Titik berat & momen inersia: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Titik berat & momen inersia gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: titik berat, momen inersia, tegangan lentur.

Soal latihan gratisMudah
1002516012ȳ = ?dimensi dalam mm

Cari tinggi ȳ titik berat penampang T di atas tepi bawahnya.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Soal berikutnya →
Berlatih Titik berat & momen inersia secara gratisBerlatih Titik berat & momen inersia sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahtitik berat
  2. Sedangmomen inersia
  3. Sulittegangan lentur

Rumus utama

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Pelajari Titik berat & momen inersia dari nol

1Mengapa bentuk penampang penting

Potong balok lurus melintang dan lihat bidang potongnya. Bentuk itu adalah penampang, atau cukup potongan.

Ambil papan kayu 100 × 20 mm. Letakkan rebah melintasi celah dan papan itu melendut banyak. Berdirikan papan yang sama pada sisinya dan ia jauh lebih kaku, padahal luasnya persis sama.

1002020100ab

Yang penting adalah seberapa jauh material berada dari sumbu yang menjadi pusat lenturan balok. Material yang jauh dari sumbu itu bekerja jauh lebih keras.

Dua sifat menjelaskan hal ini. Titik berat (centroid) adalah pusat geometris penampang: balok melentur terhadap sumbu yang melaluinya. Momen inersia luas I mengukur seberapa jauh luas tersebar dari sumbu itu.

Tes mandiri Papan yang sama dipakai rebah (a) dan berdiri pada sisinya (b), dilenturkan terhadap sumbu horizontal. Mana yang lebih kaku?
  1. Berdiri pada sisinya (b)
  2. Hanya bergantung pada materialnya
  3. Keduanya sama, karena luasnya sama
  4. Rebah (a)

Jawaban: Berdiri pada sisinya (b). Pada posisi berdiri, material berada lebih jauh dari sumbu lentur. Luasnya sama, tetapi jaraknya dari sumbu yang menentukan.

2Titik berat penampang komposit

Untuk persegi panjang, titik beratnya di tengah. Banyak penampang balok, seperti T, tersusun dari persegi panjang.

Bagi penampang menjadi persegi panjang. Untuk masing-masing, cari luas Ai dan tinggi yi titik beratnya sendiri, diukur dari satu garis acuan, biasanya tepi bawah.

Titik berat seluruh penampang adalah rata-rata tinggi tersebut yang dibobot luas:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Bagian besar menarik titik berat ke arahnya. Pada penampang-T dengan sayap di atas, titik berat berada di atas setengah tinggi.

Tes mandiri Bagian 1 memiliki A = 3000 mm² pada y = 20 mm. Bagian 2 memiliki A = 1000 mm² pada y = 100 mm. Di mana titik beratnya?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Jawaban: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm adalah rata-rata biasa dari tinggi-tinggi itu, yang mengabaikan luas. 80 mm menukar luasnya.

3Momen inersia luas

Untuk persegi panjang dengan lebar b dan tinggi h, dilenturkan terhadap sumbu horizontal melalui titik beratnya sendiri:

Ic = b · h³ / 12

Tinggi dipangkatkan tiga, itulah sebabnya papan yang berdiri 25 kali lebih kaku: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Untuk penampang komposit, setiap bagian berada pada jarak d dari sumbu melalui titik berat keseluruhan. Teorema sumbu sejajar menambahkan suku untuk pergeseran itu:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

Satuannya mm⁴. Angkanya besar, sehingga jawaban sering diberikan sebagai “× 10⁶ mm⁴”.

Setelah Anda memperoleh I, tegangan lentur pada jarak y dari sumbu titik berat diperoleh dari momen lentur M:

σ = M · y / I
Tes mandiri Persegi panjang selebar 100 mm dan setinggi 20 mm: berapa I terhadap sumbu horizontal titik beratnya sendiri?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Jawaban: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 menukar b dan h (itu papan yang berdiri); 800 000 lupa membagi dengan 12.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Bagi penampang menjadi persegi panjang dan beri nomor.
  2. Untuk setiap bagian: luas Ai dan tinggi titik berat yi, semuanya diukur dari tepi bawah.
  3. Titik berat: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Untuk setiap bagian: Ic = bh³/12 miliknya sendiri dan jarak di = yi − ȳ.
  5. Jumlahkan: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Jika tegangan ditanyakan: σ = M·y/I, dengan y jarak dari sumbu ke tepi yang Anda perlukan.

Tabel kecil dengan kolom A, y, A·y, Ic, d, dan A·d² menjaga semuanya tetap teratur.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Penampang-T memiliki sayap 100 × 20 mm di atas badan 20 × 100 mm. Cari tinggi titik berat ȳ, momen inersia luas Ix, dan tegangan lentur pada tepi atas dan bawah untuk momen positif (sagging) 4 kN·m.

1

Bagi menjadi dua persegi panjang

100201002012

Sayap (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², titik berat pada y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Badan (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², titik berat pada y2 = 50 mm.

2

Titik berat

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

Kedua luas sama, jadi ȳ berada tepat di tengah antara 110 dan 50 mm.

3

Momen inersia masing-masing

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Suku sumbu sejajar

1002010020xȳ = 80

Setiap titik berat berjarak 30 mm dari sumbu x: d1 = 110 − 80 = 30 mm dan d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Untuk masing-masing bagian:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Momen inersia luas total

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Tegangan lentur

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Tepi bawah berjarak 80 mm dari sumbu, tepi atas 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

Tepi bawah mengalami tarik dan tepi atas mengalami tekan, seperti pada setiap balok dengan momen positif.

Jawaban

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbawah = 60 MPa, dan σatas = 30 MPa.

6Kesalahan umum

  • Lupa suku A·d². Tanpanya Anda hanya menjumlahkan nilai I masing-masing bagian, yang jauh terlalu kecil.
  • Mengukur tinggi yi dari garis acuan yang berbeda. Pilih tepi bawah dan tetaplah memakainya.
  • Memakai d dari tepi bawah, bukan dari titik berat keseluruhan.
  • Menukar b dan h dalam bh³/12. Dimensi yang tegak lurus terhadap sumbu lentur dipangkatkan tiga.
  • Memakai jarak tepi yang salah dalam σ = M·y/I. Tepi yang terjauh dari sumbu memiliki tegangan terbesar.
Tes mandiri Persegi panjang 100 × 20 mm (lebar × tinggi) memiliki titik berat 50 mm dari sumbu x. Berapa kontribusinya pada Ix?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Jawaban: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ lupa A·d²; 5,00 × 10⁶ lupa suku sendiri; 6,67 × 10⁶ memakai 1 666 667 (b dan h tertukar) ditambah A·d².

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: titik berat. Cari ȳ penampang-T di atas tepi bawahnya. Variasinya: penampang siku, atau I dari satu persegi panjang, lingkaran (πd⁴/64), atau kotak.
  • Sedang: momen inersia luas. Cari Ix penampang-T terhadap sumbu titik beratnya. Variasinya: penampang-I, kanal, dan jari-jari girasi r = √(I/A).
  • Sulit: tegangan lentur. Penampang-T memikul momen M; cari tegangan pada tepi atas atau bawah dengan σ = M·y/I.

Dimensi yang diberikan adalah bf dan tf untuk sayap, serta tw dan hw untuk badan.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
260102808ȳ = ?dimensi dalam mm

Cari tinggi ȳ titik berat penampang T di atas tepi bawahnya.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Tentukan ȳ (mm)

Tampilkan petunjuk
  1. Bagi T menjadi sayap dan badan, lalu cari luas dan tinggi titik berat masing-masing.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, dengan setiap y diukur dari tepi bawah.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
badan: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Jawaban

ȳ = 217,9 mm
Contoh 2Sedang
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 156 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 156 mm

Tentukan Ix (× 10⁶ mm⁴)

Tampilkan petunjuk
  1. Cari dulu titik beratnya: pelat dikurangi lubang.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Lalu I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) terhadap ȳ.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Contoh 3Sulit
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 120 mm

Tentukan Ix (× 10⁶ mm⁴)

Tampilkan petunjuk
  1. Cari dulu titik beratnya: pelat dikurangi lubang.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Lalu I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) terhadap ȳ.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Tanya jawab

Apa itu Titik berat & momen inersia?

Potong balok lurus melintang dan lihat bidang potongnya. Bentuk itu adalah penampang, atau cukup potongan.

Ambil papan kayu 100 × 20 mm. Letakkan rebah melintasi celah dan papan itu melendut banyak. Berdirikan papan yang sama pada sisinya dan ia jauh lebih kaku, padahal luasnya persis sama.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Titik berat & momen inersia langkah demi langkah?

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Apa saja yang dilatih dalam soal Titik berat & momen inersia?
  • Mudah: titik berat
  • Sedang: momen inersia
  • Sulit: tegangan lentur

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Lanjutkan dengan

Tekuk kolomLendutan balok

Kalkulator

Kalkulator momen inersia (momen inersia penampang)Kalkulator titik berat (bentuk gabungan dan poligon)

Mata kuliah dengan topik ini

StatikaMekanika BahanLatihan ujian FE Civil

Topik lain di Sipil

Gaya geser & momen lenturRangka batang: metode titik buhulLendutan balokTekuk kolomTegangan efektif tanahPenurunan konsolidasiGaya hidrostatisAliran saluran terbuka (Manning)

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Titik berat & momen inersia dengan jawaban
Berlatih Titik berat & momen inersia secara gratisBerlatih Titik berat & momen inersia sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.