Pelajari Rotasi benda tegar dari nol
Sebelum ini: Hukum Newton, Usaha & energi
1Apa itu rotasi benda tegar
Benda tegar adalah benda yang mempertahankan bentuknya: roda gila, katrol, pintu, atau roda yang menggelinding. Dalam topik ini benda berputar terhadap suatu sumbu.
Setiap titik pada benda berputar melalui sudut yang sama dalam waktu yang sama. Jadi Anda menggambarkan geraknya dengan besaran sudut, bukan jarak:
- θ: sudut putar, dalam radian (rad). Satu putaran penuh adalah 2π rad.
- ω: kecepatan sudut, dalam rad/s.
- α: percepatan sudut, dalam rad/s².
Mesin menyatakan kecepatan dalam putaran per menit (rpm). Ubah dulu sebelum menghitung:
ω = 2π·n / 60
Titik pada jarak r dari sumbu bergerak dengan kelajuan v = ω·r dan memiliki percepatan a = α·r sepanjang lintasannya.
Semua yang Anda ketahui tentang gerak lurus memiliki kembaran berputar: gaya menjadi momen, massa menjadi momen inersia, dan ΣF = m·a menjadi ΣM = I·α.
Tes mandiri Sebuah roda berputar pada 600 rpm. Berapa kecepatan sudutnya dalam rad/s?
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62,8 rad/s
Jawaban: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. 10 adalah putaran per detik (2π hilang), 3770 lupa membagi dengan 60, dan 600 masih dalam rpm.
2Momen inersia
Massa menunjukkan seberapa sulit mempercepat benda pada garis lurus. Momen inersia massa I menunjukkan seberapa sulit membuatnya berputar.
Massa yang jauh dari sumbu jauh lebih berpengaruh daripada massa yang dekat, karena ia dihitung dengan kuadrat jaraknya:
I = Σ m·r² (satuan: kg·m²)
Anda tidak perlu menjumlahkan potongan-potongannya sendiri. Pelajari hasil standar ini terhadap pusat massa G:
- Batang langsing dengan panjang L, sumbu melalui tengah: m·L²/12.
- Cakram padat atau silinder berjari-jari R: ½·m·R².
- Cincin tipis atau gelang: m·R².
- Bola pejal: (2/5)·m·R². Bola berongga: (2/3)·m·R².
- Massa titik pada jarak r: m·r².
Bila sumbu O tidak melalui G, pakai teorema sumbu sejajar. Di sini d adalah jarak antara O dan G:
IO = IG + m·d²
Batang yang berputar terhadap ujungnya memiliki d = L/2, sehingga IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.
Beberapa soal memberi jari-jari girasi k, bukan bentuk benda. Maka I = m·k². Untuk benda yang tersusun dari beberapa bagian, cari I tiap bagian terhadap sumbu yang sama lalu jumlahkan.
Tes mandiri Sebuah batang homogen bermassa 3 kg dan panjang 2 m berputar terhadap salah satu ujungnya. Berapa momen inersianya?
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
Jawaban: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², atau IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² adalah nilai terhadap pusat, 3 kg·m² hanya bagian m·d², dan 12 kg·m² adalah m·L² tanpa faktor.
3Momen, energi, dan momentum sudut
Tiga alat menyelesaikan hampir semua soal rotasi. Pilih yang sesuai dengan pertanyaannya.
1. Momen. Jumlah momen terhadap sumbu sama dengan I·α. Pakai untuk percepatan dan gaya.
ΣM = I·α
Dengan torsi konstan, gerak sudutnya memiliki α konstan, dan persamaan kinematika punya kembaran berputar: ω = ω₀ + α·t dan ω² = ω₀² + 2·α·θ.
2. Energi. Benda yang berputar menyimpan energi kinetik. Torsi T yang memutar benda melalui sudut θ melakukan usaha, dan daya poros yang berputar adalah torsi kali kecepatan sudut:
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
Benda yang menggelinding tanpa selip bergerak dan berputar sekaligus, dengan v = ω·r. Ia memiliki kedua jenis energi kinetik:
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
Bilangan c hanya bergantung pada bentuk: 0,4 untuk bola pejal, 0,5 untuk silinder pejal, 2/3 untuk bola berongga, dan 1 untuk gelang. Pada lereng, a = g·sin θ / (1 + c).
3. Momentum sudut. L = I·ω. Bila tidak ada momen luar yang bekerja terhadap sumbu, L tetap sama, bahkan ketika benda-benda menyatu dan energi kinetik hilang:
I1·ω1 = I2·ω2
Tes mandiri Sebuah motor menghasilkan torsi 100 N·m pada 600 rpm. Berapa dayanya?
- 1 kW
- 377 kW
- 6,28 kW
- 60 kW
Jawaban: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s, jadi P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. 60 kW memakai rpm sebagai ω, 1 kW memakai putaran per detik, dan 377 kW lupa membagi dengan 60.
4Metode ini selangkah demi selangkah
- Gambar benda dan pilih sumbunya: pivot atau poros tetap, atau pusat untuk benda yang menggelinding.
- Cari momen inersia terhadap sumbu itu. Pakai hasil standar dan tambahkan m·d² bila sumbu bergeser.
- Ubah setiap kelajuan dalam rpm menjadi rad/s dengan ω = 2π·n/60.
- Pilih alatnya. Percepatan dan gaya: ΣM = I·α (dengan ΣF = m·a untuk bagian yang bergerak lurus). Kelajuan setelah jarak atau sudut tertentu: energi. Tumbukan, cengkeraman mendadak, dan benda yang menarik massanya ke dalam: momentum sudut.
- Hubungkan gerak lurus dan gerak berputar di tempat tali atau kontak menggelinding menyambungkannya: v = ω·r dan a = α·r.
- Selesaikan, dan periksa hasilnya dengan alat kedua bila bisa.
Untuk benda yang tergantung pada tali di sekeliling katrol, gambar dua diagram benda bebas: satu untuk balok (gaya) dan satu untuk katrol (momen). Tegangan tali muncul pada keduanya.
5Contoh soal lengkap
Ikuti setiap langkah. Cobalah menebak langkah berikutnya sebelum membukanya.
Contoh soalSebuah balok 2 kg tergantung pada tali ringan yang dililitkan pada katrol. Katrol berupa cakram pejal homogen bermassa 4 kg dan berjari-jari 0,2 m pada poros tanpa gesekan. Balok dilepas dari keadaan diam. Pakai g = 9,81 m/s². Cari percepatan balok, tegangan tali, dan kelajuan balok setelah jatuh 1 m.
1Katrol adalah cakram pejal yang berputar terhadap pusatnya.
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²
2Ambil arah ke bawah sebagai positif untuk balok. Gravitasi menariknya ke bawah dan tegangan tali T menariknya ke atas.
m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a
3Hanya tegangan yang memiliki momen terhadap poros, dengan lengan R. Tali tidak selip, jadi α = a/R.
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a
4Masukkan T = 2·a ke persamaan balok.
19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²
T = 2 · 4,905 = 9,81 N
Katrol berputar dengan α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².
5Percepatan konstan dan balok mulai dari diam, jadi pakai v² = 2·a·s.
v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s
6Pakai energi sebagai gantinya. Energi potensial yang hilang menjadi energi kinetik balok dan katrol, dengan ω = v/R.
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²
Jadi v² = 9,81 dan v ≈ 3,13 m/s, sama seperti tadi.
Jawaban a ≈ 4,91 m/s², T ≈ 9,81 N dan v ≈ 3,13 m/s setelah 1 m.
6Kesalahan umum
- Membiarkan kelajuan dalam rpm pada ω, E = ½·I·ω² atau P = T·ω. Ubah dulu ke rad/s.
- Memakai momen inersia terhadap pusat untuk benda yang berputar terhadap ujungnya. Tambahkan m·d².
- Melupakan energi kinetik rotasi pada benda yang menggelinding atau katrol.
- Memperlakukan bola atau cakram di ujung batang sebagai massa titik. Tambahkan juga I-nya sendiri terhadap pusatnya.
- Mengira energi kinetik kekal ketika benda mencengkeram atau menyatu. Pakai momentum sudut sebagai gantinya.
- Menghitung putaran dalam radian: N = θ/(2π).
Tes mandiri Silinder pejal bermassa 2 kg menggelinding tanpa selip pada 3 m/s. Berapa energi kinetik totalnya?
- 13,5 J
- 18 J
- 4,5 J
- 9 J
Jawaban: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J, dengan c = 0,5 untuk silinder pejal. 9 J hanya bagian yang bergerak, 4,5 J hanya bagian yang berputar, dan 18 J memakai c = 1, nilai untuk gelang.
7Seperti apa soal ujiannya
- Mudah: momen inersia. Batang terhadap sumbu yang bergeser, bandul dari batang dan bola atau cakram, energi kinetik roda gila, atau torsi atau waktu yang diperlukan untuk memutar roda gila.
- Sedang: ΣM = I·α, usaha dan daya. Batang yang dilepas dari posisi mendatar, balok pada katrol, putaran yang dibuat roda gila yang direm, torsi atau daya poros, atau kelajuan batang yang berayun.
- Sulit: menggelinding dan momentum sudut. Bola, silinder, atau gelang yang menggelinding di lereng, gesekan yang diperlukan untuk menggelinding, bagian energi rotasi, cincin yang dijatuhkan pada cakram yang berputar, orang yang menarik dumbel ke dalam, atau peluru yang mengenai batang tergantung.
Untuk roda gila yang direm, rem melakukan usaha sama dengan energi tersimpan: T·θ = ½·I·ω². Bagi θ dengan 2π untuk mendapat jumlah putaran.
Batang yang disematkan di satu ujung dan dilepas dari posisi mendatar memiliki α = 3·g/(2·L) sesaat setelah dilepas. Ujung bebasnya dipercepat sebesar 1,5·g.
Untuk peluru yang tertanam dalam batang, momentum sudut terhadap pivot tetap: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω.
Pelajari selangkah demi selangkah di aplikasiPelajari selangkah demi selangkah di aplikasi