Lingkaran Mohr & transformasi tegangan: latihan soal dengan penyelesaian langkah demi langkah

Latihan soal Lingkaran Mohr & transformasi tegangan gratis dengan diagram, petunjuk, dan pembahasan lengkap. Nilai baru setiap kali, dalam tiga tingkat: tegangan utama, geser maksimum dan arah utama, tegangan pada bidang miring.

Soal latihan gratisMudah
σx​ = 90σy​ = −20MPaelemen utama

Di suatu titik pada komponen yang dibebani, tegangan utama sebidangnya σ₁ = 90 MPa dan σ₂ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σavg yang bekerja pada bidang tegangan geser sebidang maksimum.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Soal berikutnya →
Berlatih Lingkaran Mohr & transformasi tegangan secara gratisBerlatih Lingkaran Mohr & transformasi tegangan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.

Yang Anda latih

  1. Mudahtegangan utama
  2. Sedanggeser maksimum dan arah utama
  3. Sulittegangan pada bidang miring

Cara menyelesaikan soal Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kesalahan umum

  • Memakai θ alih-alih 2θ dalam persamaan transformasi.
  • Menjumlahkan (σx − σy)/2 dan τxy alih-alih menggabungkannya dengan Pythagoras.
  • Salah konvensi tanda untuk tegangan geser.

Rumus utama

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Pelajari Lingkaran Mohr & transformasi tegangan dari nol

Sebelum ini: Tegangan & regangan aksial

1Mengapa tegangan bergantung pada arah

Pada pelajaran aksial, tegangan adalah satu angka: gaya dibagi luas. Tetapi tegangan pada suatu titik bergantung pada arah potongan yang Anda tinjau.

Putar sepotong kapur sampai patah. Kapur patah mengikuti spiral pada 45°, bukan lurus melintang. Pada bidang 45° itu tarikan paling besar, dan kapur lemah terhadap tarikan.

Untuk menjelaskan tegangan pada satu titik, insinyur menggambar persegi kecil, yaitu elemen tegangan, dengan tegangan pada sisi-sisinya:

σx​σy​τxy​xy
  • σx dan σy adalah tegangan normal, tegak lurus terhadap sisi. Positif berarti tarik (panah menunjuk keluar), negatif berarti tekan.
  • τxy adalah tegangan geser, sepanjang sisi. Tegangan ini berusaha mengubah persegi menjadi belah ketupat.

Putar persegi itu, dan tegangan pada sisi-sisinya berubah. Pelajaran ini menunjukkan cara mencarinya untuk setiap arah, dan arah mana yang paling berbahaya.

Tes mandiri Pada suatu titik, σx = −40 MPa. Apa artinya?
  1. Tarikan 40 MPa pada arah x
  2. Tegangan geser 40 MPa
  3. Tekanan 40 MPa pada arah x
  4. Tekanan 40 MPa pada arah y

Jawaban: Tekanan 40 MPa pada arah x. Dengan aturan tanda yang lazim tarik bernilai positif, jadi σx yang negatif adalah tekan, yang bekerja pada sisi yang tegak lurus terhadap x.

2Lingkaran Mohr

Lingkaran Mohr adalah gambar semua arah sekaligus. Setiap titik pada lingkaran adalah satu kemungkinan potongan melalui titik pada benda.

Gambar tegangan normal σ ke kanan dan tegangan geser τ ke atas. Lalu plot dua titik:

  • titik x di (σx, τxy): tegangan pada sisi yang tegak lurus terhadap x,
  • titik y di (σy, −τxy): tegangan pada sisi yang tegak lurus terhadap y.

Lingkaran melalui kedua titik. Pusatnya C terletak pada sumbu σ, di tengah-tengah keduanya. Jari-jarinya R diperoleh dari Pythagoras:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Di tempat lingkaran memotong sumbu σ, tegangan gesernya nol. Kedua nilai ini adalah tegangan utama, tegangan normal terbesar dan terkecil pada titik itu. Puncak lingkaran adalah tegangan geser terbesar pada bidang:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Tes mandiri σx = 50 MPa, σy = 10 MPa, dan τxy = 15 MPa. Berapa σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Jawaban: 55 MPa. C = 30 MPa dan R = √(20² + 15²) = 25 MPa, sehingga σ1 = 55 MPa. 65 menjumlahkan 20 + 15 alih-alih memakai Pythagoras; 50 mengabaikan tegangan geser.

3Sudut: dua kali lipat pada lingkaran

Memutar elemen sebesar sudut θ menggeser titiknya pada lingkaran Mohr sebesar 2θ, dengan arah yang sama. Berlawanan arah jarum jam adalah positif.

Arah σ1 adalah sudut θp dari sumbu x, yang dicari dari:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Perhatikan kuadran. Jika σx − σy negatif, tambahkan 180° pada 2θp bila τxy > 0, atau kurangkan 180° bila τxy < 0. Lalu bagi dua.

Bidang geser maksimum terletak 45° dari arah utama (90° pada lingkaran).

Untuk bidang yang normalnya diputar θ dari sumbu x, tegangannya adalah:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Tes mandiri Pada suatu titik, tan 2θp = 1 dan σx − σy positif. Berapa θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Jawaban: 22,5°. 2θp = 45°, sehingga θp = 22,5°. Menjawab 45° lupa membagi dua sudut dari lingkaran. −67,5° adalah arah σ2, 90° darinya.

4Metode ini selangkah demi selangkah

  1. Tuliskan σx, σy, dan τxy beserta tandanya: tarik positif, tekan negatif.
  2. Cari pusat C = (σx + σy)/2.
  3. Cari jari-jari R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Tegangan utama: σ1 = C + R dan σ2 = C − R. Geser terbesar pada bidang: τmaks = R.
  5. Arah: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), periksa kuadran, lalu bagi dua.
  6. Untuk bidang θ tertentu: pakai persamaan σθ dan τθ dengan 2θ.

Sketsa cepat lingkaran, bahkan yang kasar, menunjukkan tanda dan titik mana yang merupakan σ1.

5Contoh soal lengkap

Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.

Contoh soal

Sebuah titik memiliki σx = 80 MPa, σy = 20 MPa, dan τxy = 40 MPa. Cari tegangan utama, τmaks, arah θp dari σ1, dan tegangan normal pada bidang yang diputar 45° berlawanan arah jarum jam.

1

Perhatikan elemennya

xy

Kedua tegangan normal adalah tarik. Tegangan gesernya positif.

2

Pusat dan jari-jari

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Tegangan utama dan geser maksimum

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Arah utama

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy positif, sehingga tidak perlu koreksi: 2θp = 53,1° dan θp = 26,6° berlawanan arah jarum jam dari x.

5

Bidang diputar 45°

Dengan θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 dan sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Periksa jawabannya

Jumlah σx + σy = 100 MPa sama dengan σ1 + σ2 = 100 MPa. Jumlah ini sama untuk setiap rotasi, jadi merupakan pemeriksaan cepat.

Juga, 90 MPa berada di antara σ2 = 0 dan σ1 = 100 MPa, sebagaimana setiap tegangan normal harus.

Jawaban

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmaks = 50 MPa, θp = 26,6°, dan σ45° = 90 MPa.

6Kesalahan umum

  • Menjumlahkan (σx − σy)/2 dan τxy secara langsung. Jari-jari menggabungkannya dengan Pythagoras.
  • Memakai θ, bukan 2θ, dalam persamaan transformasi, atau lupa membagi dua sudut yang dibaca dari lingkaran.
  • Menghilangkan tanda minus: tegangan tekan harus dimasukkan sebagai bilangan negatif.
  • Memplot titik y di (σy, +τxy). Titik itu berada di −τxy, di sisi seberang pusat dari x.
  • Melewatkan kuadran 2θp ketika σx < σy.
Tes mandiri σx = 60 MPa, σy = 0, dan τxy = 40 MPa. Berapa tegangan geser maksimum pada bidang?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Jawaban: 50 MPa. τmaks = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 menjumlahkan 30 + 40; 30 mengabaikan tegangan geser; 40 hanyalah τxy.

7Seperti apa soal ujiannya

  • Mudah: tegangan utama. Dengan σx, σy, dan τxy yang diberikan, cari σ1 atau σ2. Variasinya: geser murni, atau batang aksial yang dipotong miring.
  • Sedang: geser maksimum dan arah utama. Cari τmaks = R atau sudut θp, antara −90° dan 90°.
  • Sulit: tegangan pada bidang miring. Pakai persamaan σθ atau τθ dengan 2θ. Variasinya menggabungkan beban aksial dan torsi, atau memakai tegangan utama dalam pemeriksaan kegagalan seperti von Mises atau Tresca.

Tuliskan C dan R terlebih dahulu. Hampir setiap soal dalam topik ini dijawab dari kedua angka itu.

Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi

Contoh dengan pembahasan

Contoh 1Mudah
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 30 MPa dan σᵧ = 50 MPa, ditambah tegangan geser. Pada elemen yang diputar 30°, tegangan normal dalam arah x′ yang diputar adalah 87 MPa. Cari tegangan normal σy′ dalam arah y′ yang diputar.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Tentukan σy′ (MPa)

Tampilkan petunjuk
  1. Anda tidak memerlukan τₓᵧ atau persamaan transformasi.
  2. Jumlah tegangan normal pada dua bidang yang saling tegak lurus sama untuk setiap orientasi (pusat lingkaran Mohr tidak bergeser).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Invarian tegangan pertama

Titik x′ dan y′ berada di ujung-ujung yang berseberangan dari satu diameter, jadi rata-ratanya selalu pusat C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Jawaban

σy′ = −7 MPa
Contoh 2Sedang
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Tentukan θp (°)

Tampilkan petunjuk
  1. Gambar lingkaran Mohr: titik x di (σₓ, τₓᵧ), titik y di (σᵧ, −τₓᵧ), pusat C di tengah-tengahnya.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Perhatikan kuadrannya.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Sudut pada elemen

θp = −54,22°

Jawaban

θp = −54,22°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

Contoh 3Sulit
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 500 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 2,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 60° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Tentukan |τn| (MPa)

Tampilkan petunjuk
  1. Tegangan keliling σh = pr/t, tegangan aksial σa = pr/(2t). Tidak ada geser pada bidang aksial dan bidang keliling.
  2. Geser sepanjang kampuh: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Tampilkan jawaban dan penyelesaian langkah demi langkah

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Jawaban

|τn| = 27,06 MPa

Tanya jawab

Apa itu Lingkaran Mohr & transformasi tegangan?

Pada pelajaran aksial, tegangan adalah satu angka: gaya dibagi luas. Tetapi tegangan pada suatu titik bergantung pada arah potongan yang Anda tinjau.

Putar sepotong kapur sampai patah. Kapur patah mengikuti spiral pada 45°, bukan lurus melintang. Pada bidang 45° itu tarikan paling besar, dan kapur lemah terhadap tarikan.

Bagaimana cara menyelesaikan soal Lingkaran Mohr & transformasi tegangan langkah demi langkah?
  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Apa kesalahan yang sering terjadi pada Lingkaran Mohr & transformasi tegangan?
  • Memakai θ alih-alih 2θ dalam persamaan transformasi.
  • Menjumlahkan (σx − σy)/2 dan τxy alih-alih menggabungkannya dengan Pythagoras.
  • Salah konvensi tanda untuk tegangan geser.
Apa saja yang dilatih dalam soal Lingkaran Mohr & transformasi tegangan?
  • Mudah: tegangan utama
  • Sedang: geser maksimum dan arah utama
  • Sulit: tegangan pada bidang miring

Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya. Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.

Cara kerja latihan

  • Setiap soal memakai nilai baru, sehingga Anda mempelajari metodenya, bukan menghafal jawabannya.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil terlebih dahulu, dan penjelasan lengkap hanya jika Anda membutuhkannya.
  • Kemajuan, kesalahan, dan soal tersimpan Anda disimpan, sehingga Anda dapat mengulasnya sebelum ujian.

Topik sebelum dan sesudah ini

Pelajari dulu

Tegangan & regangan aksial

Kalkulator

Kalkulator lingkaran Mohr

Mata kuliah dengan topik ini

Mekanika BahanPerancangan Elemen MesinLatihan ujian FE Mechanical

Topik lain di Mesin

Reaksi tumpuan balokRangka & mesinTegangan & regangan aksialTorsi porosGerak proyektilUsaha & energiRotasi benda tegarGetaran mekanisMesin kalor & refrigeratorSiklus daya gasKontinuitas & BernoulliGesekan pipa & kehilangan headPompa & daya pompaKonduksi panasRoda gigi & rangkaian roda gigi

Lembar kerja yang dapat dicetak

Lembar kerja Lingkaran Mohr & transformasi tegangan dengan jawaban
Berlatih Lingkaran Mohr & transformasi tegangan secara gratisBerlatih Lingkaran Mohr & transformasi tegangan sekarang5 soal gratis setiap hari. Tanpa kartu kredit.