Getaran mekanis: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah
Latihan soal Getaran mekanis gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: frekuensi alami, rasio redaman, pegas seri dan paralel.
Soal latihan gratisMudah
Sebuah mesin bertumpu pada dudukan pegas yang tertekan 15 mm akibat beratnya. Anggap sebagai sistem satu derajat kebebasan tak teredam dan gunakan g = 9,81 m/s². Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
Gantungkan massa pada pegas, tarik sedikit ke bawah lalu lepaskan. Massa itu memantul naik dan turun di sekitar posisi diamnya. Gerak berulang itu adalah getaran.
Setiap sistem seperti itu memiliki iramanya sendiri, yaitu frekuensi alami. Frekuensi ini hanya bergantung pada kekakuan pegas dan berat massa, bukan pada seberapa jauh Anda menariknya.
Para insinyur memperhatikannya karena mesin yang digetarkan pada frekuensi alaminya dapat bergetar hebat. Ini disebut resonansi. Dudukan mesin, mesin cuci, dan jembatan semuanya dirancang dengan memperhitungkannya.
Pegas yang lebih kaku membuat getaran lebih cepat. Massa yang lebih berat membuatnya lebih lambat.
Tes mandiri Anda mengganti massa pada pegas dengan massa yang empat kali lebih berat. Apa yang terjadi pada frekuensi alami?
Menjadi dua kali lipat
Menjadi empat kali lebih rendah
Menjadi setengah
Tetap sama
Jawaban: Menjadi setengah. Frekuensi bergantung pada √(k/m). Massa empat kali lipat membagi akar kuadrat dengan √4 = 2, sehingga frekuensi menjadi setengah.
2Frekuensi alami dan kombinasi pegas
Untuk massa m (kg) pada pegas dengan kekakuan k (N/m), frekuensi sudut alami dalam rad/s adalah:
ωn = √(k / m)
Satu siklus penuh adalah 2π radian. Jadi frekuensi alami dalam hertz (siklus per detik) dan periode (detik per siklus) adalah:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Kadang Anda hanya mengetahui seberapa jauh pegas melendut akibat beban, yaitu lendutan statis δst = m·g/k. Maka ωn = √(g / δst), dengan δst dalam meter.
Jika ada beberapa pegas, ganti dahulu dengan satu pegas ekuivalen:
Berdampingan (paralel), pegas berbagi beban dan kekakuannya dijumlahkan.
Ujung ke ujung (seri), setiap pegas menanggung beban penuh, dan pegas ekuivalennya lebih lunak daripada salah satunya.
Tes mandiri Dua pegas masing-masing 10 kN/m dihubungkan ujung ke ujung (seri). Berapa kekakuan ekuivalennya?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Jawaban: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, sehingga k = 5 kN/m. Menjumlahkannya menjadi 20 kN/m adalah aturan untuk pegas paralel.
3Redaman
Getaran nyata mereda. Peredam (piston yang bergerak dalam minyak, seperti peredam kejut mobil) mengambil energi. Kekuatannya adalah koefisien redaman c dalam N·s/m.
Redaman kritis adalah besar redaman yang tepat menghentikan massa dari memantul sama sekali:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Rasio redaman membandingkan redaman nyata dengan nilai kritis itu:
ζ = c / cc
ζ < 1: redaman kurang (underdamped). Massa masih bergetar, tetapi ayunannya mengecil.
ζ = 1: redaman kritis. Massa kembali diam secepat mungkin tanpa melampaui.
ζ > 1: redaman lebih (overdamped). Massa merayap kembali dengan lambat tanpa bergetar.
Sistem redaman kurang bergetar sedikit lebih lambat daripada sistem tanpa redaman, pada frekuensi alami teredam:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Tes mandiri Massa 10 kg berada pada pegas 1000 N/m dengan peredam c = 50 N·s/m. Berapa rasio redamannya?
0,25
0,5
2,5
4
Jawaban: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, sehingga ζ = 50/200 = 0,25. Melupakan faktor 2 menghasilkan 0,5, dan membagi dengan cara terbalik menghasilkan 4.
4Metode ini selangkah demi selangkah
Ubah semuanya ke satuan SI: kN/m ke N/m (× 1000), mm ke m, gram ke kg.
Jika ada beberapa pegas, gabungkan menjadi satu k: jumlahkan pada paralel, jumlahkan kebalikannya pada seri.
Cari ωn = √(k/m) dalam rad/s.
Jika soal menanyakan hertz, bagi dengan 2π: fn = ωn/(2π). Untuk periode, ambil T = 1/fn.
Dengan redaman, cari cc = 2·√(k·m), lalu ζ = c/cc dan, jika ditanyakan, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Bedakan ω (rad/s) dan f (Hz). Keduanya berbeda faktor 2π ≈ 6,28, dan mencampuradukkannya adalah cara paling umum kehilangan nilai.
5Contoh soal lengkap
Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.
Contoh soal
Massa 50 kg tergantung pada pegas dengan kekakuan 20 kN/m. Abaikan redaman. Cari frekuensi alami fn dalam Hz dan periode getaran.
1
Gambar dan ubah satuan
Kekakuan harus dalam N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Massa sudah dalam kg.
2
Frekuensi sudut alami
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Ubah ke hertz
Bagi dengan 2π untuk menghitung siklus penuh per detik:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Periode
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
Massa membuat sedikit lebih dari tiga siklus naik-turun penuh setiap detik.
5
Periksa jawabannya
Lendutan statisnya adalah δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
20 rad/s yang sama, diperoleh dengan cara lain. Jawabannya benar.
6
Lebih jauh: tambahkan peredam
Dengan peredam c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, sehingga ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Jawaban
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), dan periodenya T ≈ 0,314 s.
6Kesalahan umum
Memberikan ωn dalam rad/s ketika soal menanyakan fn dalam Hz, atau sebaliknya.
Membiarkan kekakuan dalam kN/m. Rumus memerlukan N/m.
Menjumlahkan pegas seri seolah-olah paralel.
Lupa angka 2 pada cc = 2·√(k·m).
Memakai berat m·g, bukan massa m, dalam ωn = √(k/m).
Tes mandiri Massa 4 kg tergantung pada pegas 400 N/m. Berapa frekuensi alaminya dalam Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Jawaban: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, dan fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Berhenti di 10 menghasilkan rad/s, bukan Hz; mengalikan dengan 2π menghasilkan 62,8; memakai 0,4 (kN/m) menghasilkan 0,05 Hz.
7Seperti apa soal ujiannya
Mudah: frekuensi alami. Massa pada pegas: cari ωn dalam rad/s atau fn dalam Hz. Beberapa soal hanya memberikan lendutan statis mesin pada dudukannya.
Sedang: rasio redaman. Cari ζ dari m, k, dan c, atau cari frekuensi teredam fd dari ζ yang diberikan. Soal lain memberikan dua puncak dari uji getaran bebas.
Sulit: pegas seri dan paralel, kadang keduanya (dua pegas berdampingan menahan batang, dengan pegas ketiga di bawahnya). Cari keq terlebih dahulu, lalu fn.
Untuk dua puncak x0 dan xn yang berjarak n siklus, pakai dekremen logaritmik:
Massa 40 kg tergantung pada pegas dengan kekakuan 15 kN/m. Abaikan redaman. Cari frekuensi alami fn dalam Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Tentukan fn(Hz)
Tampilkan petunjuk
Bekerjalah dalam satuan SI: k dalam N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi sudut alami
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
Dalam hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Jawaban
fn = 3,082 Hz
Contoh 2Sedang
Massa 10 kg pada pegas dengan kekakuan 50 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Tentukan fd(Hz)
Tampilkan petunjuk
Cari frekuensi alami tak teredam dulu.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi alami tak teredam
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Frekuensi alami teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Jawaban
fd = 10,31 Hz
Contoh 3Sulit
Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 80 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Tentukan keq(kN/m)
Tampilkan petunjuk
Pegas paralel berbagi defleksi: kekakuannya dijumlahkan. Pegas seri berbagi gaya: kelenturan 1/k dijumlahkan.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Gantungkan massa pada pegas, tarik sedikit ke bawah lalu lepaskan. Massa itu memantul naik dan turun di sekitar posisi diamnya. Gerak berulang itu adalah getaran.
Setiap sistem seperti itu memiliki iramanya sendiri, yaitu frekuensi alami. Frekuensi ini hanya bergantung pada kekakuan pegas dan berat massa, bukan pada seberapa jauh Anda menariknya.
Bagaimana cara menyelesaikan soal Getaran mekanis langkah demi langkah?
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Getaran mekanis?
Itu ωn dalam rad/s. Bagi dengan 2π untuk mendapatkan frekuensi dalam Hz.
Ubah kN/m ke N/m (kalikan 1000) sebelum memakai ωn = √(k/m).
Bagi ωn dengan 2π untuk mendapatkan Hz; jangan dikalikan.
Apa saja yang dilatih dalam soal Getaran mekanis?
Mudah: frekuensi alami
Sedang: rasio redaman
Sulit: pegas seri dan paralel
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Cara kerja latihan
Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.