปี (ดอกเบี้ยเพิ่มเมื่อสิ้นปี) หลังจากกี่ปีเต็ม n ยอดคงเหลือจึงถึง €2 500 เป็นครั้งแรก

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

จงหา n (ปี)

แสดงคำใบ้
  1. เขียน FV = PV·(1 + i)ⁿ แล้วแก้หาเลขชี้กำลัง n
  2. หาลอการิทึมธรรมชาติของทั้งสองข้าง: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i)
  3. FV/PV = 2.5, ln(2.5) = 0.9163.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

ตั้งสมการ

1 000·(1 + 0.08)n = 2 500 → (1.08)n = 2.5

แก้ด้วยลอการิทึม

n = ln(2.5)/ln(1.08) = 0.9163/0.07696 = 11.91

ปัดขึ้นเป็นปีเต็ม

ดอกเบี้ยเพิ่มเฉพาะเมื่อสิ้นปี ดังนั้นหลัง 11 ปี ยอดคงเหลือยังต่ำกว่าเป้าหมาย

1 000·1.0811 = €2 331.64 < €2 500
1 000·1.0812 = €2 518.17 ≥ €2 500
n = 12

คำตอบ

n = 12 ปี
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
งวด0123411 + EAR = ?22% / 4

บัตรเครดิตคิดอัตราดอกเบี้ยตามชื่อ 22% ต่อปี ทบต้นรายไตรมาส จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี EAR เป็นเปอร์เซ็นต์

r = 22%m = 4

จงหา EAR (%)

แสดงคำใบ้
  1. หาอัตราต่องวด r/m ก่อน
  2. EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1
  3. r/m = 0.055.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

อัตราต่องวด

r/m = 0.22/4 = 0.055

ทบตลอดหนึ่งปี

EAR = (1 + 0.055)4 − 1 = 1.239 − 1 = 23.88%

คำตอบ

EAR = 23.88%

EAR สูงกว่าอัตราตามชื่อเสมอเมื่อทบต้นมากกว่าหนึ่งครั้งต่อปี

ตัวอย่างที่ 3ยาก
เดือน01…96…240€250 000AB = ?A3% / 12

สินเชื่อบ้าน €250 000 ผ่อนชำระด้วยงวดรายเดือนเท่ากันเป็นเวลา 20 ปี ที่ 3% ต่อปี ทบต้นรายเดือน หลังจ่ายงวดสิ้นปีที่ 8 ทันที ยังเป็นหนี้เท่าใด จงหายอดหนี้คงค้าง B

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

จงหา B (€)

แสดงคำใบ้
  1. ก่อนอื่นหางวดรายเดือน A ด้วยสูตรเงินงวด
  2. ยอดคงค้างเท่ากับมูลค่าปัจจุบันของเงินงวดที่ยังต้องจ่าย
  3. A = €1 386.49, งวดที่เหลือ: 144.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

มูลค่าเงินตามเวลา: เงินวันนี้มีค่ามากกว่าเงินจำนวนเดียวกันในอนาคต เพราะสามารถหาดอกเบี้ยได้ เมื่อมีอัตราดอกเบี้ย i ต่องวด จำนวนเงินจะเพิ่มเป็น FV = PV·(1 + i)n เงินงวดที่จ่ายเท่ากันทุกงวด (annuity) หามูลค่าได้โดยรวมแต่ละงวดเข้าด้วยกัน ซึ่งให้สูตรเงินงวด

เงินผ่อนต่อเดือน

i = 0.0025, N = 240
A = 250 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−240) = €1 386.49

มูลค่าปัจจุบันของงวดที่เหลือ

หนี้ที่ยังคงค้างต้องถูกชำระหมดพอดีด้วยงวดที่เหลือ

N − k = 240 − 96 = 144
B = 1386·(1 − (1 + 0.0025)−144)/0.0025 = €167 494.12

คำตอบ

B = €167 494.12

คำถามและคำตอบ

มูลค่าของเงินตามเวลา คืออะไร

ถ้าคุณฝากเงิน €1000 ในบัญชีออมทรัพย์ที่จ่ายดอกเบี้ย 5% ต่อปี เมื่อครบหนึ่งปีคุณจะมี €1050 เงิน €50 ที่เพิ่มขึ้นมาคือดอกเบี้ย

ในปีที่สอง คุณได้ดอกเบี้ย 5% จาก €1050 ไม่ใช่จาก €1000 ดอกเบี้ยจึงเป็น €52.50 และยอดเงินกลายเป็น €1102.50

จะแก้โจทย์ มูลค่าของเงินตามเวลา ทีละขั้นได้อย่างไร
  1. วาดเส้นเวลาพร้อมกระแสเงินสดทุกรายการและเวลาของมัน
  2. จับคู่อัตรากับงวด: ใช้อัตรารายเดือนสำหรับการผ่อนรายเดือน
  3. ใช้ FV = PV·(1 + i)ⁿ สำหรับจำนวนเดียว และสูตรเงินงวดสำหรับการจ่ายเท่ากัน
  4. ตรวจสอบเครื่องหมายและขนาดของคำตอบ
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน มูลค่าของเงินตามเวลา มีอะไรบ้าง
  • ใช้อัตรารายปีกับงวดรายเดือน
  • ใช้ดอกเบี้ยแบบง่ายแทนดอกเบี้ยทบต้น
  • นับจำนวนงวดผิด
แบบฝึกหัด มูลค่าของเงินตามเวลา ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: มูลค่าในอนาคต
  • ปานกลาง: การทบต้นและการคิดลด
  • ยาก: เงินงวดและเงินกู้

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

เรียนต่อด้วย

ราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรNPV และ IRR

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณดอกเบี้ยทบต้นเครื่องคำนวณเงินผ่อนชำระเงินกู้

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

การเงินธุรกิจการลงทุนและการประเมินมูลค่าฝึกข้อสอบ FE โยธาฝึก CFA Level I วิธีเชิงปริมาณและตราสารหนี้

หัวข้ออื่นในธุรกิจและเศรษฐศาสตร์

NPV และ IRRราคาและอัตราผลตอบแทนของพันธบัตรCAPM และ WACCความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคาแนวคิดทางเศรษฐศาสตร์การวิเคราะห์จุดคุ้มทุนการบัญชีการเงินค่าเสื่อมราคาหลักการตลาด

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน มูลค่าของเงินตามเวลา พร้อมเฉลย
ฝึก มูลค่าของเงินตามเวลา ฟรีฝึก มูลค่าของเงินตามเวลา เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร