Aussi appelé : valeur actuelle nette · taux de rentabilité interne · actualisation
Exercices gratuits sur VAN et TRI avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : flux égaux, flux inégaux, taux de rendement interne.
Exercice gratuitFacile
Un projet coûte €20 000 aujourd'hui et rapporte €9 000 à la fin de chaque année pendant 3 ans. Le taux de rendement exigé est de 12 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Préféreriez-vous avoir 100 € aujourd’hui ou 100 € dans un an ? Aujourd’hui : vous pourriez les placer à la banque et avoir plus de 100 € dans un an.
Un euro dans le futur vaut donc moins qu’un euro maintenant. Les entreprises utilisent cette idée pour décider si un investissement vaut la peine.
La valeur actuelle nette (VAN) répond à une question : que valent aujourd’hui tous les flux d’argent d’un projet, une fois celui-ci payé ?
VAN supérieure à zéro : le projet rapporte plus que le rendement exigé. Acceptez-le.
VAN inférieure à zéro : l’argent serait mieux placé ailleurs. Rejetez-le.
Auto-évaluation Un projet a une VAN de +500 €. Que cela signifie-t-il ?
Il fait une perte de 500 €
Il rapporte exactement le taux exigé
Il rapporte plus que le taux de rendement exigé
Ses flux de trésorerie totalisent 500 €
Réponse: Il rapporte plus que le taux de rendement exigé. Une VAN positive signifie que le projet crée de la valeur en plus du rendement exigé. Une VAN exactement nulle signifierait qu’il rapporte tout juste le taux exigé.
2Actualiser un montant
Ramener un montant futur à aujourd’hui s’appelle l’actualisation. Avec un taux r par an, un montant reçu après t années vaut :
PV = CFt / (1 + r)t
Exemple : 1100 € dans un an à 10 % valent 1100/1,10 = 1000 € aujourd’hui. Vérification : 1000 € placés à 10 % deviennent 1100 € en un an.
Plus l’argent est lointain, plus la puissance est grande et plus sa valeur aujourd’hui est petite.
Écrivez toujours le taux sous forme décimale : 8 % s’écrit 0,08, donc vous divisez par 1,08.
Auto-évaluation Combien vaut aujourd’hui 121 € reçus dans 2 ans à 10 % par an ?
€100
€110
€146,41
€96,80
Réponse: €100. 121/1,10² = 121/1,21 = 100 €. Diviser par 1,10 une seule fois donne 110 €, ce qui oublie la deuxième année.
3La VAN pas à pas
La VAN est la somme de tous les flux actualisés. L’investissement à l’année 0 est négatif et n’est pas actualisé, car il est déjà d’aujourd’hui.
Dessinez une frise chronologique avec chaque flux à son année. L’argent qui sort est négatif, l’argent qui entre est positif.
Actualisez chaque flux futur avec sa propre puissance de (1 + r).
Additionnez toutes les valeurs actuelles, y compris le −I0 de l’année 0.
Décidez : acceptez si la VAN est positive.
Quand le flux est le même chaque année, un facteur d’annuité fait toute l’actualisation d’un coup :
PV = C · [1 − (1 + r)−n] / r
4Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Une machine coûte 9000 € aujourd’hui et permet d’économiser 3600 € à la fin de chaque année pendant 3 ans. Le taux de rendement exigé est de 8 %. Trouvez la VAN. L’entreprise doit-elle l’acheter ?
1
Dessinez la frise chronologique
Un paiement sortant maintenant, trois montants égaux entrants à la fin des années 1, 2 et 3.
Même résultat, en une ligne. Utilisez ce raccourci chaque fois que les flux sont égaux.
5
Décidez
La VAN est positive, donc la machine rapporte plus de 8 % par an. L’entreprise devrait l’acheter.
Réponse
VAN ≈ 277,55 €, ce qui est positif, donc acceptez l’investissement.
5Le taux de rendement interne
Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel la VAN est exactement nulle. C’est le rendement annuel propre au projet.
Il n’existe pas de formule simple pour le trouver. On essaie des taux jusqu’à ce que la VAN change de signe, puis on interpole entre les deux.
Dans l’exemple, la VAN est de +277,55 à 8 %. À 10 %, elle est de 3600 · 2,4869 − 9000 = −47,33. Le TRI se situe donc entre 8 % et 10 %.
IRR ≈ 8% + 2% · 277,55 / (277,55 + 47,33) ≈ 9,7%
Règle de décision : acceptez quand le TRI est supérieur au taux exigé. Ici, 9,7 % est supérieur à 8 %, la même réponse que celle donnée par la VAN.
Auto-évaluation La VAN d’un projet est positive à 8 % et négative à 12 %. Où se situe son TRI ?
Au-dessous de 8 %
Au-dessus de 12 %
Entre 8 % et 12 %
Exactement 10 %
Réponse: Entre 8 % et 12 %. Le TRI est le point où la VAN passe par zéro, donc il se situe entre les deux taux où le signe change. L’interpolation donne une bonne estimation, mais ce n’est pas automatiquement le milieu.
6Erreurs fréquentes
Actualiser l’investissement à l’année 0. Il est déjà en euros d’aujourd’hui.
Oublier complètement l’investissement et ne donner que la valeur actuelle des entrées.
Additionner des flux sans les actualiser d’abord.
Utiliser le pourcentage au lieu de la forme décimale : diviser par 1,8 au lieu de 1,08.
Utiliser la mauvaise puissance : un flux de l’année 3 se divise par (1 + r)³, et non par (1 + r).
Auto-évaluation Un projet coûte 5000 € et rapporte 5500 € après un an. Le taux exigé est de 12 %. Quelle est la VAN ?
+€4910,71
+€500
−€500
−€89,29
Réponse: −€89,29. 5500/1,12 = 4910,71, et 4910,71 − 5000 = −89,29 €. Le bénéfice de 500 € ne suffit pas pour atteindre un rendement de 12 %, donc rejetez.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : un investissement et des flux annuels égaux. Utilisez le facteur d’annuité.
Moyen : des flux inégaux. Actualisez chaque année séparément et additionnez.
Difficile : trouvez le TRI. Essayez deux taux, trouvez où la VAN change de signe, et interpolez.
Énoncez toujours la décision avec des mots : accepter ou rejeter, et pourquoi.
Un projet coûte €80 000 aujourd’hui et rapporte €30 000, €20 000, €25 500, €31 000, €30 500 à la fin des années 1 à 5. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération PB en années.
Additionnez les flux année par année jusqu’à ce que le total atteigne le coût initial.
La dernière année, seule une partie du flux est nécessaire : prenez la fraction qui manque encore.
après l’année 3: €75 500.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux cumulés
année 1: €30 000
année 2: €50 000
année 3: €75 500
année 4: €106 500
Fraction de la dernière année
encore nécessaire après l’année 3: 80 000 − 75 500 = 4 500
PB = 3 + 4 500/31 000 = 3,145
Réponse
PB = 3,145 ans
Exemple 2Moyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €11 000, €10 000, €13 000, €14 000. Le coût du capital est de 12 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Ramène chaque flux à l'année 0 en le divisant par (1 + r)ᵗ.
Le coût initial est déjà à l'année 0 et compte en négatif.
CF1/(1 + r) = 9 821,43.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 14 000/1,574 = 8 897,25
Additionner
NPV = €−9 056,24
Réponse
NPV = €−9 056,24
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
Exemple 3Difficile
Un projet coûte €40 000 et rapporte €15 500, €16 000, €27 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 15 500CF2 = 16 000CF3 = 27 500
Calculer IRR(%)
Afficher les indices
Le TRI est le taux d'actualisation qui rend la VAN exactement nulle.
Essaie deux taux, l'un donnant NPV > 0 et l'autre NPV < 0, puis resserre (ou interpole entre eux).
NPV(15%) = 3 658,26, NPV(20%) = −57,87.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 3 658,26
NPV(20%) = −57,87
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Préféreriez-vous avoir 100 € aujourd’hui ou 100 € dans un an ? Aujourd’hui : vous pourriez les placer à la banque et avoir plus de 100 € dans un an.
Un euro dans le futur vaut donc moins qu’un euro maintenant. Les entreprises utilisent cette idée pour décider si un investissement vaut la peine.
VAN et TRI : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
VAN et TRI : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Actualiser le flux de l’année 0.
Oublier l’investissement initial.
Additionner les flux sans les actualiser.
VAN et TRI : que couvrent les exercices ?
Facile: flux égaux
Moyen: flux inégaux
Difficile: taux de rendement interne
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.