Paranın zaman değeri: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: bileşik faiz · bugünkü değer · gelecek değer · finans matematiği

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Paranın zaman değeri alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: gelecek değer, bileşik faiz ve iskonto, anüiteler ve krediler.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
yıl012n = ?€2 500€7 500

Yıllık bileşik %5 faizle (faiz her yılın sonunda eklenir) €2 500 yatırıyorsunuz. Bakiye kaç tam yıl n sonra ilk kez en az €7 500 olur?

PV = €2 500FV = €7 500i = 5%
yıl

Tam sayı olarak yıl.

Sonraki soru →
Paranın zaman değeri konusunu ücretsiz çalışınParanın zaman değeri konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaygelecek değer
  2. Ortabileşik faiz ve iskonto
  3. Zoranüiteler ve krediler

Paranın zaman değeri soruları nasıl çözülür

  1. Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
  2. Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
  3. Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
  4. Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

Sık yapılan hatalar

  • Aylık dönemlerle yıllık oranı kullanmak.
  • Bileşik faiz yerine basit faiz kullanmak.
  • Dönem sayısını yanlış saymak.

Temel formüller

Gelecek değer
FV = PV·(1 + i)n
Bugünkü değer
PV = FV/(1 + i)n
Yılda birden çok dönem
i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anüite, gelecek değer
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Paranın zaman değeri konusunu sıfırdan öğrenin

1Para zamanla neden büyür

Yıllık %5 faiz veren bir tasarruf hesabına 1000 € yatırırsanız bir yıl sonra 1050 €’nuz olur. Fazladan 50 €, faizdir.

İkinci yıl 1000 €’ya değil, 1050 €’ya %5 kazanırsınız. Yani faiz 52,50 € olur ve bakiye 1102,50 € olur.

Önceki faiz üzerinden faiz kazanmaya bileşik faiz denir. Basit faizde yalnızca ilk 1000 €’nun %5’ini kazanırsınız.

0123€1000€1050€1102,50FV

Para böyle büyüyebildiği için bugünkü 1000 €, üç yıl sonraki 1000 €’dan daha değerlidir. Buna paranın zaman değeri denir.

Her tasarruf planı, kredi ve konut kredisi bu fikirle hesaplanır.

Kendini sına Yıllık %10 ile, yıllık bileşik olarak 100 € yatırıyorsunuz. 2 yıl sonra hesapta ne kadar olur?
  1. €110
  2. €120
  3. €121
  4. €200

Cevap: €121. 1. yıl: 100 · 1,10 = 110. 2. yıl: 110 · 1,10 = 121. 120 € basit faizdir: ilk 10 €’luk faizin kazandığı faizi unutur.

2Gelecek değer ve bugünkü değer

Her dönemde bakiye (1 + i) ile çarpılır; burada i, dönem başına faiz oranıdır (ondalık). n dönem sonra:

FV = PV · (1 + i)n

PV (bugünkü değer) bugünkü tutardır. FV (gelecek değer) n dönem sonraki tutardır.

Geriye gitmeye iskonto etme denir. Daha sonra bir hedefe ulaşmak için bugün ne kadara ihtiyacınız olduğunu söyler:

PV = FV / (1 + i)n

Örnek: %5 ile 2 yıl sonra 1102,50 €’ya sahip olmak için bugün 1102,50 / 1,05² = 1000 € gerekir.

Bankalar çoğu zaman yıllık bir nominal oran r verir ama faizi yılda m kez ekler: üç aylık için m = 4, aylık için m = 12. O zaman dönem başına çalışırsınız:

i = r / m N = m · n
Kendini sına Yıllık %6’lık bir oran 3 yıl boyunca aylık bileşikleniyor. i ve N nedir?
  1. i = 0,005 ve N = 36
  2. i = 0,005 ve N = 3
  3. i = 0,06 ve N = 36
  4. i = 0,5 ve N = 36

Cevap: i = 0,005 ve N = 36. i = 0,06 / 12 = ayda 0,005 ve N = 12 · 3 = 36 ay. Yıllık 0,06’yı 36 ayla kullanmak en sık yapılan hatadır: her ay %6 sayar.

3Annüiteler: eşit ödemeler

Annüite, her dönem sonunda yapılan eşit A ödemeleri dizisidir; örneğin her ay biriktirilen 250 € ya da aylık kredi geri ödemesi.

0123…NAAAAPV

Her ödemeyi ayrı ayrı bileşikleyebilir ya da iskonto edip toplayabilirsiniz. Annüite formülleri bu toplamı tek adımda yapar.

Her dönem A biriktirirseniz sonunda elinizde olan:

FV = A · [(1 + i)N − 1] / i

Tüm ödemelerin bugünkü değeri:

PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i

Kredi bir annüiteyle geri ödenir: borç alınan P tutarı, ödemelerin bugünkü değerine eşittir. Bunu ödeme için çözün:

A = P · i / [1 − (1 + i)−N]

Örnek: yıllık %6 ile, aylık bileşik, 3 yıl için 10 000 € borç. i = 0,005 ve N = 36, yani A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = ayda 304,22 €.

4Adım adım yöntem

  1. Bir zaman çizelgesi çizin. Bilinenleri (bugünkü bir tutar, sonraki bir hedef, eşit ödemeler) ve bulmanız gerekeni işaretleyin.
  2. Dönem başına oranı i = r/m ve dönem sayısını N = m · n bulun. Oranı ondalık yazın.
  3. Formülü seçin: tek bir tutar (FV ya da PV) veya eşit ödemeler dizisi (annüite).
  4. Hesaplayın. Önce (1 + i)N kuvvetini hesaplayın ve en az 4 ondalık basamak tutun.
  5. Cevabın büyüklüğünü kontrol edin: gelecek değer yatırımdan büyüktür, bugünkü değer hedeften küçüktür.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Yıllık %4 nominal oranla, üç aylık bileşik olarak 2000 € yatırıyorsunuz. 3 yıl sonra yatırımın değerini FV bulun.

1

Zaman çizelgesini çizin

012…12€2000FV = ?

Bugün tek bir tutar giriyor. 3 yıl sonraki değerini istiyorsunuz; bu 12 çeyrektir.

2

Oran ve dönem sayısı

Faiz yılda 4 kez eklenir, bu yüzden çeyrek dönemlerle çalışın.

i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3

Büyüme çarpanı

Her çeyrekte bakiye 1,01 ile çarpılır.

(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4

Gelecek değer

FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5

Cevabı kontrol edin

Yıllık bileşikle 2000 · 1,04³ = 2249,73 € alırdınız. Üç aylık bileşik biraz daha fazla verir, çünkü faiz daha erken faiz kazanmaya başlar. 2253,65 € uyuyor.

Cevap

3 yıl sonra FV ≈ 2253,65 €.

6Sık yapılan hatalar

  • Aylık ya da üç aylık dönemlerde yıllık oranı kullanmak. Oranı m’ye bölün ve yılları m ile çarpın.
  • Bileşik faiz PV · (1 + i)n yerine basit faiz PV · (1 + i · n) kullanmak.
  • Dönem sayısını yanlış saymak, örneğin üç yıllık aylık ödemeler için 36 yerine 3.
  • Oranı yüzde olarak yazmak: 1,0412 yerine 1,412.
  • Tasarruf planında yalnızca yatırılanları toplamak. Her yatırım da faiz kazanır.
Kendini sına Yıllık %6 ile, aylık bileşik olarak 3 yıl boyunca 1000 € yatırıyorsunuz. Hangi hesap doğrudur?
  1. 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
  2. 1000 · 1,00536 = 1196,68 €
  3. 1000 · 1,0636 = 8147,25 €
  4. 1000 · 1,063 = 1191,02 €

Cevap: 1000 · 1,00536 = 1196,68 €. Aylık bileşik: i = 0,06/12 = 0,005 ve N = 36. 36 dönem için 1,06 kullanmak her ay %6 uygular. 1,06³ aylık bileşiği yok sayar ve 1180 basit faizdir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: gelecek değer. Yıllık bileşikle tek yatırım: FV = PV · (1 + i)n.
  • Orta: bileşikleme ve iskonto. Üç aylık ya da aylık bileşik; gelecek değer veya bugün gereken yatırım istenir.
  • Zor: annüiteler ve krediler. Aylık bir tasarruf planının son değeri ya da bir kredinin aylık ödemesi.

Sayının ne anlama geldiğini her zaman söyleyin: “3 yıl sonra 2253,65 €’nuz olur”.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
yıl012n = ?€1 000€2 500

Yıllık bileşik %8 faizle (faiz her yılın sonunda eklenir) €1 000 yatırıyorsunuz. Bakiye kaç tam yıl n sonra ilk kez en az €2 500 olur?

PV = €1 000FV = €2 500i = 8%

İstenen: n (yıl)

İpuçlarını göster
  1. FV = PV·(1 + i)ⁿ yazın ve üs n için çözün.
  2. İki tarafın doğal logaritmasını alın: n = ln(FV/PV)/ln(1 + i).
  3. FV/PV = 2,5, ln(2,5) = 0,9163.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)n olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Denklemi kurun

1 000·(1 + 0,08)n = 2 500 → (1,08)n = 2,5

Logaritmayla çözün

n = ln(2,5)/ln(1,08) = 0,9163/0,07696 = 11,91

Tam yıla yukarı yuvarlayın

Faiz yalnızca her yılın sonunda eklenir, bu yüzden 11 yıl sonra bakiye hâlâ hedefin altındadır.

1 000·1,0811 = €2 331,64 < €2 500
1 000·1,0812 = €2 518,17 ≥ €2 500
n = 12

Cevap

n = 12 yıl
Örnek 2Orta
dönemler0123411 + EAR = ?22% / 4

Bir kredi kartı yıllık %22 nominal faiz uyguluyor, üç aylık bileşik. Efektif yıllık faiz oranı EAR değerini yüzde olarak bulun.

r = 22%m = 4

İstenen: EAR (%)

İpuçlarını göster
  1. Önce dönem başına oran r/m’yi bulun.
  2. EAR = (1 + r/m)ᵐ − 1.
  3. r/m = 0,055.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)n olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Dönem başına oran

r/m = 0,22/4 = 0,055

Bir yıl boyunca bileşik

EAR = (1 + 0,055)4 − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Cevap

EAR = 23,88%

Faiz yılda birden fazla kez bileşik hesaplandığında EAR her zaman nominal orandan büyüktür.

Örnek 3Zor
ay01…96…240€250 000AB = ?A3% / 12

€250 000 tutarındaki bir konut kredisi, aylık bileşik yıllık %3 faizle 20 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle geri ödeniyor. 8. yılın sonundaki ödemeden hemen sonra hâlâ ne kadar borç vardır? Kalan bakiye B değerini bulun.

P = €250 0003% / 12N = 240k = 96

İstenen: B (€)

İpuçlarını göster
  1. Önce anüite formülüyle aylık ödeme A’yı bulun.
  2. Bakiye, henüz yapılacak ödemelerin bugünkü değerine eşittir.
  3. A = €1 386,49, kalan ödemeler: 144.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)n olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Aylık taksit

i = 0,0025, N = 240
A = 250 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−240) = €1 386,49

Kalan ödemelerin bugünkü değeri

Hâlâ borçlu olunan tutar, kalan ödemelerle tam olarak kapatılmalıdır.

N − k = 240 − 96 = 144
B = 1386·(1 − (1 + 0,0025)−144)/0,0025 = €167 494,12

Cevap

B = €167 494,12

Sorular ve cevaplar

Paranın zaman değeri nedir?

Yıllık %5 faiz veren bir tasarruf hesabına 1000 € yatırırsanız bir yıl sonra 1050 €’nuz olur. Fazladan 50 €, faizdir.

İkinci yıl 1000 €’ya değil, 1050 €’ya %5 kazanırsınız. Yani faiz 52,50 € olur ve bakiye 1102,50 € olur.

Paranın zaman değeri soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
  2. Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
  3. Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
  4. Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.
Paranın zaman değeri konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Aylık dönemlerle yıllık oranı kullanmak.
  • Bileşik faiz yerine basit faiz kullanmak.
  • Dönem sayısını yanlış saymak.
Paranın zaman değeri alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: gelecek değer
  • Orta: bileşik faiz ve iskonto
  • Zor: anüiteler ve krediler

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Sonra devam edin

Tahvil fiyatlaması ve getiriNBD ve IRR

Hesaplayıcılar

Bileşik faiz hesaplayıcıKredi taksiti hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Kurumsal FinansmanYatırım ve DeğerlemeFE Civil sınav hazırlığıCFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları

İşletme ve ekonomi alanında diğer konular

NBD ve IRRTahvil fiyatlaması ve getiriCAPM ve WACCTalebin fiyat esnekliğiEkonomi kavramlarıBaşabaş analiziFinansal muhasebeAmortismanPazarlama ilkeleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Paranın zaman değeri çalışma kâğıdı
Paranın zaman değeri konusunu ücretsiz çalışınParanın zaman değeri konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.