Học Giá trị thời gian của tiền từ đầu
1Vì sao tiền tăng lên theo thời gian
Nếu bạn gửi €1000 vào tài khoản tiết kiệm trả lãi 5% mỗi năm, sau một năm bạn có €1050. Khoản €50 tăng thêm là tiền lãi.
Sang năm thứ hai, bạn được lãi 5% trên €1050 chứ không phải trên €1000. Vậy tiền lãi là €52,50 và số dư trở thành €1102,50.
Việc lãi sinh lãi được gọi là lãi kép. Với lãi đơn, bạn chỉ luôn nhận 5% của €1000 ban đầu.
Vì tiền có thể tăng lên như vậy nên €1000 hôm nay có giá trị hơn €1000 ba năm sau. Đó là giá trị thời gian của tiền.
Mọi kế hoạch tiết kiệm, khoản vay và khoản thế chấp đều được tính theo ý tưởng này.
Tự kiểm tra Bạn gửi €100 với lãi suất 10% mỗi năm, ghép lãi hằng năm. Sau 2 năm tài khoản có bao nhiêu tiền?
- €110
- €120
- €121
- €200
Đáp số: €121. Năm 1: 100 · 1,10 = 110. Năm 2: 110 · 1,10 = 121. €120 là kết quả của lãi đơn: nó bỏ sót phần lãi sinh ra từ €10 tiền lãi đầu tiên.
2Giá trị tương lai và giá trị hiện tại
Mỗi kỳ, số dư được nhân với (1 + i), trong đó i là lãi suất mỗi kỳ viết dưới dạng số thập phân. Sau n kỳ:
FV = PV · (1 + i)n
PV (giá trị hiện tại) là số tiền ở thời điểm hôm nay. FV (giá trị tương lai) là số tiền sau n kỳ.
Tính ngược lại gọi là chiết khấu. Nó cho biết hôm nay bạn cần bao nhiêu tiền để đạt một mục tiêu về sau:
PV = FV / (1 + i)n
Ví dụ: để có €1102,50 sau 2 năm với lãi suất 5%, hôm nay bạn cần 1102,50 / 1,05² = €1000.
Ngân hàng thường công bố lãi suất danh nghĩa r theo năm nhưng cộng lãi m lần mỗi năm: m = 4 với theo quý, m = 12 với theo tháng. Khi đó bạn tính theo từng kỳ:
i = r / m N = m · n
Tự kiểm tra Lãi suất 6% mỗi năm được ghép lãi hằng tháng trong 3 năm. i và N bằng bao nhiêu?
- i = 0,005 và N = 36
- i = 0,005 và N = 3
- i = 0,06 và N = 36
- i = 0,5 và N = 36
Đáp số: i = 0,005 và N = 36. i = 0,06 / 12 = 0,005 mỗi tháng và N = 12 · 3 = 36 tháng. Dùng lãi suất năm 0,06 với 36 tháng là lỗi phổ biến nhất: như vậy là tính 6% mỗi tháng.
3Niên kim: các khoản thanh toán bằng nhau
Niên kim là một chuỗi các khoản thanh toán A bằng nhau vào cuối mỗi kỳ, chẳng hạn €250 tiết kiệm mỗi tháng hoặc khoản trả nợ vay hằng tháng.
Bạn có thể ghép lãi hoặc chiết khấu từng khoản riêng rồi cộng lại. Các công thức niên kim thực hiện phép cộng này chỉ trong một bước.
Số tiền bạn có vào cuối kỳ cuối nếu mỗi kỳ gửi A:
FV = A · [(1 + i)N − 1] / i
Giá trị hiện tại của toàn bộ các khoản thanh toán:
PV = A · [1 − (1 + i)−N] / i
Khoản vay được hoàn trả bằng niên kim: số tiền vay P bằng giá trị hiện tại của các khoản thanh toán. Giải phương trình đó để tìm khoản thanh toán:
A = P · i / [1 − (1 + i)−N]
Ví dụ: vay €10 000 với lãi suất 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, trong 3 năm. i = 0,005 và N = 36, nên A = 10 000 · 0,005 / (1 − 0,8356) = €304,22 mỗi tháng.
4Phương pháp từng bước
- Vẽ một trục thời gian. Đánh dấu những gì đã biết (số tiền hôm nay, mục tiêu về sau, các khoản thanh toán bằng nhau) và những gì cần tìm.
- Tìm lãi suất mỗi kỳ i = r/m và số kỳ N = m · n. Viết lãi suất dưới dạng số thập phân.
- Chọn công thức: một khoản tiền duy nhất (FV hoặc PV) hay một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim).
- Tính toán. Tính lũy thừa (1 + i)N trước và giữ ít nhất 4 chữ số thập phân.
- Kiểm tra độ lớn của đáp án: giá trị tương lai lớn hơn số tiền gửi, còn giá trị hiện tại nhỏ hơn mục tiêu.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giảiBạn đầu tư €2000 với lãi suất danh nghĩa 4% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 3 năm.
1Một khoản tiền được đưa vào hôm nay. Bạn muốn biết giá trị của nó sau 3 năm, tức là 12 quý.
2Lãi được cộng 4 lần mỗi năm, nên hãy tính theo quý.
i = 0,04 / 4 = 0,01
N = 4 · 3 = 12
3Mỗi quý, số dư được nhân với 1,01.
(1 + i)N = 1,0112 = 1,126825
4FV = 2000 · 1,126825 = 2253,65
5Với ghép lãi hằng năm, bạn sẽ có 2000 · 1,04³ = €2249,73. Ghép lãi hằng quý cho kết quả cao hơn một chút, vì lãi bắt đầu sinh lãi sớm hơn. €2253,65 là hợp lý.
Đáp số FV ≈ €2253,65 sau 3 năm.
6Lỗi thường gặp
- Dùng lãi suất năm cho các kỳ theo tháng hoặc quý. Hãy chia lãi suất cho m và nhân số năm với m.
- Dùng lãi đơn, PV · (1 + i · n), thay vì lãi kép, PV · (1 + i)n.
- Đếm sai số kỳ, chẳng hạn lấy 3 thay vì 36 cho ba năm thanh toán hằng tháng.
- Viết lãi suất dưới dạng phần trăm: 1,412 thay vì 1,0412.
- Với kế hoạch tiết kiệm, chỉ cộng các khoản đã gửi. Mỗi khoản gửi cũng sinh lãi.
Tự kiểm tra Bạn đầu tư €1000 với lãi suất 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, trong 3 năm. Cách tính nào đúng?
- 1000 · (1 + 0,06 · 3) = €1180
- 1000 · 1,00536 = €1196,68
- 1000 · 1,0636 = €8147,25
- 1000 · 1,063 = €1191,02
Đáp số: 1000 · 1,00536 = €1196,68. Ghép lãi hằng tháng: i = 0,06/12 = 0,005 và N = 36. Dùng 1,06 cho 36 kỳ nghĩa là tính 6% mỗi tháng. 1,06³ bỏ qua việc ghép lãi hằng tháng, còn 1180 là kết quả của lãi đơn.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
- Dễ: giá trị tương lai. Một khoản gửi với ghép lãi hằng năm: FV = PV · (1 + i)n.
- Trung bình: ghép lãi và chiết khấu. Ghép lãi theo quý hoặc theo tháng, hỏi giá trị tương lai hoặc số tiền cần gửi hôm nay.
- Khó: niên kim và khoản vay. Giá trị cuối kỳ của kế hoạch tiết kiệm hằng tháng, hoặc số tiền trả hằng tháng của một khoản vay.
Luôn nói rõ con số có ý nghĩa gì: “sau 3 năm bạn có €2253,65”.
Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng