Valeur temps de l'argent : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : actualisation · capitalisation · intérêts composés · mathématiques financières
Exercices gratuits sur Valeur temps de l'argent avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : valeur future, capitalisation et actualisation, annuités et prêts.
Apprendre Valeur temps de l'argent depuis zéro
1Pourquoi l’argent croît avec le temps
Si vous placez 1000 € sur un compte d’épargne qui rapporte 5 % d’intérêts par an, vous avez 1050 € au bout d’un an. Les 50 € en plus sont les intérêts.
La deuxième année, vous gagnez 5 % sur 1050 €, et non sur 1000 €. Les intérêts sont donc de 52,50 € et le solde devient 1102,50 €.
Gagner des intérêts sur des intérêts précédents s’appelle les intérêts composés. Avec des intérêts simples, vous ne gagneriez jamais que 5 % des 1000 € de départ.
Parce que l’argent peut croître ainsi, 1000 € aujourd’hui valent plus que 1000 € dans trois ans. C’est la valeur temps de l’argent.
Tout plan d’épargne, tout prêt et tout crédit immobilier se calcule avec cette idée.
Auto-évaluation Vous déposez 100 € à 10 % par an, avec capitalisation annuelle. Combien y a-t-il sur le compte après 2 ans ?
- €110
- €120
- €121
- €200
Réponse: €121. Année 1 : 100 · 1,10 = 110. Année 2 : 110 · 1,10 = 121. 120 € correspond aux intérêts simples : cela oublie les intérêts gagnés sur les 10 premiers euros d’intérêts.
2Valeur future et valeur actuelle
À chaque période, le solde est multiplié par (1 + i), où i est le taux d’intérêt par période sous forme décimale. Après n périodes :
FV = PV · (1 + i)n
PV (valeur actuelle) est le montant aujourd’hui. FV (valeur future) est le montant après n périodes.
Revenir en arrière s’appelle l’actualisation. Elle vous dit de combien vous avez besoin aujourd’hui pour atteindre un objectif plus tard :
PV = FV / (1 + i)n
Exemple : pour avoir 1102,50 € dans 2 ans à 5 %, il vous faut 1102,50 / 1,05² = 1000 € aujourd’hui.
Les banques indiquent souvent un taux nominal annuel r mais ajoutent les intérêts m fois par an : m = 4 pour un trimestre, m = 12 pour un mois. On travaille alors par période :
i = r / m N = m · n
Auto-évaluation Un taux de 6 % par an est capitalisé mensuellement pendant 3 ans. Que valent i et N ?
- i = 0,005 et N = 36
- i = 0,005 et N = 3
- i = 0,06 et N = 36
- i = 0,5 et N = 36
Réponse: i = 0,005 et N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 par mois et N = 12 · 3 = 36 mois. Utiliser le taux annuel 0,06 avec 36 mois est l’erreur la plus fréquente : cela compte 6 % chaque mois.
3Annuités : versements égaux
Une annuité est une série de versements égaux A à la fin de chaque période, par exemple 250 € épargnés chaque mois ou un remboursement mensuel de prêt.
Vous pourriez capitaliser ou actualiser chaque versement séparément et additionner. Les formules d’annuité font cette somme en une seule étape.
Ce que vous avez à la fin si vous épargnez A à chaque période :
FV = A · [(1 + i)N − 1] / i
Ce que valent tous les versements aujourd’hui :
PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i
Un prêt se rembourse par annuités : le montant emprunté P est égal à la valeur actuelle des versements. Résolvez cela pour le versement :
A = P · i / [1 − (1 + i)−N]
Exemple : 10 000 € empruntés à 6 % par an, capitalisés mensuellement, sur 3 ans. i = 0,005 et N = 36, donc A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = 304,22 € par mois.
4La méthode pas à pas
- Dessinez une frise chronologique. Marquez ce qui est connu (un montant aujourd’hui, un objectif plus tard, des versements égaux) et ce que vous devez trouver.
- Trouvez le taux par période i = r/m et le nombre de périodes N = m · n. Écrivez le taux sous forme décimale.
- Choisissez la formule : un seul montant (FV ou PV) ou une série de versements égaux (annuité).
- Calculez. Calculez d’abord la puissance (1 + i)N et gardez au moins 4 décimales.
- Vérifiez l’ordre de grandeur de la réponse : une valeur future est supérieure au dépôt, et une valeur actuelle est inférieure à l’objectif.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détailléVous placez 2000 € à un taux nominal de 4 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez la valeur FV du placement après 3 ans.
1Un seul montant est placé aujourd’hui. Vous voulez sa valeur après 3 ans, soit 12 trimestres.
2Les intérêts sont ajoutés 4 fois par an, donc on travaille en trimestres.
i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3Chaque trimestre, le solde est multiplié par 1,01.
(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5Avec une capitalisation annuelle, vous obtiendriez 2000 · 1,04³ = 2249,73 €. La capitalisation trimestrielle donne un peu plus, car les intérêts commencent plus tôt à rapporter des intérêts. 2253,65 € convient.
Réponse FV ≈ 2253,65 € après 3 ans.
6Erreurs fréquentes
- Utiliser le taux annuel avec des périodes mensuelles ou trimestrielles. Divisez le taux par m et multipliez les années par m.
- Utiliser les intérêts simples, PV · (1 + i · n), au lieu des intérêts composés, PV · (1 + i)n.
- Se tromper dans le nombre de périodes, par exemple 3 au lieu de 36 pour trois ans de versements mensuels.
- Écrire le taux en pourcentage : 1,412 au lieu de 1,0412.
- Pour un plan d’épargne, n’additionner que les dépôts. Chaque dépôt rapporte aussi des intérêts.
Auto-évaluation Vous placez 1000 € à 6 % par an, capitalisés mensuellement, pendant 3 ans. Quel calcul est correct ?
- 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
- 1000 · 1,00536 = 1196,68 €
- 1000 · 1,0636 = 8147,25 €
- 1000 · 1,063 = 1191,02 €
Réponse: 1000 · 1,00536 = 1196,68 €. Capitalisation mensuelle : i = 0,06/12 = 0,005 et N = 36. Utiliser 1,06 sur 36 périodes revient à appliquer 6 % chaque mois. 1,06³ ignore la capitalisation mensuelle, et 1180 correspond aux intérêts simples.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
- Facile : valeur future. Un seul dépôt avec capitalisation annuelle : FV = PV · (1 + i)n.
- Moyen : capitalisation et actualisation. Capitalisation trimestrielle ou mensuelle, avec une valeur future demandée ou le dépôt nécessaire aujourd’hui.
- Difficile : annuités et prêts. La valeur finale d’un plan d’épargne mensuel, ou la mensualité d’un prêt.
Dites toujours ce que signifie le nombre : « après 3 ans, vous avez 2253,65 € ».
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