Prix et rendement des obligations : exercices corrigés pas à pas

Q: Prix et rendement des obligations : de quoi s’agit-il ?

Une obligation est un prêt que l’on peut acheter et vendre. Une entreprise ou un État emprunte de l’argent et promet en échange des paiements fixes. Une obligation typique porte trois nombres imprimés :

Q: Prix et rendement des obligations : que couvrent les exercices ?

Facile: coupons annuels Moyen: coupons semestriels Difficile: taux de rendement actuariel Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Exercices gratuits sur Prix et rendement des obligations avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : coupons annuels, coupons semestriels, taux de rendement actuariel.

Exercice gratuitFacile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5%. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 2,5%n = 9

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Ce que vous travaillez

Facilecoupons annuels
Moyencoupons semestriels
Difficiletaux de rendement actuariel

Comment résoudre les exercices de Prix et rendement des obligations

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

Erreurs fréquentes

Actualiser au taux du coupon au lieu du rendement.
Oublier la valeur nominale à l’échéance.
Mélanger périodes annuelles et semestrielles.

Formules clés

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

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Avant cela : Valeur temps de l'argent

1Ce qu’est une obligation

Une obligation est un prêt que l’on peut acheter et vendre. Une entreprise ou un État emprunte de l’argent et promet en échange des paiements fixes.

Une obligation typique porte trois nombres imprimés :

La valeur nominale F, généralement 1000 €. Elle est remboursée le dernier jour, l’échéance.
Le taux du coupon. Chaque année, l’obligation verse ce pourcentage de la valeur nominale sous forme d’intérêts, le coupon C. Un coupon de 5 % sur 1000 € fait 50 € par an.
L’échéance n : le nombre d’années avant le remboursement de la valeur nominale.

Les coupons et la valeur nominale sont fixes. Ce qui change, c’est le prix P que les investisseurs paient aujourd’hui. Ce prix dépend du rendement que les investisseurs veulent maintenant.

Auto-évaluation Une obligation a une valeur nominale de 1000 € et un taux de coupon de 6 %, versé une fois par an. Quel est le coupon C ?

€1060
€600
€60
€6

Réponse: €60. C = 6 % de la valeur nominale = 0,06 · 1000 = 60 € par an. 1060 € est le dernier paiement (coupon plus valeur nominale), et non le coupon.

2Prix et rendement à l’échéance

Le rendement à l’échéance (YTM, noté y) est le rendement annuel que le marché exige sur l’obligation. C’est le taux d’actualisation de tous ses paiements.

Le prix est la valeur actuelle de tout ce que l’obligation verse : les coupons forment une annuité, et la valeur nominale est un montant unique à la fin.

P = C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y + F / (1 + y)ⁿ

Comparez le rendement avec le taux du coupon. Cela vous donne la réponse avant de calculer :

Rendement égal au taux du coupon : le prix est exactement la valeur nominale, 1000 € (au pair).
Rendement supérieur au taux du coupon : le prix est inférieur à la valeur nominale (une décote).
Rendement inférieur au taux du coupon : le prix est supérieur à la valeur nominale (une prime).

Ainsi, les prix et les rendements des obligations évoluent toujours en sens opposés. Quand les rendements montent, les prix baissent.

Auto-évaluation Une obligation a un coupon de 4 %. Le rendement du marché est de 6 %. Où se situera son prix ?

Au-dessus de la valeur nominale
En dessous de la valeur nominale
Exactement à la valeur nominale
À la valeur nominale plus un coupon

Réponse: En dessous de la valeur nominale. L’obligation ne verse que 4 % alors que les investisseurs veulent 6 %. Ils ne l’achèteront qu’à un prix plus bas, elle se vend donc avec une décote.

3La méthode pas à pas

Trouvez le coupon par période C, le rendement par période y et le nombre de périodes n.
Pour des coupons semestriels : utilisez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois le nombre d’années.
Valeur actuelle des coupons : C · [1 − (1 + y)⁻ⁿ] / y.
Valeur actuelle de la valeur nominale : F / (1 + y)ⁿ.
Additionnez les deux. Comparez le résultat avec le taux du coupon : décote ou prime ?

Exemple pour l’étape 2 : un coupon de 6 % versé deux fois par an pendant 5 ans, avec un rendement de 5 %, donne C = 30 €, y = 0,025 et n = 10.

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une obligation de valeur nominale 1000 € verse un coupon annuel de 5 % et arrive à échéance dans 3 ans. Le rendement à l’échéance est de 6 %. Trouvez le prix P de l’obligation.

Dessinez les flux

Le coupon est 0,05 · 1000 = 50 € par an. La troisième année, l’obligation rembourse aussi les 1000 €.

Valeurs par période

Les coupons sont annuels, donc une période est une année.

C = 50 y = 0,06 n = 3

(1,06)⁻³ = 0,839619

Valeur actuelle des coupons

50 · (1 − 0,839619) / 0,06 = 133,65

Valeur actuelle du nominal

1000 · 0,839619 = 839,62

Additionner

P = 133,65 + 839,62 = 973,27

Vérifiez la réponse

Actualisez chaque paiement séparément : 50/1,06 + 50/1,06² + 1050/1,06³ = 47,17 + 44,50 + 881,60 = 973,27 €.

Le rendement (6 %) est supérieur au taux du coupon (5 %), donc un prix inférieur à 1000 € est ce qu’on attend.

Réponse

P ≈ 973,27 €, une décote car le rendement est supérieur au taux du coupon.

5Trouver le rendement à l’échéance

Parfois le prix est donné et vous devez trouver le rendement. Il n’existe pas de formule pour y, donc vous essayez des taux.

Une obligation à coupon de 4 % et à 3 ans de l’échéance se vend 960 €. Elle se vend en dessous de 1000 €, donc le rendement est supérieur à 4 %.

Essayez 5 % : la formule du prix donne 972,77 €. C’est encore supérieur à 960 €, donc le rendement doit être plus élevé.
Essayez 6 % : le prix est de 946,54 €. Il est maintenant inférieur à 960 €, donc le rendement se situe entre 5 % et 6 %.
Interpolez entre les deux taux.

y ≈ 5% + 1% · (972,77 − 960) / (972,77 − 946,54) ≈ 5,49%

Ne confondez pas le rendement à l’échéance avec le rendement courant, C/P = 40/960 = 4,17 %. Le rendement courant ignore le gain de 40 € entre 960 € et les 1000 € remboursés à l’échéance.

Auto-évaluation Une obligation se vend 1050 €. Son taux de coupon est de 5 %. Que savez-vous de son rendement à l’échéance ?

Il est exactement de 5 %
Il est inférieur à 5 %
Il est supérieur à 5 %
Il est égal à 50/1050 = 4,76 %

Réponse: Il est inférieur à 5 %. Le prix est supérieur à la valeur nominale (une prime), donc le rendement est inférieur au taux du coupon. 4,76 % est le rendement courant, qui ignore la perte de 50 € à l’échéance.

6Erreurs fréquentes

Actualiser au taux du coupon au lieu du rendement. Le taux du coupon ne fixe que la taille du coupon.
Oublier la valeur nominale à l’échéance, ou oublier les coupons.
Additionner les paiements sans les actualiser.
Mélanger les périodes annuelles et semestrielles : avec des coupons semestriels, divisez C et y par deux et doublez n.

Auto-évaluation Une obligation à 2 ans a une valeur nominale de 1000 €, un coupon annuel de 5 % et un rendement de 6 %. Quel est son prix ?

€1000
€1100
€981,67
€990,00

Réponse: €981,67. 50/1,06 + 1050/1,06² = 47,17 + 934,50 = 981,67 €. 1000 € vient d’une actualisation au taux du coupon, 1100 € d’une addition sans actualisation, et 990,00 € d’une absence d’actualisation des coupons.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

Facile : coupons annuels. Trouvez le prix à partir de la valeur nominale, du taux du coupon, de l’échéance et du rendement.
Moyen : coupons semestriels. Même chose, avec la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Difficile : rendement à l’échéance. Le prix est donné. Essayez deux taux, puis interpolez ou utilisez une calculatrice.

Comparez toujours d’abord le rendement avec le taux du coupon. Cela vous dit si le prix doit être supérieur ou inférieur à 1000 €.

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 7%. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 8%YTM = 7%n = 10

Calculer P (€)

Afficher les indices

Le prix est la valeur actuelle des coupons plus la valeur actuelle du nominal.
Coupon annuel : €80,00. Actualisez au taux YTM.
(1 + 0,07)⁻¹⁰ = 0,5083.

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €80,00, i = 0,07, N = 10

Valeur actuelle des coupons

€80,00·(1 − 0,5083)/0,07 = €561,89

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,5083 = €508,35

Prix

P = €1 070,24

Réponse

P = €1 070,24

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

Exemple 2Moyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 15 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 4% à 3%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?

F = €1 000coupon = 7%n = 15y₁ = 4%y₂ = 3%

Calculer ΔP (€)

Afficher les indices

Calculez le prix de l’obligation à l’ancien rendement et au nouveau.
P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ.
P₁ = €1 333,55.

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Prix à l’ancien rendement

C = €70,00, i = 0,04, N = 15

€70,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €778,29 + €555,26 = €1 333,55

Prix au nouveau rendement

C = €70,00, i = 0,03, N = 15

€70,00·(1 − 0,6419)/0,03 + €1 000·0,6419 = €835,66 + €641,86 = €1 477,52

Variation

ΔP = 1 477,52 − 1 333,55 = €143,97

Réponse

ΔP = €143,97

Exemple 3Difficile

Une obligation cote €930 avec un taux de rendement actuariel de 7% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 9,5 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 150 points de base.

P₀ = €930y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

Calculer P (€)

Afficher les indices

Duration modifiée : D mod = D/(1 + y).
D_mod = 9,5/1,07 = 8,879; 1 bp = 0,01% = 0,0001.
%ΔP ≈ −D mod·Δy.

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 9,5/1,07 = 8,879

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%

P ≈ 930·(1 + 0,1332) = €1 053,86

Réponse

P = €1 053,86

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

Questions et réponses

Prix et rendement des obligations : de quoi s’agit-il ?

Une obligation est un prêt que l’on peut acheter et vendre. Une entreprise ou un État emprunte de l’argent et promet en échange des paiements fixes.

Une obligation typique porte trois nombres imprimés :

Prix et rendement des obligations : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

Prix et rendement des obligations : quelles sont les erreurs fréquentes ?

Actualiser au taux du coupon au lieu du rendement.
Oublier la valeur nominale à l’échéance.
Mélanger périodes annuelles et semestrielles.

Prix et rendement des obligations : que couvrent les exercices ?

Facile: coupons annuels
Moyen: coupons semestriels
Difficile: taux de rendement actuariel

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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